2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）-专项训练【含解析】

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单选题
1．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点任铀上，过点的且线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的取大值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西上饶·统考一模）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则的内切圆半径等于（ ）
A．B．C．D．2
5．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，，分别是C的左、右焦点，经过点且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若的面积为64，则C的实轴长为（ ）
A．6B．8C．12D．16
6．（2024·陕西安康·统考二模）设抛物线C：的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，过弦AB的中点P作的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
7．（2024·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆的左右焦点为、，过和点的直线交椭圆于M、N两点，若P（0，m）满足，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·安徽·统考一模）已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．点为线段的中点
C．直线与相切D．在点处的切线与直线平行
10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：，，点为椭圆外一点，过点作椭圆的两条不同的切线，，切点分别为，.已知当点在圆上运动时，恒有.则（ ）
A．
B．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形的面积的最小值为14
C．若点的运动轨迹为，则原点到直线的距离恒为1
D．若直线，的斜率存在且其斜率之积为，则点在椭圆上运动
11．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点P与焦点所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为
B．直线与椭圆C无公共点
C．若A，B为椭圆C上的动点，且，过作，为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足
D．若过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则
12．（2024·安徽淮北·统考一模）已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（ ）
A．若A点横坐标为8，则
B．若，则的最小值为6
C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点
D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是
三、填空题
13．（2024·福建福州·统考二模）已知椭圆C：，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________．
14．（2024·贵州贵阳·统考一模）抛物线，圆，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若，则___________.
15．（2024·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．
16．（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A，B是抛物线C：上的两点，F是抛物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为________.
四、解答题
17．（2024·广东广州·统考一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求C的方程；
(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
18．（2024·山东泰安·统考一模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上不同的两点，且点在轴上方，，直线，交于点.已知当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在以，为焦点的定椭圆上.
【提能力】
一、单选题
19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于，两点，若直线与抛物线相切，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
20．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB的斜率分别为，，且，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，N，则△PMN的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·广西梧州·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列结论正确的有（ ）个．
①；
②为定值；
③双曲线的离心率；
④当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上．
A．1B．2C．3D．4
22．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点为P、Q，点D在双曲线上且位于第一象限，若且，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·广东广州·统考一模）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
25．（2024春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆的左､右顶点分别为，点在上，且直线斜率取值范围是，那么直线斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
27．（2024·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）
A．
B．延长交直线于点，则，，三点共线
C．
D．若平分，则
28．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（ ）
A．有可能为直角
B．
C．Q为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为
D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在，使
29．（2024·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上第一象限内任意一点，，表示直线，的斜率，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P，使得成立B．存在点P，使得成立
C．存在点P，使得成立D．存在点P，使得成立
30．（2024·山东济宁·统考一模）已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为D．的最大值为
三、填空题
31．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，在抛物线的准线上，且满足，则直线的方程为___________.
32．（2024秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.
33．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________.
34．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，斜率为的直线分别交轴负半轴、轴负半轴于、两点，交于、两点，点在轴上方，过点作轴的平行线交于、两点，则面积的最大值为________．
四、解答题
35．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为， 过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点， 交直线于点，若， 求证:为定值.
36．（2024春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
37．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知，直线l：，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设，，证明定值，并求的取值范围．
38．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．
2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）-专项训练（原卷版）
【练基础】
一、单选题
1．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点任铀上，过点的且线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的取大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的取大值为.
故选：A
2．（2024·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义结合已知计算即可．
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为
由抛物线的定义可得，
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】确定，，，当M，N，P三点共线时的值最大，计算，根据余弦定理得到，计算面积即可.
【详解】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN，
则，所以当M，N，P三点共线时的值最大，
此时，，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以，
故选：D
4．（2024·江西上饶·统考一模）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则的内切圆半径等于（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由已知求出的值，找出的坐标，即可求出，，由等面积法即可求出内切圆的半径.
【详解】由双曲线，知，
所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，，
所以，，
设的内切圆半径为，在中，由等面积法得：
所以，
解得：.
故选：C.
5．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，，分别是C的左、右焦点，经过点且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若的面积为64，则C的实轴长为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】由离心率得到双曲线的渐近线方程，联立方程由韦达定理得、，代入中计算可得结果.
【详解】∵，∴，即：，，
∴渐近线方程为．
由题意知，不妨设直线l的方程为，
，消去x得，则，
设，，则，，
所以，解得，即：，故双曲线C的实轴长为8.
故选：B.
6．（2024·陕西安康·统考二模）设抛物线C：的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，过弦AB的中点P作的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】设，，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义及梯形中位线定理可得，又由余弦定理可得，则可得，后利用基本不等式可得答案.
【详解】设，，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为
则，．因为点P为弦AB的中点，根据梯形中位线定理可得，P到抛物线C的准线的距离为，因为，所以在AFB中，由余弦定理得，所以，当且仅当时取等号.所以，最小值为．
故选：A．
7．（2024·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆的左右焦点为、，过和点的直线交椭圆于M、N两点，若P（0，m）满足，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出直线MN的方程，与椭圆方程联立，写出，解不等式.
【详解】设，，过和的直线为，
联立，消去y，得，
所以，，
则，，
，
所以，解得.
故选：D.
【点睛】方法点睛：将坐标的数量积，用坐标表示，即将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将其整体代入即可得到关于m的不等式.
8．（2024·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点弦长公式可求得，同理可得，从而得到，由，利用基本不等式可取得最小值.
【详解】由抛物线方程得：；
由题意知：直线的斜率存在且不为，设，，，
由得：，，此时，
，，
同理可得：，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·安徽·统考一模）已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．点为线段的中点
C．直线与相切D．在点处的切线与直线平行
【答案】BCD
【分析】将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线在点处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断D.
【详解】对A，根据中点公式得，将其代入得，则，
所以抛物线的准线方程为，故A错误，
对B，，则直线的斜率为，则直线的方程为，
将其代入得，解得或0（舍去），此时，
则，所以为中点，故B正确；
对C，，即，则，
故抛物线在点处的切线的斜率为，
故切线方程为，
令得，所以直线为的切线，故C正确；
对D，抛物线在处的切线方程的斜率为，
而直线的斜率为，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，
所以在点处的切线与直线平行.
故选：BCD.
10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：，，点为椭圆外一点，过点作椭圆的两条不同的切线，，切点分别为，.已知当点在圆上运动时，恒有.则（ ）
A．
B．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形的面积的最小值为14
C．若点的运动轨迹为，则原点到直线的距离恒为1
D．若直线，的斜率存在且其斜率之积为，则点在椭圆上运动
【答案】BC
【分析】根据点在圆上运动时，恒有，设过的直线为，代入椭圆方程后利用，得到关于的一元二次方程，确定方程的两根为，由，即可得的值，从而判断A；讨论直线的斜率求得各情况下，，即可得矩形，结合不等式求得最值来判断B；根据椭圆上一点的切线方程结论，确定切线，的方程，结合点的运动轨迹为，可得切点弦所在直线方程，即可求得原点到直线的距离来判断C；设,，过的直线为，代入椭圆方程后利用，得到关于的一元二次方程，确定方程的两根为，由，可得所满足的方程，即可判断D.
【详解】当平行于轴时，恰好平行于轴，，，，满足，
将代入圆有，得；
当不平行于轴时，设,，则，过的直线为，
联立得，
令得，整理得，
且此方程的两根为，则，又，
所以，得，所以；
综上，，故A不正确；
椭圆的方程为，若矩形的四条边均与椭圆相切，
①当的斜率为0时，，，
此时，
②当的斜率不存在时，，，
此时，
③当的斜率存在且不为0时，设直线，直线，，
联立，消去得，，化简得，同理可得，
所以两平行线和的距离，
以代替，可得两平行线和的距离，
所以矩形的对角线，
根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立，因为，
所以矩形面积的最大值为14，故B正确；
下证：任一椭圆在其上面的点,处的切线方程均可写为
设椭圆在点,处的切线方程为，则，
令得，所以，所以，则切线方程为整理得.
对于椭圆：，设切点坐标为,，,，则切线，的方程分别为，，
若点的运动轨迹为，设点，则，
又两切线均过点，可得，，点，的坐标都适合方程，故直线的方程是，即，所以原点到直线的距离为，故C正确；
设,，过得直线为，
联立得，
令得，整理得，
且此方程的两根为，则，又直线，的斜率存在且其斜率之积为，
所以，得，故点在双曲线上运动，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是确定直线与椭圆相切时，切线斜率之间的关系需要联立切线与椭圆方程得判别式为零，则得到关于斜率的一元二次方程，由韦达定理即可得切线斜率之积的关系，即可结合轨迹方程可得相关结论；对于直线与椭圆相切的切线方程问题，利用直线与椭圆相切，得切点坐标与直线斜率与截距的关系，可得椭圆上一点,处的切线方程均可写为；对于切点弦问题，根据上述切线方程及两切线的交点，由直线方程特点，即可得切点弦方程.
11．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点P与焦点所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为
B．直线与椭圆C无公共点
C．若A，B为椭圆C上的动点，且，过作，为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足
D．若过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则
【答案】AC
【分析】根据离心率可得，根据求出，可得，可得椭圆方程为，故A正确；联立直线与椭圆方程，根据判别式大于0可知B不正确；根据题意求出可知C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切点弦的方程，可知D不正确.
【详解】设椭圆的焦距为，由得，
设，则，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，依题意可得，所以，，，，所以椭圆的方程为：，故A正确；
联立，消去并整理得，
，
所以直线与椭圆C有公共点，故B不正确；
因为，且，
所以，，
设，，
若的斜率存在且不为0，设为，则的斜率为，
则，，
联立，得，，则，
同理可得，所以，
若的斜率不存在或者为0，则为椭圆的顶点（一个为长轴的顶点，一个为短轴的顶点），则，
终上所述：，即.
设，则，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足，故C正确.
设，，
由，得，得，得，
所以切线的斜率为，切线的方程为，
即，即，
因为在切线上，，同理可得，
由可知，在直线上，
由可知，在直线上，
所以直线的方程为，则.故D不正确.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：C选项中，求出为定值是解题关键，D选项中，利用导数的几何意义求出切线方程是解题关键.
12．（2024·安徽淮北·统考一模）已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（ ）
A．若A点横坐标为8，则
B．若，则的最小值为6
C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点
D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是
【答案】BCD
【分析】对A选项将点的横坐标代入，求出点A的坐标，进而求出直线方程，联立直线及抛物线方程，由弦长即可求出弦长；对B选项作图可知，过点A作准线的垂线，垂足为，当三点共线时取最小值，即可求得最小值；对C选项根据题意，得出原点O在AB上的投影的轨迹，联立方程由判别式即可判断公共点的个数；对D选项设出AB直线方程，联立直线与抛物线方程，由结合得出直线方程，再由弦长公式计算出线段AB的长度即可判断
【详解】对于A,易得是抛物线的焦点，
若A点横坐标为8，则，即或，根据抛物线的对称性可得两种情况计算出的相同，再此取计算.
所以l的直线方程是即，
直线与相交，联立方程得,,
得，，故A错误；
对于B,过点A作准线的垂线，垂足为，则，当三点共线时取最小值，此时最小值为，故B正确；
对于C,设原点在直线上的投影为，的中点为，
因为，所以，所以为直角三角形，所以，
根据几何性质及圆的定义可知点的轨迹方程为，联立得，
解得，所以直线与只有一个交点，故C正确；
对于D,设直线的方程为，联立得所以，
因为，而，所以，
所以，所以
所以，解得，
则，
所以，
，所以以线段AB为直径的圆的面积是，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2024·福建福州·统考二模）已知椭圆C：，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________．
【答案】
【分析】由题意可得点为线段中点，设点坐标为，求出A点坐标，代入椭圆方程解出点的坐标即可得解.
【详解】如图，
由条件得点为线段中点，设点坐标为，得，
由得坐标为，将坐标分别代入中，
得解得 则坐标分别为､，
故直线方程为，即，
所以直线的方程为．
故答案为：
14．（2024·贵州贵阳·统考一模）抛物线，圆，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若，则___________.
【答案】##
【分析】设直线的方程为，由题意可知圆的圆心为弦的中点，据此联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求出，再由弦长公式即可得解.
【详解】由可得，
故圆心，半径，
因为直线l过圆心M且，所以，，即为的中点，
显然，直线斜率为0时，不符合题意，设直线的方程为，
联立，消元得，
设，由，
所以，
由为的中点可知，，即，
所以
,
所以.
故答案为：
15．（2024·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．
【答案】##7.5
【分析】设，则，由的斜率解得，再将代入抛物线方程可得，进而可得的面积.
【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为，
设，由题意可得，则，解得n＝3，
将代入抛物线方程可得，解得，即，
则，所以的面积.
故答案为：．
16．（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A，B是抛物线C：上的两点，F是抛物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为________.
【答案】
【分析】由抛物线几何性质可得，再由余弦定理和基本不等式可得.
【详解】在中，
，
易得，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
四、解答题
17．（2024·广东广州·统考一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求C的方程；
(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
【答案】(1)；
(2)是定值，.
【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于的方程组，解方程组作答.
（2）由给定的面积关系可得直线PQ平分，进而可得直线的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.
【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有，
由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得，
所以C的方程是.
（2）为定值，且，
因为，则，
因此，而，有，
于是平分，直线的斜率互为相反数，即，
设，
由得，，即有，
而，则，
即
于是
，
化简得：，
且又因为在椭圆上，即，即，，
从而，，
又因为不在直线上，则有，即，
所以为定值，且.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
18．（2024·山东泰安·统考一模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上不同的两点，且点在轴上方，，直线，交于点.已知当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在以，为焦点的定椭圆上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率及当轴时，，代入椭圆方程，列方程即可求得的值，从而得椭圆的方程；
（2）由，则设直线的方程为，所以直线的方程为，设，，，，代入椭圆方程可得坐标关系，可得的表达式，由平行线分线段成比例可得，，结合椭圆的定义即可证得为定值，从而得结论.
【详解】（1）由题知，，点在椭圆C上，则，解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：∵，且点A在x轴上方
∴设，，，，设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得，∴或（舍），
∴
同理，所以，
由，得
∴
∴
又点B在椭圆C上，∴，则
∴
同理：，所以
∴
又，
∴
∴点P在以，为焦点的定椭圆上.
【提能力】
一、单选题
19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于，两点，若直线与抛物线相切，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】由已知设直线的方程为，，由直线与抛物线相切，列方程求，联立直线与抛物线的方程，利用设而不求法结合弦长公式求.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
由已知可设直线的方程为，，
因为直线与抛物线相切，所以只有一组解，
所以方程有且只有一个根，
故，又，
所以，
联立，消，得，
方程的判别式，
设，则，
所以，
故选：C.
20．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB的斜率分别为，，且，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，N，则△PMN的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出A、B的坐标，由解得的值，再分别求出点M、点N的坐标，求得的式子，研究恒过x轴上的定点可得点P的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.
【详解】设，，则，，
∴
∴，
∴设： ，令得：，∴，
同理：
∴，
设：，
，，，
又∵，
∴，解得：，
∴：恒过点，
∴与x轴交点P的坐标为，即：，
∴点P到准线的距离为8+1=9.
方法1：，当且仅当时取等号.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为.
方法2：
∵ ∴，当且仅当m=0时取得最小值.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为.
故选：D.
21．（2024·广西梧州·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列结论正确的有（ ）个．
①；
②为定值；
③双曲线的离心率；
④当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由双曲线渐近线方程，圆圆心，半径是1，应用点线距离公式列方程求，设有，由点线距离公式写出，直接用离心率定义求双曲线离心率，根据圆切线性质及双曲线定义可得，进而确定内切圆的圆心的位置.
【详解】由题意，双曲线渐近线方程是，圆的圆心，半径是1，
则，可得（舍去），①错误．
设，则，即，
渐近线方程是，则，，
为常数，②正确；
由，所以，离心率为，③正确；
设△的内切圆与三边切点分别为，，，如图，
由圆的切线性质知，
所以，因此内心在直线，即直线上，④正确；
故选：C
22．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点为P、Q，点D在双曲线上且位于第一象限，若且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则，由得出，再由正弦定理得出.
【详解】如图所示，设，则，设，则，即，由双曲线方程可得，所以，又，，则，解得，则，在三角形中，由正弦定理，可得
故选：D
23．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与的关系得到的范围，然后利用斜率公式表示出，进而求出其范围．
【详解】由解得，所以曲线C是椭圆．
因椭圆C的焦点在x轴上，则．
因为，所以，
不妨设，，，，
由题意知，则，即，
．
故选：A．
24．（2022·广东广州·统考一模）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.
【详解】由题意如图所示：
由双曲线，知，
所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，
由题知的内切圆的半径相等，
且，的内切圆圆心
的连线垂直于轴于点，
设为，在中，由等面积法得：
由双曲线的定义可知：
由，所以，
所以，
解得：，
因为为的的角平分线，
所以一定在上，即轴上，令圆半径为，
在中，由等面积法得：
，
又
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
故选：A.
25．（2024春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆的左､右顶点分别为，点在上，且直线斜率取值范围是，那么直线斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，再根据表达推导可得，进而根据直线斜率取值范围求解即可.
【详解】设，则，，，
于是，故.
∵ ∴.
故选：B.
26．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直线l方程为，根据相切得到，联立方程，解得，，得到答案.
【详解】直线l的斜率存在，设为k，直线l过点，得直线l的方程为，
即．
由直线l与圆相切，得，
解得．不妨取，设，，易知，
联立，消去y，整理得，
则，，则，
故选：D
二、多选题
27．（2024·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）
A．
B．延长交直线于点，则，，三点共线
C．
D．若平分，则
【答案】AB
【分析】根据题设和抛物线和性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线和直线得到点，即可判断B选项，若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出.
【详解】由题意知，点，，如图：
将代入，得，所以，则直线的斜率，
则直线的方程为，即，
联立，得，解得，，
又时，，则
所以，所以A选项正确；
又 ，所以C选项错误；
又知直线轴，且，则直线的方程为，
又，所以直线的方程为，
令，解得，即，在直线上，
所以，，三点共线，所以B选项正确；
设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，
若平分，即，即，
所以，则，且，解得，
又，解得：，所以D选项错误；
故选：AB.
28．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（ ）
A．有可能为直角
B．
C．Q为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为
D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在，使
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，点，准线方程为，设，直线，
由消去x得：，，
当时，，，，
解得，抛物线，，
对于A，当时，，有，为直角，A正确；
对于B，，，，，
因此，即，而，则，B正确；
对于C，显然点E在抛物线C内，，当且仅当点Q是直线EF与抛物线C的交点时取等号，C错误；
对于D，由，，得，
，同理，
，
令，而，解得，则，D正确.
故选：ABD
29．（2024·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上第一象限内任意一点，，表示直线，的斜率，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P，使得成立B．存在点P，使得成立
C．存在点P，使得成立D．存在点P，使得成立
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.
【详解】由椭圆方程可得：，，
对于A，由椭圆的性质可得：，又因为点P在第一象限内，所以，所以存在点P，使得成立，故选项A正确；
对于B，设点，因为，所以，，则，
因为，所以，所以，
所以存在点P，使得，则成立，故选项B正确；
对于C，因为，，若，则，因为点在第一象限内，所以，则可化为：，解得：不成立，所以不存在点P，使得成立，故选项C错误；
对于D，由选项的分析可知：，所以存在点P，使得成立，故选项D正确，
故选：ABD.
30．（2024·山东济宁·统考一模）已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BD
【分析】根据共焦点得到，A错误，计算，，得到，B正确，设，，代入计算得到C错误，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，错误；
对选项B：，即，，，
故，，故，即，
即，正确；
对选项C：设，，
，若最大值为，则，，
，即，不成立，错误；
对选项D：设，，，
，若最大值为，则，，
，即，，，成立，正确；
故选：BD
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.
三、填空题
31．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，在抛物线的准线上，且满足，则直线的方程为___________.
【答案】
【分析】根据准线方程求得，也即求得抛物线的方程，设直线，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，结合抛物线的性质求得，进而求得直线的方程.
【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得，
所以抛物线的方程为，因为，所以在以为直径的圆上.
由抛物线性质可知为切点，所以圆心纵坐标为.
设直线，点，
联立方程组，可得，
所以，所以，直线.
故答案为：
32．（2024秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.
【答案】2
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得的长.
【详解】解：如图，由题可知，的坐标为，设，
联立方程组，可得，
则，.
因为为线段的中点，所以的坐标为.
又以为直径的圆与相交于两点，所以，所以，
解得，又，所以，
所以，故.
故答案为：2.
33．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________.
【答案】##1.25
【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P，Q 共 线 ，求得Q点坐标的横坐标表示出t ,然后运用设参数m法化简,最后根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
设，，联立整理得: ;
所以，得到，所以；
过F作直线PA的垂线与直线交于Q，
因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线与BP的交点，
Q是与的交点
所以得 ，所以
设则
所以当 时，即m=2即时， 取得最大值.
故答案为：
【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式，表示出所求变量；
（2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值；
本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式.
34．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，斜率为的直线分别交轴负半轴、轴负半轴于、两点，交于、两点，点在轴上方，过点作轴的平行线交于、两点，则面积的最大值为________．
【答案】
【分析】设直线的方程为，根据题意求得，求出点的横坐标，以及，求出点到直线的距离，利用三角形的面积可得出，令，利用导数法求出函数在上的最大值，即可得出面积的最大值.
【详解】设直线的方程为，由题意可知，
直线交轴负半轴于点，设点、，则，
联立可得，
，由于，解得，
因为，可得，
解方程可得，
所以，，所以，，
所以，，可得，故，
直线的方程为，联立可得，所以，，
，
所以，点到直线的距离为，
所以，，
令，则
，
令，其中，
则，令，可得，
当时，；
当时，，，
因为，
故当时，，则，
当时，，则.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
故当，
因为，故，
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
四、解答题
35．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为， 过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点， 交直线于点，若， 求证:为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，设出椭圆半焦距并求出弦长，进而求出a，b即可作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合向量的坐标表示推理计算作答.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，将代入得，于是，
由离心率为，得，即有，则有，
所以椭圆的方程为.
（2）设点 ，，而，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去y整理得：，
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，因此，
因为，令，得，
，于是
所以.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
36．（2024春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，其中或
(2)存在，
【分析】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得且，即且，由韦达定理，得，
则，，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得出答案；
（2）设，，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出，，则，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可化简代入得出，即可解出答案.
【详解】（1）设，，，
联立直线l与双曲线E的方程，得，
消去y，得．
由且，得且．
由韦达定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，点M的轨迹方程为，其中或．
（2）双曲线E的渐近线方程为．
设，，联立得，同理可得，
因为，
所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则．
即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
37．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知，直线l：，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设，，证明定值，并求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设出点的坐标，运用数量积运算可得结果.
（2）设直线AB的方程，求出点M的坐标，联立直线AB与轨迹C的方程后由韦达定理得、，由已知向量关系式可得，，进而求得的值与的范围.
【详解】（1）设点，则，且．
由得，
即，化简得．
故动点P的轨迹C的方程为：．
（2）设直线AB的方程为：，则．
联立直线AB与轨迹C的方程得，消去x得，
则．
设，，由韦达定理知，．
由，得：，，
整理得，．
所以．
故为定值0．
∵，
∴，
∴的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
38．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，可求得点的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为椭圆的长轴长为，则，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：若与轴重合，则不存在，
设直线的方程为，设点、，
若，则点与点重合，不合乎题意，所以，，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
易知点，，
直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，
所以，，
令，则函数在上为增函数，
所以，，所以，.
故的面积的取值范围是.