2025高考数学一轮复习-8.8-直线与圆锥曲线的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.8-直线与圆锥曲线的位置关系-专项训练【含答案】，共12页。
1.若抛物线y2=4x的弦AB的中点坐标为(1,12),则直线AB的斜率为( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
2.若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y216=1的交点有( )
A.1个 B.1个或2个
C.2个 D.0个
3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同的两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为( )
A.(1,-1) B.(2,0)
C.(12,-32) D.(1,1)
4.已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=423,则实数m的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.±22
5.已知A,B为抛物线C:y2=x上的两点,且|AB|=2,则线段AB的中点
横坐标的最小值为( )
A.14 B.12 C.34 D.1
6.已知直线l:y=tx+2和双曲线C:x2-y2=8,若l与C的右支交于不同的两点,则t的取值范围是 .
7.直线与椭圆C:mx2+ny2=1交于A,B两点,线段AB的中点为P(1,2),
AB的斜率为-1,写出一个符合条件的椭圆方程为 .
8.已知抛物线C:y2=2px过点E(4,4),直线l:x=3y+n与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),与x轴交于点D,则抛物线的焦点F的坐标为 ;若|AD|·|DB|=64,则n= .
9.已知焦点在x轴上的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),短轴长为23,椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设椭圆的右顶点为B,过F1的直线l与椭圆C交于点M,N,
且S△BMN=1827,求直线l的方程.
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10.(多选题)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=83
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
11.(多选题)已知椭圆的方程为x22+y24=1,斜率为k的直线不经过点O(O为坐标原点),且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.直线AB与OM垂直
B.若点M的坐标为(1,1),则直线AB的方程为2x+y-3=0
C.若直线AB的方程为y=x+1,则点M的坐标为(13,43)
D.若直线AB的方程为y=x+2,则|AB|=423
12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
13.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
14.已知双曲线C与双曲线y26-x22=1的渐近线相同,且经过点(2,3).
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F2,倾斜角为3π4,l与双曲线C交于A,B两点,求△F1AB的面积.
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15.椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆C:x2a+1+y2a=1
(a>0)的离心率为13,则椭圆C的蒙日圆的方程为( )
A.x2+y2=19B.x2+y2=17
C.x2+y2=15D.x2+y2=14
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=1,
所以y12=4x1,y22=4x2⇒(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=4=kAB.
故选B.
2.解析:因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,所以9m2+n2>3,
即m2+n20,-4tt2-1>0,12t2-1>0,解得-620恒成立,
则y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.
又S△BMN=12|BF1|·|y1|+12|BF1|·|y2|
=12|BF1|·|y1-y2|
=12|BF1|·(y1+y2)2-4y1y2
=18m2+13m2+4=1827,
解得m=±1,
所以直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.
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10.解析:直线y=-3(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
所以p2=1,p=2,2p=4,则A选项正确,且抛物线C的方程为y2=4x.
设M(x1,y1),N(x2,y2),x1>x2,
由y=-3(x-1),y2=4x,消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,
解得x1=3,x2=13,所以|MN|=x1+x2+p=3+13+2=163,B选项错误.
设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,
因为d=12(d1+d2)=12(|MF|+|NF|)=12|MN|,
即A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确.
由B选项的分析知M(3,-23),N(13,233),|MN|=163,
所以|OM|=32+(-23)2=21,
|ON|=(13) 2+(233) 2=133,
所以△OMN不是等腰三角形,D选项错误.
故选AC.
11.解析:对于A,根据椭圆的中点弦的性质知,kAB·kOM=-42=-2≠-1,
所以A不正确;
对于B,kOM=1,根据kAB·kOM=-2,知kAB=-2,
所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,所以B正确;
对于C,kAB=1,由kAB·kOM=-2,得kOM=-2,所以C不正确;
对于D,若直线AB的方程为y=x+2,与椭圆方程x22+y24=1联立,
消y得2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x=0或x=-43,
所以|AB|=1+12×|-43-0|=423,所以D正确.故选BD.
12.解析:因为椭圆的离心率为e=ca=12,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,
所以椭圆的方程为x24c2+y23c2=1,即3x2+4y2-12c2=0,如图所示,
因为AF2=a,OF2=c,a=2c,所以∠AF2O=π3,所以△AF1F2为正三角形,因为过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D,E两点,所以DE为线段AF2的垂直平分线,所以直线DE的斜率为33,斜率倒数为3,直线DE的方程为x=3y-c,代入椭圆方程3x2+4y2-12c2=0,
整理化简得到13y2-63cy-9c2=0,
判别式Δ=(63c)2+4×13×9c2=62×16·c2,
所以|DE|=1+(3)2|y1-y2|=2×Δ13=2×6×4·c13=6,
所以c=138,得a=2c=134,
因为DE为线段AF2的垂直平分线,所以AD=DF2,AE=EF2,所以△ADE的
周长等于△F2DE的周长,利用椭圆的定义得到△F2DE周长为|DF2|+
|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=|DF1|+|DF2|+|EF1|+|EF2|=2a+
2a=4a=13.
答案:13
13.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.
(2)由y=x24,得y′=x2.
设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,
于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,
故线段AB的中点为N(2,2+m),
|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=x24得,x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,
解得x1=2-2m+1,x2=2+2m+1.
从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).
由题设知|AB|=2|MN|,
即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
14.解:(1)设所求双曲线C的方程为y26-x22=λ(λ≠0),
代入点(2,3)得326-222=λ,即λ=-12,
所以双曲线C的方程为y26-x22=-12,
即x2-y23=1.
(2)由(1)知,F1(-2,0),F2(2,0),
由题意得直线AB的方程为y=-(x-2),
即x+y-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x+y-2=0,x2-y23=1,
得2x2+4x-7=0,满足Δ>0,且x1+x2=-2,x1x2=-72,
由弦长公式得|AB|=1+k2×|x1-x2|
=1+(-1)2×(-2)2-4×(-72)
=2×32=6,点F1(-2,0)到直线AB:x+y-2=0的距离d=|-2+0-2|2=22.
所以S△F1AB=12|AB|·d=12×6×22=62.
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15.解析:因为椭圆C:x2a+1+y2a=1(a>0)的离心率为13,则1a+1=13,解得a=8,
即椭圆C的方程为x29+y28=1,
于是椭圆的上顶点A(0,22),右顶点B(3,0),经过A,B两点的椭圆切线方程分别为y=22,x=3,
则两条切线的交点坐标为(3,22),显然这两条切线互相垂直,
因此点(3,22)在椭圆C的蒙日圆上,
圆心为椭圆C的中心O(0,0),
椭圆C的蒙日圆半径r=32+(22)2=17,
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=17.故选B.