2025高考数学一轮复习-8.9-直线与圆锥曲线中的定点与定值问题-专项训练【含答案】

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1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px
(p>0)上一点P的横坐标为4,且点P到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线l:x=my+t交抛物线于A,B两点(位于对称轴异侧),
且OA→·OB→=94,求证:直线l必过定点.
2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且过点A(22,-1),直线l与曲线C右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点,O为坐标原点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求证:△MON面积为定值,并求出该定值.
3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,当直线l垂直于x轴时,|AB|=4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求证:过焦点F且垂直于l的直线与以AB为直径的圆的交点分别在定直线上.
4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,四个顶点构成的四边形面积为22.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线y=kx+m交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),且S△AOB=22,求证:
x12+x22为定值.
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5.已知离心率为12的椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点及右焦点分别为点A,F,且|AF|=3.
(1)求E的方程;
(2)过点F的直线l与E交于M,N两点,P是直线l上异于F的点,
且|MF|·|PN|=|NF|·|PM|,证明:点P在定直线上.
6.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是53,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
参考答案
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1.(1)解:由题可知,点P到抛物线准线的距离为5,
因为抛物线的准线方程为x=-p2,点P的横坐标为4,
所以4+p2=5,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明:设A(y124,y1),B(y224,y2),且y1y20,且y1+y2=4m,
y1y2=-4t0,
所以x1·x2=y124·y224=(y1y2)216=t2,
由OA→·OB→=94,
得x1x2+y1y2=94,即t2-4t=94,
解得t=-120显然成立,且y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
x1x2=y12y2216=1,
所以弦长|AB|=x1+x2+p=4m2+4,
以AB为直径的圆的方程为(x-2m2-1)2+(y-2m)2=(2m2+2)2,
即x2+y2-(4m2+2)x-4my-3=0,
过焦点F且垂直于l的直线方程为y=-m(x-1),
联立y=-m(x-1),x2+y2-(2+4m2)x-4my-3=0,
整理可得x2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3.
所以过焦点F且垂直于l的直线与以AB为直径的圆的交点分别在定直线x=-1和x=3上.
4.(1)解:椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,
则可设a=2t,c=t,即b=t,t>0,
四个顶点构成的四边形为菱形,面积为22,
则S=12·2a·2b=12·22t·2t=22t2=22,
解得t=1,故椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)证明:直线y=kx+m交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),由题意m≠0,
则S△AOB=12|m|·|x1-x2|
=12|m|·(x1+x2)2-4x1x2,
联立y=kx+m,x22+y2=1,
化简整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=8(2k2-m2+1),
由根与系数的关系可知,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,
故12|m|·(-4km1+2k2) 2-4·2m2-21+2k2=|m|·4k2-2m2+21+2k2=22,即2m2=2k2+1,满足Δ>0,
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-4km1+2k2)2-2·2m2-21+2k2=2,为定值.
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5.(1)解:由题意,椭圆的离心率为12,所以a=2c,
又椭圆的左顶点及右焦点分别为点A,F,
且|AF|=3,则a+c=3,
所以a=2,c=1,
则b2=a2-c2=3,
故椭圆E的标准方程为x24+y23=1.
(2)证明:当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+1,
与椭圆方程联立可得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ>0恒成立,
设M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y1>0,y20,解得k