备战2025年高考数学二轮复习课件专题1函数与导数培优拓展（4）隐零点问题

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导函数的零点在很多情况下是无法直接求解出来的,我们称之为“隐零点”,既能确定其存在,但又无法用显性的代数方法进行表达.这类问题的解题思路是对导函数的零点设而不求,通过整体代换和过渡,再结合题目条件解决问题.
角度一 不含参函数的隐零点问题
例1(2024山东威海二模)已知函数f(x)=ln x-ax+1.(1)求f(x)的极值;(2)证明:ln x+x+1≤xex.
角度二 含参函数的隐零点问题
例2(2024江苏模拟预测)已知函数f(x)=ax-elgax-e,其中a>1.(1)若a=e,证明f(x)≥0;(2)讨论f(x)的极值点的个数.
(1)证明 当a=e时,f(x)=ex-eln x-e,f'(x)=ex- ,f'(1)=0,f(1)=0,又易知f'(x)在(0,+∞)内为增函数,所以当00,f(x)单调递增,从而f(x)≥f(1)=0.
设g(x)=xaxln2a-e,a>1,显然函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,g(x)与f'(x)同号,①当a>e时,g(0)=-e0,所以函数g(x)在(0,1)内有一个零点x0,且x∈(0,x0),g(x)0,故f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;②当a=e时,由(1)知,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;
且当x∈(0,x1)时,g(x)0,故f(x)在(0,x1)内单调递减,在(x1,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.综上所述,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.
针对训练1.(2024浙江杭州模拟)已知函数f(x)=(x+a)ln x- x2.(1)若f(x)在其定义域内单调,求实数a的取值范围;(2)若a=2,f(x)的极大值为M,证明:M>0.
当x∈(0,1)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,F'(x)0,∴g(x)≤a,∵函数f(x)在其定义域内单调,∴依题知f'(x)≤0在其定义域内恒成立,∴g(x)≤0在其定义域内恒成立,∴a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].
∵在(0,x1)上,h(x)>0,即f'(x)>0,在(x1,+∞)上,h(x)0,所以t(x)单调递增,且t(0)=-10,所以存在x0∈(0,1),使t(x0)=0,即h'(x0)=0,当x∈(-∞,x0)时,h'(x)0时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,当x