云南省2024年春学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试卷（解析版）-A4

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这是一份云南省2024年春学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试卷（解析版）-A4，共12页。
（考试时间：100分钟试卷满分：100分）
【注意事项】
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么．
如果事件A、B相互独立，那么．
球的表面积公式：，体积公式：，其中R表示球的半径．
柱体的体积公式：，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．
锥体的体积公式：，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．
第Ⅰ卷（选择题共66分）
一、选择题（本大题共22个小题，每小题3分，共66分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂）
1 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集运算性质计算即可.
【详解】因为集合，，则.
故选：D
2. 函数的最大值为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的知识求得正确答案.
【详解】由于，所以，
所以的最大值为，此时.
故选：C
3. 某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】由题意，这种球体的表面积为.
故选：D.
4. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
5. （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角差的余弦公式求解即可.
【详解】.
故选：A.
6. 已知平面向量，，则（）
A. B. C. 1D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】，，.
故选：C.
7. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求解即可.
【详解】.
故选：A.
8. 已知、、都是实数．若，则（）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可.
【详解】因为，
对于A，根据不等式的性质知，故A正确；
对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误；
对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误；
对于D，若，，则，故D错误.
故选：A.
9. （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果.
【详解】.
故选：C.
10. 下列函数中，在上为增函数是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可.
【详解】对于A，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于B，函数上单调递增；
对于C，函数在，上单调递增，
在，上单调递减；
对于D，函数在，上单调递减，
在，上单调递增.
故选：B.
11. 如图，在正方体中，直线与直线BD（）
A. 异面B. 平行C. 相交且垂直D. 相交但不垂直
【答案】A
【解析】
【分析】根据异面直线的概念判断即可.
【详解】由图形可知，与直线BD不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故选：A.
12. （）
A. 5B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】由换底公式进行求解.
【详解】
故选：C
13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数和方差的意义分析求解.
【详解】从数据来看丁的平均成绩最高，方差最小，
因此丁成绩好且发挥稳定，应选择丁.
故选：D.
14. 若，则x的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，解得，
则x的取值范围为.
故选：A.
15. 已知i为虚数单位，复数，则（）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的模公式计算即可.
【详解】由，则.
故选：C.
16. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理可得：，
则，解得：.
故选：B.
17. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可.
【详解】由得，
所以函数的定义域为.
故选：D.
18. 函数在上的最小值为（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数单调性得到最小值.
【详解】在上单调递增，其最小值为.
故选：B
19. 若，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可.
【详解】因为在上单调递增，所以，
而，所以，
因为在单调递增，所以，
所以.
故选：B.
20. 已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由，，
得，
所以.
故选：D.
21. 某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下：
现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（）
A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据古典概率的知识求得正确答案.
【详解】根据古典概型的知识可知，所求概率为.
故选：B
22. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（）
A. B. C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由，得，
解得.
故选：D.
第Ⅱ卷（非选择题共34分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题卡相应的位置上）
23. 已知函数是奇函数．若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】依题意，是奇函数，
所以.
故答案为：
24. 某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________．
【答案】30
【解析】
【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可.
【详解】由题意，.
故答案为：30.
25. 若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据基本不等式求最值.
【详解】由基本不等式及，可知.
而当时，有.
所以的最小值为.
故答案为：
26. 若函数的最小正周期为，则常数__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可.
【详解】由已知得周期，所以，即.
故答案为：.
三、解答题（本大题共3个小题，第27小题5分，第28小题6分，第29小题7分，共18分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答题卡相应的位置上）
27. 甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为．
（1）求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率；
（2）求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；
（2）利用对立事件的概率公式直接求解即可.
【小问1详解】
由题意，甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率为.
【小问2详解】
由题意，甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率为.
28. 如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可；
（2）利用等体积法求解即可.
【小问1详解】
证明：在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以，
又D是线段BC的中点，且，所以，
因为，平面,
所以平面.
小问2详解】
由（1）知，平面，
因为是边长为2的正三角形，
所以，则，
则，
所以三棱锥的体积为.
29. 已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2．
（1）求b、c的值；
（2）函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由．
【答案】（1），
（2）函数有零点，为，2，，
【解析】
【分析】（1）由题意可得和2为方程的根，进而结合韦达定理求解即可；
（2）结合题意可得，令，因式分解可得，进而解方程即可求解.
【小问1详解】
由，
因为函数的零点是、2，
所以和2为方程的根，
则，解得，.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
令，即，
即，即，
即，即，
即，
解得或或或，
即函数的零点为，2，，.
甲
乙
丙
丁
8.5
9
9.5
9.9
0.25
1
0.65
0.09
等级
一等奖
二等奖
三等奖
人数（单位：人）
3
6
1