云南省2024年1月普通高中学业水平考试数学试题

这是一份云南省2024年1月普通高中学业水平考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．6D．8
5．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知、、都是实数，若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知为虚数单位，设复数，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知是角终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
10．函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
11．若，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
13．已知，则（ ）
A．B．C．D．
14．某大学学生管理处为了了解新入学的名大学生的生活情况，从中抽取了名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的名大学生是（ ）
A．总体B．个体C．样本量D．样本
15．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
16．甲、乙两人独立地破译一份密码.已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则甲、乙两人都成功破译的概率为（ ）
A．B．C．D．
17．（ ）
A．B．C．D．0
18．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（ ）
A．60B．45C．35D．25
19．函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
20．已知平面向量，平面向量.若，则（ ）
A．B．C．D．
21．（ ）
A．B．C．D．
22．为弘扬“尊老、敬老、爱老”的中华传统美德，某班组织学生到甲、乙两个敬老院看望老人.按规定，该班某同学通过摸球的方式选择到哪个敬老院看望老人，摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有8个大小质地完全相同的球，其中5个红球，3个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，该同学到甲敬老院看望老人；若摸出的球是黄球，该同学到乙敬老院看望老人.该同学到甲敬老院看望老人的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
23．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是 .
24．若，则的取值范围为 .
25．学校从甲、乙两名射击运动员中推荐一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
经计算得：，，，.
根据上述信息，学校应推荐 参加市中学生运动会.
26．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 .
三、解答题
27．如图，在三棱锥中，，，.

(1)证明：平面；
(2)若，，，求三棱锥的体积.
28．在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求的值；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.
29．已知、为常数，，是的零点，且.
(1)若，，求、的值；
(2)若，比较与的大小.
参考答案：
1．A
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：A.
2．D
【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定.
【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点，
故选:D.
3．C
【分析】根据根号下的式子为非负数可得结果.
【详解】易知函数的定义域为，即.
故选：C
4．A
【分析】由同角的三角函数关系即可求解.
【详解】因为，所以由题意可得
故选：A.
5．B
【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数为奇函数；
对于B选项，函数为偶函数；
对于C选项，函数为奇函数；
对于D选项，函数为非奇非偶函数.
故选：B.
6．C
【分析】举反例可得AB错误；由不等式的性质可得C正确，D错误.
【详解】对A，令，则，故A错误；
对B，；令，则，故B错误；
对CD，由，，相加可得，即，故C正确，D错误.
故选：C
7．A
【分析】根据复数的减法法则计算即可.
【详解】由，，
则.
故选：A.
8．B
【分析】根据正弦函数定义代入点坐标计算可得结果.
【详解】由可得.
故选：B
9．B
【分析】由正方体的性质找到异面直线所成的角，求出即可；
【详解】由题意可得，所以异面直线与所成的角等于，
由正方体的性质可得，
故选：B
10．A
【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果.
【详解】易知函数在区间上单调递减，
所以其最大值为.
故选：A
11．D
【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果.
【详解】易知.
故选：D
12．D
【分析】由基本不等式求解即可；
【详解】由题意可得，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：D.
13．B
【分析】利用诱导公式计算可得结果.
【详解】由诱导公式计算可得.
故选：B
14．D
【分析】根据样本、样本容量、个体、总体的定义判断．
【详解】根据定义，被抽取的名大学生是样本．
故选：D.
15．C
【分析】由正弦函数的周期公式求出即可；
【详解】由周期公式可得最小正周期为，
故选：C.
16．B
【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.
【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码，且甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，
因此，甲、乙两人都成功破译的概率为.
故选：B.
17．C
【分析】由两角差的正弦公式即特殊角的三角函数即可计算得解；
【详解】，
故选：C.
18．B
【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可；
【详解】由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人，
所以分层抽样的比例为，
所以，
故选：B.
19．C
【分析】根据函数单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义域为的增函数，
所以由，得，
解得，即的取值范围为.
故选：C.
20．A
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关的等式，解之即可.
【详解】因为平面向量，平面向量，且，
则，解得.
故选：A.
21．C
【分析】利用对数的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】.
故选：C.
22．D
【分析】利用古典概型概率计算公式可得结果.
【详解】根据题意摸出的球是红球的概率为，
因此该同学到甲敬老院看望老人的概率为.
故选：D
23．
【分析】利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】由题意可知，半径为的球体的表面积为.
故答案为：.
24．
【分析】由一元二次不等式的解法求出即可；
【详解】，解得，
所以的取值范围为，
故答案为：.
25．甲
【分析】根据甲、乙两人平均成绩和方差的大小以及方差的意义可得出结论.
【详解】因为，，
所以两人平均水平相当，但甲发挥较为稳定，故学校应推荐甲参加市中学生运动会.
故答案为：甲.
26．
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
且当时，，
所以.
故答案为：.
27．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）求出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：因为，，，、平面，
因此平面.
（2）因为，且，，则，
又因为平面，且，
故，即三棱锥的体积为.
28．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可求出的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得.
（2）因为，，则，
由正弦定理可得，
所以，
，
因为为锐角三角形，则，解得，
所以，，则，
故.
即的取值范围是.
29．(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理将，代入计算可得；
（2）利用作差法以及两根之间的关系，再由不等式性质计算可判断结论.
【详解】（1）依题意可得的两根分别为；
若，，可得，
解得；
（2）易知，
所以，则；
所以，
由可得，
又可得，所以，即；
因此.
所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
A
B
C
A
B
B
A
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
D
D
B
D
C
B
C
B
C
A
题号
21
22








答案
C
D