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    2023-2024学年云南省大理州高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试卷(含解析)

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    2023-2024学年云南省大理州高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年云南省大理州高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试卷(含解析),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.设z=2+4i1−3i,则z的虚部是( )
    A. 1B. −1C. −iD. i
    2.已知集合A={x|x2−2x≥0},B={x|lnx>0},则(∁RA)∩B=( )
    A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (1,2)
    3.在平面直角坐标系中,已知两点A(0,1),B(0,−1),点M为动点,且直线AM与BM的斜率之积为12,则点M的轨迹方程为( )
    A. x2+2y2=2(x≠0)B. 2x2−y2=2(x≠0)
    C. x2−2y2=2(x≠0)D. 2y2−x2=2(x≠0)
    4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=11,S10=24,则S15=( )
    A. 34B. 39C. 42D. 45
    5.若sinα⋅tanα=154,则cs2α=( )
    A. 78B. −78C. 1516D. −1516
    6.已知向量a,b满足|a|=1,b=(1,2),|a−b|= 7,则向量a在向量b方向上的投影向量为( )
    A. (110,210)B. (−110,−210)C. (15,25)D. (−15,−25)
    7.已知菱形ABCD,∠ADC=π3,AB=2 3,将△DAC沿AC对折至△PAC,使PB= 3 3,则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为( )
    A. 12πB. 27πC. 28πD. 48π
    8.已知函数f(x)的导数为f′(x),若方程f(x)−f′(x)=0有解,则称函数f(x)是“T函数”,则下列函数中,不能称为“T函数”的是( )
    A. f(x)=2xB. f(x)=lnxC. f(x)=tanxD. f(x)=x+1x
    二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.小华到大理旅游,对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点,下列各事件关系中正确的是( )
    A. 事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件
    B. 事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
    C. 事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件
    D. 事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
    10.已知函数f(x)=cs23x( 3sin23x−cs23x)+12的图象向左平移π4个单位后得到g(x)的图象,则下列结论正确的是( )
    A. g(x)=cs(43x+2π3)B. g(x)的图象关于x=π4对称
    C. g(x)的图象关于(−π8,0)对称D. g(x)在(−π2,π2)上单调递增
    11.已知O为坐标原点,曲线C:x2+y2=1+ |x|y图象酷似一颗“红心”(如图).对于曲线C,下列结论正确的是:( )
    A. 曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
    B. 曲线C上存在一点P使得|OP|= 2
    C. 曲线C上存在一点P使得|OP|=2
    D. 曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.某年级有男生490人,女生510人,为了解学生身高,按性别进行分层,并通过分层随机抽样的方法得到样本容量为100的样本数据,若抽样时在各层中按比例分配样本,并得到样本中男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm,在这种情况下,可估计该年级全体学生的平均身高为 cm.
    13.设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线交椭圆E于P,Q两点,且PF1⊥PQ,|PF2|=2|QF2|,则椭圆E的离心率为 .
    14.对函数f(x)=3x做如下操作:先在x轴找初始点P1(x1,0),然后作f(x)在点Q1(x1,f(x1))处切线,切线与x轴交于点P2(x2,0),再作f(x)在点Q2(x2,f(x2))处切线,切线与x轴交于点P3(x3,0),再作f(x)在点Q3(x3,f(x3))处切线,依次类推.现已知初始点为P1(0,0),若按上述过程操作,则x3= ,所得三角形△PnQnPn+1的面积为 .(用含有n的代数式表示)
    四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,5csC(acsB+bcsA)=c.
    (Ⅰ)求csC的值;
    (Ⅱ)若c=3,△ABC的面积为 62,求△ABC的周长.
    16.(本小题12分)
    已知Sn,Tn,分别是数列{an}和{bn}的前n项和,S5=25,an+1−an=2(n∈N∗),2Tn=3bn−3(n∈N∗).
    (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
    (Ⅱ)若cn=an⋅bn,求数列{cn}的前n项和Rn.
    17.(本小题12分)
    如图,已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=2,BC=2 2,M,N分别是CC1,BC的中点,点P为线段A1B1上一点,|A1P|=a.
    (Ⅰ)证明:AM⊥PN;
    (Ⅱ)若平面PMN与平面ABC的夹角的余弦值为 66,试求a的值.
    18.(本小题12分)
    已知函数f(x)=lnx+1−xax,x=1为函数f(x)的极值点.
    (1)求实数a的值,并求出f(x)的极值;
    (2)若x∈[12,2]时,关于x的方程f(x)=m有两个不相等实数根x1,x2.
    (Ⅰ)求实数m的范围;
    (Ⅱ)求证x1x2>1.
    19.(本小题12分)
    已知定点F(0,12),直线l:y=−12,动圆过点F且与直线l相切,动圆圆心的轨迹为曲线C.
    (Ⅰ)求曲线C的方程;
    (Ⅱ)若a为正数,圆x2+(y−a)2=a2与曲线C只有一个交点,求正数a的取值范围;
    (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下所得到半径最大的圆记为圆M,点P(x0,y0)是曲线C上一点,且y0>2,过P作圆M的两条切线,分别交x轴于A,B两点,求△PAB面积的最小值.
    答案解析
    1.A
    【解析】解:依题意,z=(2+4i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=−10+10i10=−1+i,
    则z的虚部是1.
    故选:A.
    2.D
    【解析】解:∵集合A={x|x(x−2)⩾0}={x|x⩽0或x⩾2},
    B={x|lnx>0}={x|x>1},
    ∴∁RA={x|00,∴f(12)>f(2)
    ∴由方程f(x)=m有两解可得,0

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