初中数学人教版（2024）七年级上册4.3.2 角的比较与运算优质学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册4.3.2 角的比较与运算优质学案设计，共15页。

1. 掌握角的大小的比较方法.
2. 理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.
3. 会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
重点难点突破
★知识点1：角的比较
（1）比较方法：①测量法（用量角器度量角的度数）；②叠合法（把角叠合在一起，即角的顶点及其中一边重合，观察另一边的位置）.
（2）表示法：“＞”“＜”“＝”
★知识点2：角的和差倍分
（1）角的和差倍分仍然是一个角，具体的等式关系需借助相应的图形加以判断.
（2）角的平分线把角分成了两个相等的角，这两个角都等于原角的一半.
★知识点3：角的度分秒的加减乘除运算
首先明确角的度量单位之间是60进制，需要借位时借1作60，需要进位时满60进1，四种运算中，加减乘除都是相同单位间各自进行，最后进位，除法要从高位除起，余数化作下一级单位继续除.
核心知识
1. 角的大小比较：（1）用量角器量角，角的度数 ，角 .（2）叠合法比较：将两个角 和其中 重合，观察另一边所在的位置.
2. 角的和差如图：
∠AOB= + ，
∠AOC= － ，
∠BOC= － ，
3. 角的倍分，角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成 的两个角的 叫做这个角的平分线，类似地还有角的三等分线.已知OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC= = . ∠AOB= = .
4.角的加与减，要将 、 、 分别相加、减，分秒相加时逢 要进位，相减时要借1作 .
5.度、分、秒是 进制.
思维导图
合作探究
问题1：请同学们回忆一下，前面我们学习了线段的哪些内容？
问题2：类比线段大小的比较，你认为该如何比较两个角的大小？在练习本上画两个角，比较它们的大小，并说明你是怎么比较的．
追问：两个角的大小关系有几种？你能用图形和符号表示吗？
问题3：如图2，图中共有几个角？它们之间有什么关系？
图2
问题4：利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角？这些角有什么规律？
典例分析
例1：如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.
针对训练一
1. 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝ °．
2. 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝ °．
3. 若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，则∠BOC＝ °．
典例分析
例2：把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角（精确到分）？
针对训练二
计算：
1. 120°－38°41′； 2. 67°31′+48°49′.
3. 20°30′×8； 4. 106°6′÷5.
合作探究
问题5：类比线段的中点，在图3中，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间又存在怎样的关系？
图3

图4 图5
（1）你能用符号表示图4中角之间的关系吗?
（2）类似角的平分线，还有角的三等分线（图5），一个角的三等分线有几条？四等分线呢？
问题6：你能得到一个角的平分线吗？
典例分析
例3：如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
（1）如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？
（2）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
（3）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
例4：如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
当堂巩固
1. 如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（ ）
2. （1）如下图，填空：
∠AOB＋∠BOC＝ ；
∠AOC＋∠COD＝ ；
∠BOD－∠COD＝ ；
∠AOD－ ＝∠AOB.
（2）如上图 ：已知∠AOB = ∠BOC =∠COD，
则OB 是 的平分线；
∠AOC= ；∠BOC = = = .
3. 填空：
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠ =∠ .
（ ）
∵∠ABC=2∠ABE
∴ 平分∠ .
（ ）
4. 如图，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，则∠BOC=____.
5. 已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC 的度数是 .
6. 计算：
（1）12°36′56″+45°24′35″； （2）79°45′+61°48′49″；
（3）62°24′17″×4； （4） 102°43′÷3.
7. 如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.
8. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
能力提升
1. 如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
2. 如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求∠EOD的度数；
（2）若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
感受中考
1．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 °．

2．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝ ．

课堂小结
回顾本节课所学主要内容，构建知识与方法框图：
【参考答案】
核心知识
1. （1）越大；越大；（2）顶点；一边；
2. ∠AOC；∠BOC；∠AOB；∠BOC；∠AOB；∠AOC；
3. 相等；射线；∠BOC；∠AOB；2∠AOC；2∠BOC；
4. 度与度；分与分；秒与秒；60；60；
5. 60.
典例分析
例1：解：∵∠AOB 是平角，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC.
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
针对训练一
1. 75；
2. 20；
3. 90或30．
典例分析
例2：解：360°÷7 = 51°+3°÷7
= 51°+180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
针对训练二
1. 解：原式= 119°60′－38°41′= 81°19′ .
2. 解：原式= (67+48)°+(31+49)′
= 115°97′
= 116°37′ .
3. 解：原式= 20°×8+30′×8
= 160°240′
= 164°
4. 解：原式= (106÷5)°+(6÷5)′
= 21°+1°÷5+(6÷5)′
= 21°+(66÷5)′
=21°+13′+1′÷5
=21°+13′+60″÷5
=21°13′12″
典例分析
例3：解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOC=80°，
所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.
（2）因为OB平分∠AOC，
所以∠BOC=∠AOB = 40°.
因为OD平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
（3）因为∠COD=30°，OD平分∠COE，
所以∠COE=2∠COD=60°，
所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°= 80°.
又因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB=∠AOC=×80°= 40°.
例4：解：分以下两种情况：
①如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，
∴∠AOC=2x=2×8°=16°.
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOD－∠AOC=20°－16°=4°．
②如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴3x－2x=40°，得x=40°，
∴∠AOC=2x=2×40°=80°，
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
当堂巩固
1. A；
2.（1）∠AOC；∠AOD；∠BOC；∠BOD；
（2）∠AOC；∠BOD；∠AOB；∠DOC；∠AOD.
3. BAD；CAD；
（ 角平分线的意义 ）
BE；ABC.
（ 角平分线的意义 ）
4. 34°；
5. 13°或63°；
6.（1）58°；（2）141°33′49″；（3）249°37′8″；（4）34°14′20″.
7. ∠AOD=122°.
8. ∠COD=10°.
能力提升
1. 解：设∠COD=x，
∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，
∴∠AOD=60°－x，
∴∠AOB=90°+60°－x=150°－x，
∵∠AOB是∠DOC的3倍，
∴150°－x=3x，解得x=37.5°，
∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
2. 解：（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC
＝(∠BOC＋∠AOC )
＝∠AOB＝×120°＝60°.
（2）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝120°－90°＝30°.
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.
感受中考
1．【解答】解：根据题意可得，
∠BAC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
2．【解答】解：因为一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
所以∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，
在△ODE中，∠OED＝180°－∠AOB－∠EDO＝180°－120°－20°＝40°，
所以∠AEF＝∠OED＝40°．
故答案为：40°．