(暑假)苏教版数学七年级分层作业第04练 多边形的内角和与外角和（2份，原卷版+解析版）

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1.多边形：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。
2.n边形内角和为（n-2）×180°
3.任意多边形的外角和为360°
4.正n边形的一个外角为
5.n边形具有不稳定性（n>3）
1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是( )
A．或B．C．或D．或或
【答案】D
【解析】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°，
解得：n＝16，
则多边形的边数是15或16或17．
故选：D．
2．从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【解析】解：由题意得：，解得，故选：B．
3．若一个多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×3，解得n=8．故选：D．
4．一个十边形的内角和等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：十边形的内角和等于：（10-2）×180°=1440°．故选C．
5．多边形的边数由3增加到2021时，其外角和的度数（ ）
A．增加B．减少C．不变D．不能确定
【答案】C
【解析】解：∵任何多边形的外角和都是360°，
∴多边形的边数由3增加到2021时，其外角和的度数不变，
故选：C．
6．已知一个多边形的每个内角都相等，其内角和为2340°，则这个多边形每个外角的度数是________________°．
【答案】24
【解析】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：(n−2)⋅180°=2340°，
解得n=15；
那么这个多边形的一个外角是360°÷15=24°，
即这个多边形的一个外角是24°．
故答案为：24．
7．如图，已知∠A+∠B+∠C+∠D＝230°，则∠CED=_______°．
【答案】50
【解析】解：连接CD，
∵∠A+∠B+∠BCE+∠ADE＝230°，∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠CDE+∠DCE =360°，
∴∠CDE+∠DCE=360°-230°=130°，
∴∠CED=180°-130°=50°．
故答案为：50．
8．一个多边形的每个外角的度数为60°，则这个多边形的内角和是 ____________度；
【答案】720
【解析】解：∵每一个多边形的外角和都是360°，这个多边形每一个外角都为60°，
∴这个正多边形的边数，
∴这个多边形的内角和为：．
故答案为：．
9．如图，∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．若∠B＝m°，∠D＝n°，则∠G＝______°．（用含m、n的代数式表示）
【答案】
【解析】解：∵∠B＝m°，∠D＝n°，
∴ ，
∵∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，
∴ ，
∵∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
10．如图，是三角形ABC的不同三个外角，则___________
【答案】360°．
【解析】解：∵是三角形ABC的不同三个外角，三角形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故答案为：360°．
11．阅读并解决下列问题：
（1）如图①，中，，、的平分线交于点D，则______．
（2）如图②，五边形中，，EF平分，平分，若，求的度数．
图① 图②
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），分别平分、，
，，
，
，
，
，
．
（2）∵EF平分，CF平分，
设，，
∵，
∴，
∵五边形的内角和为，
∴，
即，
∴，
∵，
∴．
12．如图，如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝60°．
(1)求∠FAD的度数；
(2)AB与ED有怎样的位置关系？为什么？
【答案】(1)；(2)平行，证明见解析.
【分析】(1)解： 由于六边形的内角和为，六边形的内角都相等，
每个内角的度数为，
，
；
(2)四边形的内角和为，，，
，
，
．
13．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
(1)如图1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度数；
(2)如图1，试说明：∠MBC+∠NDC的度数与α，β的数量关系；
(3)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝30°，请写出α、β所满足的等量关系式；
(4)如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)120°
(2)∠MBC+∠NDC=α+β
(3)β−α=60°(或α−β=−60°等均正确)(4)平行，理由见解析
【分析】(1)解：在四边形ABCD中，∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，
∵α+β＝120°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−120°=240°，
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°，
∴∠MBC+∠NDC=180°−∠ABC+180°−∠ADC
=360°−(∠ABC+∠ADC)=360°−240°
=120°；
(2)解：在四边形ABCD中，∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°，
∴∠MBC+∠NDC=180°−∠ABC+180°−∠ADC
=360°−(∠ABC+∠ADC)=360°−[360°−(α+β)]
=α+β，
∴∠MBC+∠NDC=α+β；
(3)解：β−α=60°(或α−β=−60°等均正确)；
理由：如图1，连接BD，
由(2)有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=∠MBC，∠CDG=∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，
在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°−∠BCD=180°−β，
在△BDG中，∠BGD=30°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°，
∴(α+β)+180°−β+30°=180°，
∴β−α=60° (或α−β=−60°等均正确)；
(4)解：平行；
理由如下：
如图2：延长BC交DF于点H，
由(2)知，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHC，
∴∠CDH=∠BCD-∠DHC=β−∠DHC，
∴∠CBE+β−∠DHC=(α+β)，
∵α=β，
∴∠CBE+β−∠DHC=(α+β)= β，
∴∠CBE=∠DHC，
∴BEDF．
14．（1）如图1，四边形沿MN折叠，使点、落在四边形内的点、处，探索、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将四边形沿着直线翻折，使得点落在四边形外部的处，点C落在四边形内部的处，直接写出、与之间的关系．
【答案】（1），或，见解析；
（2）或
【解析】解：（1）∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B），理由如下：
根据四边形的内角和为360°可知，∠D+∠C=360°-（∠A+∠B），
∠DMN+∠CNM=360°-（∠C+∠D）=∠A+∠B，
根据折叠的性质得，∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，
∴∠DMD′+∠CNC′=2（∠A+∠B），
∵∠DMD′+∠AMD′=180°，∠CNC′+∠BNC′=180°，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B）．
（2）∠BNC′-∠AMD′=360°-2（∠A+∠B），理由如下：
由（1）知，∠DMN+∠CNM=∠A+∠B，
根据折叠的性质得，∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，
∴∠D′MN+∠C′NM=∠A+∠B，
由四边形的内角和为360°得，∠D′MN-∠AMD′+∠BNC′+∠C′NM=360°-（∠A+∠B）
∴∠BNC′-∠AMD′=360°-2（∠A+∠B）．
15．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）95°或110°；（2）60°；（3）m°或m°或m°＋°或m°﹣18°
【解析】解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，；
当BD是“邻BC三分线”时，；
（2）在△BPC中，
∵，
∴，
又∵BP、CP分别是邻BC三分线和邻BC三分线，
∴，
∴，
∴，
在△ABC中，，
∴．
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴；
情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
；
综上所述：的度数为：或或或．