初中数学人教版（2024）七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组同步训练题

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一、单选题
1．《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，
∵7亩坏田是500元，
∴每亩坏田 SKIPIF 1 < 0 元，
∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若 SKIPIF 1 < 0 人坐一辆车，则两辆车是空的；若 SKIPIF 1 < 0 人坐一辆车，则 SKIPIF 1 < 0 人需要步行．问：人与车各多少？设有 SKIPIF 1 < 0 辆车，人数为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解：设有 SKIPIF 1 < 0 辆车，人数为 SKIPIF 1 < 0 人，依题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
3．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
解：设原两位数的个位为 SKIPIF 1 < 0 十位为 SKIPIF 1 < 0 则这个两位数为 SKIPIF 1 < 0
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为 SKIPIF 1 < 0 则
SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为正整数，且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以这个两位数为： SKIPIF 1 < 0
故选C
4．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其 SKIPIF 1 < 0 的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
解：由题意可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
二、填空题
6．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为______________．
【答案】x（x+12）＝864
【解析】
∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
7．若关于x、y的二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的解相同，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2
【解析】
解：∵关于x、y的二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的解相同，
∴方程组 SKIPIF 1 < 0 的解满足四个方程，
解方程组得， SKIPIF 1 < 0 ；
分别代入 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：2．
8．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
设买美酒x斗，买普通酒y斗，
依题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案是： SKIPIF 1 < 0 ．
9．我国明代数学读本《算法统宗》中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．问：索子与竿子分别长多少托？若设索子长 SKIPIF 1 < 0 托，竿子长 SKIPIF 1 < 0 托，则列方程组为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
解：设索子长x托，竿子长y托，
根据题意，可列方程组为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知关于x、y的方程组 SKIPIF 1 < 0 的解满足x+y＝4，则m＝__．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
解： SKIPIF 1 < 0 ，
①﹣②得：2x+2y＝2m+3，化简得x+y＝m+ SKIPIF 1 < 0
∵x+y＝4，
∴m+ SKIPIF 1 < 0 ＝4，
解得：m＝ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
三、解答题
11．对任意一个三位数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，a，b，c为整数），如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位数上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定 SKIPIF 1 < 0 ，我们称新数 SKIPIF 1 < 0 为M的“格致数”．例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以154的“格致数”为387．
(1)填空：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ______；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ______；
(2)求证：对任意的“万象数”M，其“格致数” SKIPIF 1 < 0 都能被9整除；
(3)已知某“万象数”M的“格致数”为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M．（完全平方数：如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ……，我们称0、1、4、9、16……叫完全平方数）
【答案】(1)
解：由新定义可得： SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
(2)
解：设“万象数” SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 则其 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0
所以其“格致数” SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以其“格致数” SKIPIF 1 < 0 都能被9整除.
(3)
解： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的倍数，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的倍数，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的倍数，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，a，b，c为整数，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的值为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是完全平方数，
SKIPIF 1 < 0 的值为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）根据新定义分别求解即可；
（2）设“万象数” SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 则其 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 再计算其“格致数” SKIPIF 1 < 0 ，再利用乘法的分配律进行变形即可证明结论；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的倍数，可得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的倍数，结合 SKIPIF 1 < 0 的范围可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 从而得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 再求解方程符合条件的解，可得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合 SKIPIF 1 < 0 是完全平方数，从而可得答案.
12．已知方程组 SKIPIF 1 < 0 的解也是关于x、y的方程 SKIPIF 1 < 0 的一个解，求a的值．
【答案】
解：方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
把②代入①得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，代入①中，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
13．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【答案】
解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【解析】
设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
14．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
【答案】
（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，
由题意列方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．
【解析】
（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可．
（2）根据第（1）问求得的大小垃圾桶的单价计算即可．
15．单县职业中专“综合实践活动”棋类社团前两次购买的两种材质的围棋采购如表（近期两种材质的围棋的售价一直不变）：若该社团计划再采购这两种材质的围棋各5盒，则需要多少元；
【答案】
解：设塑料围棋的单价为x元/盒，玻璃围棋的单价为y元/盒，
依题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴5x+5y=5×25+5×30=275．
答：该社团计划再采购这两种材质的围棋各5盒，共需要275元．
【解析】
设塑料围棋的单价为x元/盒，玻璃围棋的单价为y元/盒，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再将其代入(5x+5y)中即可求解．
塑料围棋
玻璃围棋
总价（元）
第一次（盒）
10
30
1150
第二次（盒）
30
20
1350