沪科版数学七下同步讲义专题8.9 整式乘法与因式分解章末重难点突破（2份，原卷版+解析版）

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专题8.9 整式乘法与因式分解章末重难点突破【沪科版】 【考点1 幂的运算】【例1】（2021春•叶集区期末）下列计算正确的是（　　）A．（x3）2＝x5 B．x3•x5＝x15 C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3 D．x6÷x3＝x2【变式1-1】（2021春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【变式1-2】（2021春•安庆期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）【变式1-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于　 　．【考点2 幂的逆运算】【例2】（2021秋•岳麓区校级月考）解答下列问题（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．【变式2-1】（2021春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【变式2-2】（2021春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【变式2-3】（2021•河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．【考点3 巧用幂的运算进行大小比较】【例3】（2021春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（　　）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．大小关系无法确定【变式3-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（　　）A．255＜344＜433 B．433＜344＜255 C．255＜433＜344 D．344＜433＜255【变式3-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）　 　．【变式3-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【考点4 整式的乘法及其应用】【例1】（2021春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（　　）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【变式4-1】（2021春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（　　）A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1【变式4-2】（2021春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（　　）A．3张 B．4张 C．5张 D．6张【变式4-3】（2021春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是　 　．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．【考点5利用乘法公式求值】【例5】（2021春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【变式5-1】（2021春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．【变式5-2】（2021春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值；（3）求（a﹣b）2的值．【变式5-3】（2021春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．【考点6 整式乘除的计算与化简】【例6】（2021春•淄川区期中）（1）计算：①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．②．③（﹣4x﹣3y）2．④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2（2）先化简，再求值：①，其中x＝﹣1，．②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．【变式6-1】（2021春•郓城县期末）计算：（1）（﹣2ab）2•3b÷（ab2）（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y．【变式6-2】（2021春•竞秀区期末）计算题：（1）82019×（﹣0.125）2020（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．【变式6-3】（2021春•南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；（2）计算：20092﹣2010×2008；（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．【考点7 整式混合运算的应用】【例7】（2021春•衢州期中）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（　　）A．100 B．96 C．90 D．86【变式7-1】（2020春•潜山市期末）已知图①是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，图②是大长方形，且边AB＝a+3b，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，若BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足（　　）A．ab B．a＝2b C．a＝4b D．a＝3b【变式7-2】（2020春•瑶海区期末）如图，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m﹣n＝2时，S1﹣S2的值为（　　）A．﹣2b B．2a﹣2b C．2a D．2b【变式7-3】（2020春•丹徒区期中）如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a【考点8 因式分解】【例8】（2021春•玄武区期中）因式分解：（1）a3﹣a；（2）4ab2﹣4a2b﹣b3；（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；（4）（y2﹣1）2+6 （1﹣y2）+9．【变式8-1】（2021秋•斗门区期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．【变式8-2】（2021春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：（1）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）（2）a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：①ad﹣ac﹣bd+bc②x2﹣y2﹣6x+9（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．【变式8-3】（2021春•高密市期末）把下列各式进行因式分解（1）m（a﹣2）+n（2﹣a） （2）（x+y）2+4（x+y+1）（3）m（m﹣1）+m﹣1 （4）x2﹣2xy+y2﹣1．【考点9利用因式分解求值】【例9】（2021春•靖远县期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2xy3＝　　．【变式9-1】（2021春•碑林区校级月考）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　）A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11【变式9-2】（2021秋•嘉祥县期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【变式9-3】（2021秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12∵a2+a＝3∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a﹣4）＝9根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．【考点10因式分解的应用】【例10】（2021春•常德期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题：在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）．（1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝　 　；（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）① 　；②　 　；思考：类比平方差公式，你能得到的等式为　 　．（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣125；（4）拓展：已知a﹣2b＝6，ab＝﹣2，你能求出代数式a4b﹣8ab4的值为　 　．【变式10-1】（2021春•新昌县期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．探索问题：（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片　 　张，长方形纸片　 　张；（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．【变式10-2】（2021春•沙坪坝区校级月考）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如28＝（6+1）×（6﹣2）＝7×4．（1）“十字点”为7的“十字数”为　　；130的“十字点”为　　；（2）若b是a的“十字点”，且a能被（b﹣1）整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．【变式10-3】（2021秋•沙坪坝区校级月考）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453 的千位数字与百位数字的和为：3+4＝7，十位数字与个位数字的和为：5+3＝8，所以3453是一个七上八下数”：3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”．（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；（2）若对于一个七上八下数 m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义F（m），若F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．