专题15 导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题15 导数与函数的极值、最值
1.函数的极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.
(4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
4.利用导数研究函数的零点
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图像，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图像与性质确定函数有多少个零点.
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
一、利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
答案 C
分析 利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D.
解析 根据的图象可知，
函数在和上，单调递增，A选项正确；
函数在和上，单调递减，B选项正确；
所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误；
由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确.
故选：C
[拓展]
已知函数，则（ ）
A．有极小值，且极小值为0B．有极小值，且极小值为
C．有极大值，且极大值为0D．有极大值，且极大值为
答案 D
分析 对进行求导，令，得出极值点，根据极值定义进行求解
解析 由，得，
令，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以时，函数有极大值为
故选：D
命题点2 求已知函数的极值
例2 若函数的极大值为11，则的极小值为 ．
答案 －21
分析 首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求，再求解函数的极小值.
解析 函数的定义域为，，令，解得或，
列表：
所以当时，函数有极大值，由题意得，解得，
当时，函数有极小值.
故答案为：
[拓展]1. 函数的极大值为 ．
答案 /
分析 利用导数求解极值即可.
解析 ，当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故答案为：
2．已知函数的极值点为1，且（为的导函数），则的极小值为 .
答案 4
分析 极值点为1，则有，又由，可求出、的值，再求出的单调性即可求解.
解析 ，，，所以，
解得：，，
所以，，令得，
时，，单调递减，，，单调递增.
所以是函数的极小值点，.
故答案为：4.
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案 C
分析 求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可.
解析 函数的定义域为，且，
因为函数有极值，所以在上有变号零点，
即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数的对称轴为，开口向上，
所以只需，解得，即实数的取值范围是.
故选：C
(2)若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案 B
分析 求导，由既有极大值也有极小值可知，一元二次方程在上有2个不同的实根，进而建立不等式组，解之即可求解.
解析 ，则，
函数既有极大值，也有极小值，
等价于一元二次方程在上有2个不同的实根，
则，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：B
[拓展]已知函数在处取得极值，且，，若的单调递减区间为；则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案 D
分析 求出导函数并根据极值点求得的关系，然后用判别式和根与系数的关系讨论导函数的零点问题，最后求出答案.
解析 由可得，由条件可得，故，由可得，故.
对于方程，，当且仅当时取等号，与矛盾，故等号不成立，即，故方程有两个实数根：，，由，得，故，
因为函数的单调递减区间为，容易判断，m=1，于是.
故选：D.
方法归纳： 根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
二、利用导数求函数最值
例4 已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数在上的最小值.
答案 (1)
(2)
分析（1）求导后分析单调性求最值即可；
（2）利用（1）的结论，对参数分类讨论，得到参数区间的范围，进而求最值即可.
解析 （1）因为，所以，
由，得，所以；由，得，所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
所以的最小值为，无最大值．
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，
当，即时，在单调递减，
；
当时，即在单调递减，单调递增，．
当时，在单调递增，；
综上所述.
方法归纳： (1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增