专题26 双曲线（七大题型 模拟精练 核心素养分析 方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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一.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若ac，则集合P为空集.
二．双曲线的标准方程和几何性质
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
三.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
四．直线与双曲线的位置关系和弦长
1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
2.弦长公式
设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|＝·.
温馨提示：
一．求标准方程
1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”
2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再
性质
图形
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，
长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．
3.常用设法：①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
二.求双曲线离心率或其取值范围的方法
1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.
4.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝＝.
三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
①当P为短轴端点时，θ最大.
②S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
双曲线是高考考查的重点和热点，其中双曲线的方程、渐近线与离心率等几何性质常以选择题、填空题形式出现；直线与双曲线的综合问题定点、定值问题等常常以解答题形式出现。
题型一 双曲线的定义及应用
例1（1）．已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线的上支B．双曲线的下支
C．双曲线的左支D．轴负半轴上的射线
答案 A
分析 根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案.
解析 由定点且在y轴上，可得，
因为，即，
根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支.
故选：A.
（2）．设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
答案 B
分析 根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.
解析 对于双曲线，则，
根据双曲线定义有，
又，，故．
故选：B

方法归纳： 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
题型二 双曲线的标准方程
过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
答案 D
分析 求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点，可求得双曲线方程.
解析 由，得，所以焦点在y轴上，且．
设双曲线的方程为，所以解得，，
所以双曲线的方程为．
故选：D．
方法归纳： 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例34．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
答案 C
分析 由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案.
解析 由题意知，因为轴，
所以令，可得，解得：，设，
直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
令可得，所以，
直线的斜率为：
所以直线的方程为：，
令可得，所以，
由可得，解得：,
所以，解得：，即
所以的渐近线方程为，
故选：C.
方法归纳： (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为渐近线上一动点，且在第一象限内，为坐标原点，当最大时，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案 D
分析 设出点的坐标，然后表示出的斜率，利用到角公式表示出，最后结合基本不等式求出取得最大值时的条件，结合此时，即可求出离心率.
解析
由已知得，渐近线方程为，设，
则
所以
，当且仅当即时等号成立，
此时，即，
即解得或（舍去）.
故选：D
方法归纳： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．