专题13 导数的概念及运算（九大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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专题13 导数的概念及运算（九大题型+模拟精练）
目录：
01 变化率问题
02 导数定义中简单的极限运算
03 求某点的导数（切线斜率）
04 求切线方程
05 已知切线求参数（范围）
06 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
07 切点、切线有关的其他问题
08导数的运算
09 抽象函数的导数综合
01 变化率问题
1．（2024高三·全国·专题练习）如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.
【解析】，
所以.
故选：D.
2．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】
直接利用平均变化率的定义求解.
【解析】
设，则函数在区间上的平均变化率为．
故选：A.
3．（23-24高二下·重庆·期中）某物体的运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（ ）
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
【答案】C
【分析】根据瞬时速度的定义即可得解.
【解析】由，
可知，是物体在这一时刻的瞬时速度.
故选：C
02 导数定义中简单的极限运算
4．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）
A．－2aB．2a
C．aD．
【答案】B
【分析】由导数的定义变形即可求解.
【解析】.
故选：B．
5．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数在处的导数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【解析】由题意得函数在处的导数
，
故A项正确.
故选：A.
6．（22-23高二下·陕西渭南·期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】
根据导数的定义，直接代入求值.
【解析】根据导数的定义可知，
.
故选：B
7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由导数的定义计算即可得出结果.
【解析】∵，
∴，
∴ .
故选：B
03 求某点的导数（切线斜率）
8．（21-22高二下·北京通州·期中）已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可．
【解析】依次作出，，，在的切线，如图所示：
根据图形中切线的斜率可知．
故选：A．
9．（22-23高三上·上海浦东新·期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
【答案】2
【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.
【解析】，故.
故答案为：2
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 ．
【答案】.
【分析】根据函数在处的导数的定义即可求解.
【解析】
.
故答案为：.
04 求切线方程
11．（2024·全国·模拟预测）函数的图象在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先求解出导函数，然后计算出时的导数值和函数值，可得切线的点斜式方程，再化为一般式方程即可.
【解析】由题意，得，所以，
又，所以切线方程为，即为，
故答案为：.
12．（23-24高三上·北京·阶段练习）曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【解析】，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以方程为，
故答案为：
13．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 .
【答案】或或(写出其中一条即可)
【分析】根据曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，利用判别式法求解；设的切线的切点为，利用导数法求解.
【解析】解：设曲线表示抛物线的一部分，
设其切线方程为，代入，
得.由，得.
当时，，符合题意，
当时，，均符合题意，
所以切线方程.
设的切线的切点为.
由，得，，
得切线方程为.
将的坐标代入切线方程，得，
所以，所以切线方程为.
故答案为：或或(写出其中一条即可)
05 已知切线求参数（范围）
14．（22-23高三上·山东临沂·期中）若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数 ．
【答案】
【分析】利用求得切点坐标，代入切线方程，从而求得.
【解析】令，解得，所以切点为，
将代入切线得.
故答案为：
15．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围.
【解析】由得，设切点坐标为，
则切线斜率，
切线方程为，
又因为切线过，所以，整理得，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以，解得或，
所以的取值范围是，
故答案为：.
16．（23-24高三下·全国·阶段练习）若存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先求得，设切点为，根据，列出方程，得到，结合方程的根，即可求解.
【解析】
由函数，可得，
设切点为，可得，即，
整理得，解得或（舍去），
因为存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：D.
17．（22-23高二下·陕西西安·期末）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数的取值范围.
【解析】设点为曲线上一点，则
又，则，
则曲线在点处的切线方程为
，又切线过点，
则，即
令，则，
则时，单调递减；
时，单调递增；
时，单调递减，
则时取得极小值，时取得极大值，
又，
当时，恒成立，时，，
又由题意得方程有3个根，
则与图像有3个交点，则.
则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.

故答案为：
06 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
18．（22-23高二上·陕西西安·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．－4B．－3C．4D．3
【答案】D
【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.
【解析】因为，所以，
当时，，
所以曲线在点处的切线的斜率等于3，
所以直线的斜率等于，
即，解得，
故选:D.
19．（2023·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解.
【解析】由函数，
可得，
因为曲线在点和处的切线互相平行或重合，
可得为偶函数，所以，解得.
故选：C.
20．（21-22高三·江西·阶段练习）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可
【解析】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.，
设函数与直线切于点，
所以，故，
即，，解得或.
故选：D
07 切点、切线有关的其他问题
21．（23-24高三上·山西·阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】求出导函数，设出切点坐标，利用导数几何意义建立斜率方程，利用韦达定理化简计算即可.
【解析】由题意得，过点作曲线的两条切线，
设切点坐标为，则，即，
由于，故，，
由题意可知，为的两个解，则，，
故.
故选：B
22．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 .
【答案】/0.25
【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.
【解析】易知的定义域为，而，故切点为，
设切线斜率为，且，故，
切线方程为，化简得，
当时，，当时，，
易知围成的图形是三角形，设面积为，故.
故答案为：
08导数的运算
23．（23-24高二下·广东·阶段练习）求下列函数的导数
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）利用求导公式、导数的运算法则求解即得.
【解析】（1）.
（2），则.
（3），则.
（4）.
24．（23-24高二下·重庆·阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对于A：根据导数的加法法则运算求解；对于B：根据导数的除法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的乘法法则运算求解.
【解析】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；
故选：B.
25．（23-24高二下·北京·期中）下列导数运算错误的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
【答案】B
【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.
【解析】A选项，，则，A正确；
B选项，，，B错误；
C选项，，，C正确；
D选项，，，D正确.
故选：B
09 抽象函数的导数综合
26．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件得到，，从而得出函数是周期为的周期函数，再根据条件得到，即可求出结果.
【解析】因为是偶函数，所以关于直线对称，即，
由题知，又是偶函数，所以，
则，则，
又，所以，得到，
所以，又由，得到，
所以①，②，
由①②得到，所以函数是周期为的周期函数，
由①得到，又，所以，
故，
故选：A.
27．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1B．C．2D．2023
【答案】C
【分析】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值.
【解析】因为，所以两边求导，得，
即①
因为为定义在上的奇函数，则，
所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数，
所以，结合①式可得，，
所以，两式相减得，，
所以是周期为4的偶函数，
所以.
由①式，令，得，所以.
故选：C.
28．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】借助复合函数的导数计算与函数奇偶性的性质可得函数的周期性，结合赋值法计算即可得解.
【解析】由，则，
即，
由函数为奇函数，故，
则，
则，
即，
即，故为周期为的周期数列，
故，
对，令，有，即，
故.
故选：D.
29．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（ ）
A．为偶函数B．
C．D．为偶函数
【答案】D
【分析】利用奇偶对称性、周期性以及复合函数求导法则即可判断各项正误.
【解析】对于选项A，因为为奇函数，所以，则有，故为奇函数，故A错误；
对于选项B，因为，所以，
又，故，即函数周期为4，
则，故B错误；
对于选项C，因为，所以，
即，即.
因为，所以，
所以，故C错误；
对于选项D，由选项C可知，，所以为偶函数，故D正确.
故选：D
30．（2024·江西鹰潭·一模）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，求= ．
【答案】
【分析】先利用复合函数的导数与的奇偶性判断的奇偶性，进而推得与的周期性，再利用赋值法求得的值，从而得解.
【解析】因为是偶函数，则，
两边求导得，所以是奇函数，故，
由，
代入，得，
则，所以，
又是奇函数，所以，
所以是周期函数，且周期为4，
又，可知也是以4为周期的周期函数，
令，得，故，
而所以，
令，得，则，
而，，
又，则，
，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
一、单选题
1．（2021·湖南永州·三模）若某物体做直线运动，路程（单位：m）与时间t（单位：s）的关系由函数表示．当s时，该物体的瞬时速度为m/s，则当s时，该物体行驶的路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的物理意义求出参数的值，即可求出函数解析式，再代入即可；
【解析】解：因为，所以，因为当s时，该物体的瞬时速度为m/s，所以，解得，所以，所以
故选：D
2．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【解析】设直线与曲线的切点为且，
与曲线的切点为且，
又，，
则直线与曲线的切线方程为，即，
直线与曲线的切线方程为，即，
则，解得，故，
故选：A.
3．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】当时，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.
【解析】因为，则，
当时，则，所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：D
4．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算.
【解析】依题意得，设直线的方程为，
由直线和圆相切可得，，解得，
当时，和相切，
设切点为，根据导数的几何意义，，
又切点同时在直线和曲线上，即，解得，
即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和仍会保持相切状态，即时，，
综上所述，或.
故选：A
5．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由时，易知直线与曲线必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切，利用导数法求得，再由图象位置判断．
【解析】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意，
当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得．
由切点在切线上，得，
由切点在曲线上，得，
所以，．
如图所示：
故当直线与曲线（且）无公共点时，．
故选：D
【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解.
6．（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由，，，四点确定的贝塞尔曲线，其中，在的图象上，在点，处的切线分别过点，.若，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意设出函数表达式，结合函数值、切线斜率建立方程组，待定系数即可得解.
【解析】设，则，
由题意，解得，所以.
故选：C.
7．（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解.
【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，
当时，，
，
，则，
，即曲线在点处切线的斜率为2.
故选：C.
8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，，则等于（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可知：可知，且，结合周期性分析求解.
【解析】由题意可得：，
可知，且，
且，所以.
故选：A.
二、多选题
9．（2021·广东·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系y＝f（t），其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
【答案】BD
【分析】
由已知，找到函数模型，通过待定系数法得到函数解析式，再解不等式即可.
【解析】
因为，所以符合要求．
又
解得，a＝128，故B正确，A错误．
，
当时，即，得，
所以，即，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误，
故选：BD.
10．（2024·山东济南·一模）已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（ ）
A．
B．恒成立
C．在上单调递减
D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称
【答案】AC
【分析】由题意求出，然后由余弦型函数的性质判断即可.
【解析】函数的图象在y轴上的截距为，
所以，因为，所以.故A正确；
又因为是该函数的最小正零点，
所以，所以，
解得，所以，，
所以，故B错误；
当时，，故C正确；
将的图象向右平移个单位，得到，
是非奇非偶函数，图象不关于轴对称，故D错误.
故选：AC.
11．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数的定义域为，设，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】本题考查抽象函数与复合函数的导数，根据题目所给条件以及，利用赋值法求出各函数值，从而得出答案.
【解析】对于选项A，由于任意，，即若函数满足题意，则也满足题意，不能确定的值，故A错误.
对于选项B，
令得：
；
或恒成立，若恒成立，则，结合分析可知不可能为常数函数，舍去.
令得：
，
，可得，；
可得，.
令可得：
，由之前结论不为常数函数，得，B选项正确.
对C选项，可令
，代入前面结论，可得
，两边求导数，得，代入，
可得，选项C正确.
对选项D，可令特殊函数满足题目中的条件，经检验，D选项不正确.
故选：BC
【点睛】涉及抽象函数有关性质的题目经常使用赋值法，观察已知和待求给变量适当赋值很关键；要注意熟练运用复合函数的求导法则.
三、填空题
12．（2024·四川·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【解析】，，，
故函数的图象在点处的切线方程为，即.
故答案为：
13．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，把点代入切线方程，求出相应答案即可.
【解析】当时，，设切点为，，
又
故过的切线方程为,
将代入可得,
解得或4，均大于0，满足要求；
当时，，设切点为，
又，
故过的切线方程为
将代入，可得
解得或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
14．（2022·海南·模拟预测）已知函数和，其中为常数且．若存在斜率为1的直线与曲线同时相切，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】分别设出切点，用导数的几何意义得到两切点坐标，利用两点间斜率公式得到的关系，变形后使用三个正数的基本不等式求解最小值.
【解析】定义域为R，的定义域为，又，，
设在切点处的切线即为斜率为1的直线，故，所以，则，
设在切点，处的切线即为斜率为1的直线，则，则，
则，由两点间斜率公式得：，则，由于b>0，
则，当且仅当，
即时，此时等号成立，故的最小值为2.
故答案为：2