专题25 椭圆（七大题型 模拟精练 核心素养分析 方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题25 椭圆
一、椭圆
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
二、椭圆的性质
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
焦半径最大值，最小值
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
三、直线与椭圆
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ0，n>0，且m≠n)．
因为椭圆经过P1，P2两点，
所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，
则Errr!
解得Errr!
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
方法归纳： 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为
【答案】/0.5
【分析】根据题意利用勾股定理求出，再由椭圆定义求出即可得解.
【解析】由题意知，
所以，即，
又，即，
所以，
故答案为：
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)
例5 已知椭圆的中心，右焦点，右顶点分别为O，F，A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆方程，结合焦点坐标和准线方程得出，所以，最后由得出最大值.
【解析】因为椭圆方程为，所以椭圆的右焦点，右顶点为，右准线方程为，其中，
由此可得，，所以，
因为，所以当且仅当时，的最大值为.
故答案为：.
Ⅱ、直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的位置关系
例1直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线过定点，只要在椭圆的内部或在椭圆上即可保证直线与椭圆总是有交点的.
【解析】由于直线恒过点，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即 ，解可得且，
故实数m的取值范围为.
故选：C．
命题点1 弦长问题
例2 已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线垂直于轴，则
B．
C．若，则直线的斜率为
D．若，则
【答案】B
【分析】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断D选项.
【解析】依题意，椭圆的左焦点为，设，，
对于A选项，轴，直线，由，得：，则，A选项错误；
对于B选项，不垂直于轴时，设的方程为，
由，消去并整理可得：，
则，，
，
显然，，
于是得，
由选项A知，当轴时，，因此，B选项正确；
对于C，当时，由选项B得，解得，C选项错误；
对于D，因，有，则，即，
而，，
同理，则有，即，
于是得，
因此，D选项错误；
故选：B.
命题点2 中点弦问题
例3 已知为坐标原点，椭圆，圆，圆，点，射线交圆，椭圆，圆分别于点，若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由圆的性质，椭圆的性质结合题意画出图形，再点同时在椭圆与射线上，求出，最后令，利用导数分析取值范围即可；
【解析】由题意可得的半径为，的半径为，其位置关系如下：
由图可得，
设，
因为点同时在椭圆与射线上，
所以，，
解得，
则，
若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，
即，可得
所以，
设，，
则，设此式等于，
求导可得，
因为，所以导数恒大于零，故在时为增函数，
所以取值范围为.
故答案为：.
方法归纳： 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
题型三 直线与椭圆的综合问题
例4 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；
（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.
【解析】（1）设，依题意，
解得
故的方程为.
（2）

如图，依题意，联立消去，可得，
依题意，需使，整理得（*）.
因为，则直线的斜率为，则其方程为，
联立解得即
故，
将（*）代入得，故.
方法归纳： (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．