专题16 平面向量及其应用（六大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题16 平面向量及其应用（六大题型+模拟精练）
目录：
01 平面向量的有关概念
02 平面向量的线性运算
03 平面向量的数量积
04 平面向量的基本定理与坐标表示
05 平面向量的综合应用
06 三角形的“心”的向量表示
01 平面向量的有关概念
1．下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量与的长度相等
2．若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若非零向量，则与的方向相同
D．若，则
3．与向量平行的所有单位向量为（ ）
A．B．
C．D．或
4．已知两个单位向量，的夹角是，则 .
02 平面向量的线性运算
5．在中，是的中点，在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，为中点，连接，设为中点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
9．如图所示，（ ）

A．B．
C．D．
10．已知向量不共线，则向量与共线时，实数（ ）
A．B．C．D．
11．已知是边长为1的正的边上靠近C的四等分点，为的中点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
12．在中，且，则错误的选项为（ ）
A．B．
C．D．
03 平面向量的数量积
13．在中，内角所对的边分别为，是的中点，，则 ．
14．在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 .
15．已知向量满足，，则（ ）
A．－2B．C．D．6
16．已知平面向量，均为单位向量，若，则向量，的夹角（ ）
A．B．C．D．
17．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .
18．已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
19．已知向量，，，若与的夹角为，且⊥，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
20．在矩形中，，，E为的中点，F为的中点，Q为边上的动点（包括端点），则的取值范围为 ．
21．已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ）
A．0B．-2C．-4D．
22．在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
04 平面向量的基本定理与坐标表示
23．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．与
C．与D．与
24．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
25．已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（ ）
A．2B．C．D．6
26．已知向量，若不超过，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
27．如图，在等腰梯形中，，则 .

28．如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
29．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
30．如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ．
31．已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 .
05 平面向量的综合应用
32．在中，，，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形D．等腰（非直角）三角形
33．已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
34．已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
35．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（ ）
A．B．C．D．
06 三角形的“心”的向量表示
36．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心B．点为的外心
C．D．为等边三角形
37．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
38．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心，内心B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心D．外心，垂心，重心，内心
39．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
一、单选题
1．（2024·海南·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．－1B．0C．1D．2
2．（2024·重庆·三模）已知，向量为单位向量，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知的三个内角，，的对边分别为，，，，，，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A．B．C．D．1
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
6．（2024·四川成都·三模）已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则（ ）
A．18B．180C．D．
8．（2024·广东广州·三模）设向量，，当，且时，则记作；当，且时，则记作，有下面四个结论：
①若，，则；
②若且，则；
③若，则对于任意向量，都有；
④若，则对于任意向量，都有；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．①④
二、多选题
9．（2020·山东泰安·模拟预测）已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角
B．向量在方向上的投影为
C．
D．的最大值为2
10．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线B．
C．D．点在的内部
11．（2023·福建·模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于、两点.设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）

A．点坐标为B．
C．D．若最小，则
三、填空题
12．（2024·江西·二模）在中，已知，为线段的中点，若，则 ．
13．（2024·湖南长沙·三模）在，已知，.则 .
14．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合．
(1)若，写出一个向量，使得．
(2)令．若，证明：为偶数．
(3)若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例．