高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精品教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精品教案设计，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4，设计意图等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第二节《立体图形的直观图》。以下是本节的课时安排：
学生通过观察一些空间几何体得到给出直观图定义并思考其画法。通过观察空间几何体得出结论，更有说服力，且利于学生理解。
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，培养直观想象的核心素养；
2.会利用直观图与原图形面积之间的关系进行运算，培养数学运算的核心素养；
3.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图，培养直观想象的核心素养。
1.重点：了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤
2.难点：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图
（一）新知导入
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.
问题 在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
提示 为了直观，不一定.

（二）斜二测画法
1.斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．( )
(3)相等的角在直观图中仍相等．( )
（4）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( )
（5）建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× （4）× （5）√
直观图中“变”与“不变”
(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变.
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化).
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感.
（三）典型例题
1.画水平放置的平面图形的直观图
例1.如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图(尺寸自定)．
解析：画法：(1)如图，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以点O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝eq \f(1,2)OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
【类题通法】画水平放置的平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．
(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
【巩固练习1】如图，画出水平放置的直角梯形的直观图．(尺寸自定)
解析：(1)在已知的直角梯形ABCD中，以底边AB所在直线为x轴，垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①.
(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上取O′B′＝AB，在y′轴上取O′D′＝eq \f(1,2)AD，过D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC，如图②.
(3)连接B′C′，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形ABCD的直观图，如图③.
2.画空间几何体的直观图
例2.已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
解析：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB//EF，CD//EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．
【类题通法】画空间图形的直观图的原则：
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的eq \f(1,2).
【巩固练习2】用斜二测画法画出六棱锥P­ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．
解析： (1)画出六棱锥P­ABCDEF的底面．
如图1所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为y轴，两轴相交于O.
图1
图2
(2)画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；在图2(1)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝eq \f(1,2)MN；以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，且等于EF；连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(3)画正六棱锥P­ABCDEF的顶点．在z′轴上取点P′，使P′O′＝PO.
(4)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并进行整理，便得到六棱锥P­ABCDEF的直观图P′­A′B′C′D′E′F′，如图2(2)所示．
3.由直观图还原平面图形
例3.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．
解析：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.
【类题通法】由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
【巩固练习3】如图，正方形O′A′B′C′的边长为a，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是多少？
解析：∵O′A′＝a，对角线O′B′＝eq \r(2)a，
∴原图形中OA＝O′A′＝a，OB＝2O′B′＝2eq \r(2)a，且△OBC为直角三角形，
∴OC＝eq \r(9a2)＝3a，∴原图形周长是2(3a＋a)＝8a.
4.直观图与原图形的面积
例4. 如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原图形的面积．
解析：如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
故面积为S＝eq \f(2＋3,2)×2＝5.
【类题通法】直观图与原图形的面积问题
方法1：由直观图还原出原图形，进而确定相关的量，从而求出原图形的面积．
方法2：不作图，直接根据面积关系S直＝eq \f(\r(2),4)S原求解.
【巩固练习4】已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是( )
A.eq \f(\r(6),2)a2 B.eq \f(\r(6),4)a2 C.eq \f(\r(6),8)a2D.eq \f(\r(6),16)a2
解析：因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝eq \f(\r(3),4)a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为eq \f(\r(2),4)，即eq \f(S′,S)＝eq \f(\r(2),4)，所以S′＝eq \f(\r(2),4)×eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(6),16)a2.
答案：D
（四）操作演练 素养提升
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )
3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为( )
A．2S B.eq \r(2)S C．2eq \r(2)S D.eq \r(3)S
4．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm D．与z′轴成45°且大小为5 cm
答案：1.B 2.C 3.C 4.A

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第109页 练习 第1，2题
第111页 练习 第1，2,3题
第111 页 习题8.2 第1,2,3，4,5，6,7题









8.2立体图形的直观图
课时内容
直观图
所在位置
教材第107页
新教材内容分析
本节内容是立体图形直观图，由前两节学习的基本立体图形导入，引出斜二测画法并与实际图形建立联系，理论结合实际。
核心素养培养
通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
教学主线
立体图形的直观图