第八章　§8.11　圆锥曲线中求值与证明问题-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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例1　(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C： ＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.
由题意知∠PAQ＝π－2θ，
求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线AP的斜率为k，且与y轴交于点M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的斜率为 ，求k值.
由题意知A(－1,0)，kAP＝k，则直线lAP：y＝k(x＋1)，∴M(0，k)，
令y＝0，解得xN＝k2，∴N(k2，0)，
即k4＋5k2－24＝0，解得k2＝3或k2＝－8(舍)，
例2　(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点 的距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；[切入点：直接法求轨迹方程](2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于 .[关键点：对周长放缩]
[思路分析](1)设P(x，y)，直接法求轨迹方程 (2)设点A，B，C的坐标，利用AB⊥BC建立关系(3)利用弦长公式表示出周长(4)对周长进行放缩(5)建立函数，利用导数求最值
答题模板　规范答题不丢分
易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则kAB·kBC＝－1，a＋b0，则xA＋xB＝－4，xAxB＝2，
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
联立直线与双曲线方程得3x2－(ax＋1)2＝1，整理有(3－a2)x2－2ax－2＝0，由题意Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，且3－a2≠0，
若以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以a＝±1，满足要求.
(1)求椭圆T的方程；
∴C(0,1)必在椭圆上，
(2)动直线y＝ ＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
Δ＝2t2－4(t2－1)＝4－2t2>0，
∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
3.(2024·遂宁模拟)已知抛物线C：y2＝2x，过P(1,0)的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；
由题意知，直线AB斜率不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝my＋1.
由根与系数的关系可得y1＋y2＝2m，y1y2＝－2，
所以直线OA，OB的斜率之积为定值－2.
易知当直线AB斜率不存在时不成立，舍去，
所以xN＝myN＋1＝m2＋1.因为MN⊥AB，所以kMN＝－m，
又c2＝a2＋b2，③
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
设点M的坐标为(xM，yM)，
又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)＝k(x1＋x2)＋2t，
若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
设AB的中点为C(xC，yC)，
因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，