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新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.9 圆锥曲线中求值与证明问题
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.9 圆锥曲线中求值与证明问题，共60页。PPT课件主要包含了高考数学一轮复习策略，第八章，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§8.9 圆锥曲线中求值与证明问题
(1)求C的方程； [切入点：双曲线定义](2)设点T在直线x＝ 上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. [关键点：利用等式列式]
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|AM|＝|BN|，求l的方程.
根据题意可得，点A必在点B的上方，才有|AM|＝|BN|.
设l的方程为y＝kx＋2，
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AM|＝|BN|可得，|AB|＝|MN|，
求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
易知点F(c，0)，B(0，b)，
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程.
因为MP∥BF，则kMP＝kBF，
整理可得(x0＋5y0)2＝0，
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝ .
由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线，
所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，即kx－y＋b＝0，
可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点F的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为M，分别过A，B作C的切线l1，l2，且l1与l2交于点P，证明：O，P，M三点共线.
由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，P(x3，y3)，
整理得3(m2y2＋2my＋1)＋4y2＝12，即(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
∴kOM＝kOP，即O，P，M三点共线.
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
跟踪训练2 (2022·漳州模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的点为M(x，y)，且z满足|z＋2|－|z－2|＝2，点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；
所以点M到点F1(－2,0)与到点F2(2,0)的距离之差为2，且2<|F1F2|＝4，所以动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，
其中2a＝2,2c＝4，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
(2)设A(－1,0)，B(1,0)，若过F(2,0)的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明：(ⅰ)点R在定直线上；
设直线PQ的方程为x＝ty＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中x1>1，x2>1.
可得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，由题意知3t2－1≠0且Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0，
(ⅱ)若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF.
KESHIJINGLIAN
1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为A(－1,0).(1)求C的方程；
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
设直线l的方程为x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去x得y2－4my－8＝0，则Δ＝16(m2＋2)>0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率.
由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0).设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，
整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
由题意得N(0，－1)，
3.(2022·莆田质检)曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＝4的距离之比等于 ，过点M(4,0)且与x轴不重合的直线l与C交于不同的两点A，B.(1)求C的方程；
设P(x，y)，由题意，
(2)求证：△ABF内切圆的圆心在定直线上.
设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将l代入C得(m2＋2)y2＋8my＋8＝0，
设直线AF与BF的斜率分别为k1，k2，
∴k1＝－k2，则∠BFM＝π－∠AFM，∴直线x＝2平分∠AFB，而三角形内心在∠AFB的角平分线上，∴△ABF内切圆的圆心在定直线x＝2上.
消去y并化简得(1－4k2)x2－12k2x－9k2－4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由于|EM|＝|EN|，所以EG⊥MN，kEG·kMN＝－1，
(k＋2)(8k－1)＝0，
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§8.9 圆锥曲线中求值与证明问题
(1)求C的方程； [切入点：双曲线定义](2)设点T在直线x＝ 上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. [关键点：利用等式列式]
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|AM|＝|BN|，求l的方程.
根据题意可得，点A必在点B的上方，才有|AM|＝|BN|.
设l的方程为y＝kx＋2，
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AM|＝|BN|可得，|AB|＝|MN|，
求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
易知点F(c，0)，B(0，b)，
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程.
因为MP∥BF，则kMP＝kBF，
整理可得(x0＋5y0)2＝0，
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝ .
由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线，
所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，即kx－y＋b＝0，
可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点F的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为M，分别过A，B作C的切线l1，l2，且l1与l2交于点P，证明：O，P，M三点共线.
由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，P(x3，y3)，
整理得3(m2y2＋2my＋1)＋4y2＝12，即(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
∴kOM＝kOP，即O，P，M三点共线.
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
跟踪训练2 (2022·漳州模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的点为M(x，y)，且z满足|z＋2|－|z－2|＝2，点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；
所以点M到点F1(－2,0)与到点F2(2,0)的距离之差为2，且2<|F1F2|＝4，所以动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，
其中2a＝2,2c＝4，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
(2)设A(－1,0)，B(1,0)，若过F(2,0)的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明：(ⅰ)点R在定直线上；
设直线PQ的方程为x＝ty＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中x1>1，x2>1.
可得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，由题意知3t2－1≠0且Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0，
(ⅱ)若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF.
KESHIJINGLIAN
1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为A(－1,0).(1)求C的方程；
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
设直线l的方程为x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去x得y2－4my－8＝0，则Δ＝16(m2＋2)>0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率.
由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0).设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，
整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
由题意得N(0，－1)，
3.(2022·莆田质检)曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＝4的距离之比等于 ，过点M(4,0)且与x轴不重合的直线l与C交于不同的两点A，B.(1)求C的方程；
设P(x，y)，由题意，
(2)求证：△ABF内切圆的圆心在定直线上.
设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将l代入C得(m2＋2)y2＋8my＋8＝0，
设直线AF与BF的斜率分别为k1，k2，
∴k1＝－k2，则∠BFM＝π－∠AFM，∴直线x＝2平分∠AFB，而三角形内心在∠AFB的角平分线上，∴△ABF内切圆的圆心在定直线x＝2上.
消去y并化简得(1－4k2)x2－12k2x－9k2－4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由于|EM|＝|EN|，所以EG⊥MN，kEG·kMN＝－1，
(k＋2)(8k－1)＝0，
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