第八章　§8.10　圆锥曲线中常见结论及应用-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
题型一　椭圆、双曲线的常用结论及其应用
设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
又a2＝b2＋c2，③
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长(或实)轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，
设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1，又四边形AF1BF2为矩形，
命题点3　切线、切点弦方程
设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即直线AB过定点(－1，－1).
题型二　抛物线的常用结论及其应用
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切.
∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
(2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积是
不妨令A(xA，yA)在第一象限，B(xB，yB)在第四象限，
即|yA|＝3|yB|，代入yAyB＝－8，
焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解.
跟踪训练4　(1)斜率为 的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝_____.
直线l的倾斜角α＝60°，
得p＝4(1－cs α)＝2，
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为 的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为______.
依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.
(3)(2023·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为_________.
所以2|AF|＋|BF|
如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵|F1F2|＝|MN|，∴四边形MF2NF1为矩形，∴　 　＝4a2，
3.已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为A.16　　　B.14　　　C.12　　　D.10
由抛物线的焦点弦弦长公式知
∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，
不妨令直线l的倾斜角为θ，
6.已知F为椭圆C： ＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为A.3　　　B.2　　　C.1　　　D.0
由已知可得F(1,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)，
因为切线AM，AN过点A(3，t)，
所以点F(1,0)在直线MN上，所以M，N，F三点共线，所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0.
二、多项选择题7.已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是A.线段AB长度的最小值为2B.以AB为直径的圆与直线y＝－1相切C.∠HFG＝90°D.∠AMO＝∠BMO
如图，取AB的中点E，作ED⊥GH，垂足为D，当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确；∵直线y＝－1为准线，
故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切，故B正确；又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG，
∴∠BFG＝∠MFG，同理可得∠AFH＝∠MFH，又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，∴∠MFG＋∠MFH＝90°，∴FG⊥FH.即∠HFG＝90°，故C正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率存在，∴设直线AB：y＝kx＋1，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
∴∠AMO＝∠BMO，故D正确.
8.(2024·广州模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是A.双曲线C的离心率为2B.若PF1⊥PF2，且　 　＝3，则a＝2C.以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切D.若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F1
对于B，因为PF1⊥PF2，
对于C，设PF1的中点为O1，O为原点.因为OO1为△PF1F2的中位线，
则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，则x00.
所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D正确.
三、填空题9.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为_________________.
y2＝4x或y2＝16x
抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，因为以MF为直径的圆与y轴相切，所以该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心的纵坐标为2，则M点的纵坐标为4，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
10.已知椭圆C： ＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1