新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.11 圆锥曲线中定点与定值问题

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§8.11　圆锥曲线中定点与定值问题
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的右焦点为F，动直线l(l不垂直于坐标轴)交椭圆C1于M，N不同的两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝－k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
假设该直线过定点(t,0)，设直线l的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
消去y，整理得(3＋4k2)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
Δ>0⇒48(k2t2－3－4k2)<0，
所以2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
所以－24＋6t＝0，解得t＝4，即直线过定点(4,0).
在平面直角坐标系中，已知动点M(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点N(4,4)作斜率为k1，k2的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且 .证明：直线AB恒过定点.
由题意可知，N(4,4)是曲线C：x2＝4y上的点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则lNA：y＝k1(x－4)＋4，lNB：y＝k2(x－4)＋4，联立直线NA的方程与抛物线C的方程，
⇒x2－4k1x＋16(k1－1)＝0，解得x1＝4(k1－1)，同理可得x2＝4(k2－1)，
由①②③④整理可得lAB：y＝(k1＋k2－2)x－4，故直线AB恒过定点(0，－4).
求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝ 上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N.
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设AB的中点M为(x0，y0)，
即1＋4k2＝－8km，
所以AB的中垂线方程为
例2　(2022·济南模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上的动点M到直线x＝－1的距离比到抛物线E的焦点F的距离大 .(1)求抛物线E的标准方程；
由题意可知抛物线E的准线方程为
故抛物线E的标准方程为y2＝2x.
(2)设点Q是直线x＝－1(y≠0)上的任意一点，过点P(1,0)的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为kAQ，kBQ，kPQ，证明： 为定值.
设Q(－1，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为x＝ty＋1.
(2022·邯郸模拟)已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|＝2，△ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；
因为△ABF2的周长为8，所以4a＝8，解得a＝2，
由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设M(0，k)，又F1(－1,0)，
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
(1)求椭圆C的方程；
由题意得F2(1,0)，F1(－1,0)，且c＝1，则2a＝|PF1|＋|PF2|
当直线AB的斜率为零时.点A，B为椭圆长轴的端点，
当直线AB不与x轴重合时，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
KESHIJINGLIAN
1.(2022·临沂模拟)已知P(1,2)在抛物线C：y2＝2px上.(1)求抛物线C的方程；
将P点坐标代入抛物线方程y2＝2px，得4＝2p，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点.
设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0，Δ>0⇒16m2＋16t>0⇒m2＋t>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
即4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，解得y1y2＝4，故－4t＝4，即t＝－1，故直线AB：x＝my－1恒过定点(－1,0).
解得a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，
(2)设点M，N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问是否存在定点P，使得P到直线MN的距离为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，①若直线MN与x轴垂直，由对称性可知|x1|＝|y1|，将点M(x1，y1)代入椭圆方程，
②若直线MN不与x轴垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，
消去y得(9k2＋5)x2＋18kmx＋9m2－45＝0，
即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
整理得45k2＋45＝14m2，则原点到该直线的距离
故存在定点P(0,0)，使得P到直线MN的距离为定值.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上有两点M，N(异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直)，证明：当△OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值.
由已知MN与x轴不垂直，可知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
整理得(4k2＋1)x2＋8ktx＋4t2－4＝0，其中Δ＝(8kt)2－4(4k2＋1)(4t2－4)＝16(4k2－t2＋1)>0，即4k2＋1>t2，
当且仅当t2＝4k2－t2＋1，即2t2＝4k2＋1时，等号成立，
所以当△OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值.
因为焦距为2，长轴长为4，即2c＝2,2a＝4，解得c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，
(2)设过点F1不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在一个点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.
由(1)知F1(－1,0)，设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)，因为直线l不与x轴重合，所以设直线l的方程为x＝ny－1，
得(3n2＋4)y2－6ny－9＝0，所以Δ＝(－6n)2＋36(3n2＋4)>0，
又x1x2＝(ny1－1)(ny2－1)＝n2y1y2－n(y1＋y2)＋1
要使直线ME，MD的斜率之积恒为定值，3m2－12＝0，
解得m＝±2，当m＝2时，存在点M(2,0)，使得
当m＝－2时，存在点M(－2,0)，使得