人教版（2024）七年级上册（2024）5.2 解一元一次方程精品课件ppt

这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）5.2 解一元一次方程精品课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，新课引入，获取新知，例题讲解，跟踪训练，课堂练习，课堂小结，拓展探究等内容，欢迎下载使用。

1. 学会运用合并同类项解形如ax+bx=c类型的一元一 次方程，进一步体会方程中的“化归”思想.（重点）2. 能够根据题意找出实际问题中的相等关系，列出方程求解.（难点）
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍.
问题1：设前年购买计算机x台，则去年购买计算机 台，今年购买计算机 台.
问题2：根据“三年共购买计算机140台”可以列出什么方程?
x+2x+4x=140.
问题3：方程左边的三项有什么特征?
方程左边的三项是同类项，同类项可以先合并.
问题4：合并同类项，得 . 解得 .检验：当x=20时，左边=20+2×20+4×20=20+40+80=140，右边=140. 因为方程的左右两边相等， 所以x=20是原方程的解.
答：前年这所学校购买了20台计算机.
利用合并同类项解一元一次方程
问题1：什么是同类项？含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.问题2：如何合并同类项？合并同类项时，把各同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变.问题3：形如ax=b(a≠0)的方程如何求解？两边同时除以未知数的系数a.
系数化为1，得x=4.
(2)合并同类项，得6x=-78. 系数化为1，得x=-13.
解：(1)合并同类项，得3x=9，
(3) 合并同类项，得-2.5x=10， 系数化为1，得x=-4. (4) 合并同类项，得2.5x=2.5， 系数化为1，得x=1.
(2) 合并同类项，得2x=7，
系数化为1，得x=3.
2.某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，这三年的总产值为550万元.2021年的产值是多少万元?
解：设2021年的产值是x万元，则2022年的产值是1.5x万元，2023年的产值是3x万元.由题意得x+1.5x+3x=550，合并同类项，得5.5x=550，系数化为1，得x=100.答：2021年的产值是100万元.
3.某洗衣机厂今年计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共25500台，其中I型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1:2:14.洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台?
解：设I型洗衣机的数量为x台，则Ⅱ型洗衣机的数量为2x台，Ⅲ型洗衣机的数量为14x台.由题意得x+2x+14x=25500，合并同类项，得17x=25500，系数化为1，得x=1500.所以2x=2×1500=3000，14x=14×1500=21000.答：洗衣机厂计划生产这三种洗衣机的台分别为1500台、3000台、21000台.
例2.有一列数 1，-3，9，-27，81，-243，…，其中第n个数是(-3)n-1（n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是-1701，那么这三个数各是多少?
解：设所求三个数中的第1个数是x，则后两个数分别是-3x，9x. 由三个数的和是-1 701，得x-3x+9x=-1701， 合并同类项，得7x=-1701， 系数化为1，得x=-243， 所以-3x=729，9x=-2187.答：这三个数是-243，729，-2187.
为了探究数列的规律，可以采取以下步骤:1.编号：将数列中 的数按照排列顺序编号；2.计算：计算相邻数字之间的差、比值或每个数字与序号之间的关系；3.归纳：根据观察到的规律，提出一个假设或公式来描述数列的规律；4.验证：使用假设或公式来生成数列的后续项，并与实际数列进行比较，验证其正确性.
1. 下列方程合并同类项正确的是 ( ) A. 由 5x-3x＝-1＋3，得 2x＝4 B. 由 2x＋x＝-7-4，得 3x＝-3 C. 由 15-2＝-2x＋x，得 3＝x D. 由 6x-2-4x+2＝0，得 2x＝0
3.如果2x与x的和为-3，那么x-3等于（ 　） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
5.某中学七年级（1）班共有学生56人，该班男生的人数是女生人数的2倍．设该班有女生有x人，可列方程为_____________.
6. 解下列方程： (1)x+3x=-16；(2)6m-1.5m-2.5m=3；(3)3y-4y=-25-20.
解：(1)合并同类项，得4x=-16， 系数化为1，得x=-4.
(2)合并同类项，得2m=3， 系数化为1，得m=1.5.
(3)合并同类项，得-y=-45， 系数化为1，得y=45.
1. 解形如“ax+bx+ ··· +mx=p”的一元一次方程的步骤是什么？
2. 用方程解决实际问题的一般步骤是什么？
学完本节内容你的收获是什么？
先合并同类项，再把系数化为1.
审、设、列、解、检、答.
1. 理解移项的意义，掌握移项的方法.（重点）2. 学会运用移项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.（重点）3. 能够抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题.（难点）
第2课时 利用移项解一元一次方程
把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本.这个班有多少名学生?问题1：设这个班有x名学生.这批书的总数有几种表示方法?每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共(3x+20)本.每人分4本，需要4x本，减去缺的25 本，这批书共(4x-25)本.问题2：它们之间有什么关系?表示同一个量的两个不同的式子相等问题3：根据这一相等关系可以列什么方程？3x+20=4x-25.
利用移项法解一元一次方程
问题1：方程3x+20=4x-25有什么特点？两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25).问题2：怎样才能把它转化为x=m(常数)的形式呢?
先用等式的性质1，两边同时减4x，得3x+20-4x=-25.再用等式的性质1，两边同时减20，得3x-4x=-25-20.然后通过合并同类项、系数化为1求得方程的解.
问题3：对比变形前后的两个方程：
1.变形后，未知项都在左边，常数项都在右边；2.不移动的项不变号；移动的项改变符号.
像这样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项.
问题4：移项后的方程相对移项前的方程有什么优点？
有利于使用合并同类项法解方程.
问题5：完成方程3x-4x=-25-20的求解，确定实际问题的答案.
合并同类项，得-x=-45.系数化为1，得x=45.由上可知，这个班有45 名学生.
解：(1)移项，得3x+2x=32-7， 合并同类项，得5x=25， 系数化为1，得x=5.
系数化为1，得x=-8.
解：(1)移项，得3x-4x=3， 合并同类项，得-x=3， 系数化为1，得x=-3.
(2)移项，得6x-4x=8， 合并同类项，得2x=8， 系数化为1，得x=4.
(3)移项，得6y-4y=-5+7， 合并同类项，得2y=2， 系数化为1，得y=1.
系数化为1，得y=-24.
2.解根据本章引言中的问题列出的方程1.2x+1=0.8x+3.
解：移项，得1.2x-0.8x=3-1， 合并同类项，得0.4x=2， 系数化为1，得x=5.
例2.某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t.新、旧工艺的废水排量之比为2:5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨?
解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为2xt和 5xt. 由题意得5x-200=2x+100， 移项，得5x-2x=100+200， 合并同类项，得3x=300， 系数化为1，得x=100. 所以2x=200，5x=500.答：采用新、旧工艺的废水排量分别为200t和500 t.
列一元一次方程方程解应用题的基本步骤
审：仔细阅读题目，理解题意，明确题目所给的条件和所求的问题.设：选择一个适当的字母（如x）来表示题目中所求的未知数.列：根据等量关系，将未知数和已知条件结合起来，形成一个一元一次方程.解：运用代数方法解这个一元一次方程，求出未知数的值.检：将求得的解代回原题，检查是否符合题目的条件，确保解答正确.答：根据求解的结果，给出完整的答案，注意单位名称和文字说明.
1.李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍.求现在李明的年龄.
解：设现在李明的年龄为x岁，则现在父亲的年龄为3x岁. 由题意得3x-x=28， 合并同类项，得2x=28， 系数化为1，得x=14.答：现在李明的年龄为14岁.
2.王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8kg，张华平均每小时采摘7 kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了张华，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多长时间?
解：设她们采摘用了x小时，则王芳采摘了8xkg，张华采摘了7xkg. 由题意得8x-0.25=7x+0.25， 移项，得8x-7x=0.25+0.25， 合并同类项，得x=0.5.答：她们采摘用了0.5小时.
1.解方程3x+4=4x-5时，移项正确的是（　　）A．3x-4x=-5-4B．3x+4x=4-5C．3x+4x=4+5D．3x-4x=-5+4
2.一元一次方程2x-2=3x-1的解为（　　）A．x=-1B．x=1C．x=2D．x=3
3.定义aⓧb=2a+b,则方程3ⓧx=4ⓧ2的解为（　　）A．x=4B．x=-4C．x=2D．x=-2
4.当x= 时，代数式2x+5与3x的值相等．
解：(1)移项，得-2x+4x=3-7， 合并同类项，得2x=-4， 系数化为1，得x=-2.
(2)移项，得1.8t-0.3t=30， 合并同类项，得1.5t=30， 系数化为1，得t=20.
系数化为1，得x=2.
合并同类项，得-2x=-4 ，
系数化为1，得x=-4.
7. 小明和小刚每天早晨坚持跑步，小明每秒跑4米，小刚每秒跑6米. 若小明站在百米起点处，小刚站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小刚？
解：设小明x秒后追上小刚. 由题意得4x+10＝6x， 移项，得 4x-6x＝-10. 合并同类项，得-2x＝-10. 系数化为1，得x＝5.答：小明5秒后追上小刚.
1. 了解“去括号”是解方程的重要步骤.2. 准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程. (难点、重点)
第3课时 利用去括号解一元一次方程
某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW·h(千瓦时)，全年的用电量是150000 kW·h.这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少?问题1：设去年上半年平均每月的用电量是xkW·h，则下半年平均每月的用电量是 kW·h；上半年的用电量是 kW·h，下半年的用电量是 kW·h.问题2：根据全年的用电量是150000 kW·h，列得方程 .
6x+6(x-2 000)=150 000
问题3：如何解方程？去括号，得6x+6x-12 000=150 000.移项，得6x+6x=150 000+12 000.合并同类项，得12x=162 000.系数化为1，得x=13 500.问题4：由此可知，这个工厂去年上半年平均每月的用电量是 kW·h.
去括号法解一元一次方程
问题1： 在解方程时，我们经常会遇到含有括号的表达式. 通过去括号，可以简化方程，使其更容易解决. 去括号的依据是 .
问题2：化简下列各式：(1) (-3a＋2b)+3(a-b)= ；(2) -5a+4b-(-3a+b)= .
解:(1)去括号，得2x-x-10=5x+2x-2， 移项，得2x-x-5x-2x=-2+10， 合并同类项，得-6x=8，
(2)去括号，得3x-7x+7=3-2x-6， 移项，得3x-7x+2x=3-6-7， 合并同类项，得-2x=-10， 系数化为1，得x=5.
例1.解下列方程：(1) 2x-(x+10)=5x+2(x-1)；(2) 3x-7(x-1)=3-2(x+3).
归纳：去括号法解一元一次方程的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
解下列方程：(1) 2(x+3)=5x； (2) 4x+3(2x-3)=12-(x+4)； (3) 6( x-4)+2x=7-( x-1)； (4) 2-3(x+1)=1-2(1+0.5x).
解:(1)去括号，得2x+6=5x， 移项，得2x-5x=6， 合并同类项，得-3x=6， 系数化为1，得x=-2.
(2)去括号，得4x+6x-9=12-x-4， 移项，得4x+6x+x=12-4+9， 合并同类项，得11x=17，
系数化为1，得x=6.
(4)去括号，得2-3x-3=1-2-x， 移项，得-3x+x=1-2-2+3， 合并同类项，得-2x=0， 系数化为1，得x=0.
例2. 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h.已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度.问题1：本题中的相等关系是什么？这艘船往返的路程相等.问题2：设船在静水中的平均速度为xkm/h，则顺水速度为 km/h，逆水速度为 km/h.问题3：如何列方程？2(x+3)=2.5(x-3).
列一元一次方程解决航行问题
解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，则顺水速度为 (x+3)km/h，逆水速度为(x-3)km/h.由题意得 2(x+3)=2.5(x-3)， 去括号，得2x+6=2.5x-7.5， 移项，得2x-2.5x=-7.5-6， 合并同类项，得-0.5x=-13.5， 系数化为1，得x=27.答：船在静水中的平均速度为27 km/h.
1.一个长方形的长减少2cm，宽增加2cm后，面积保持不变，已知这个长方形的长是6cm，求它的宽.
解：设它的宽为xcm，则新长方形的长为(6-2)cm，宽为(x+2)cm. 由题意得6x=(6-2)(x+2)， 去括号，得6x=4x+8， 移项，得6x-4x=8， 合并同类项，得2x=8， 系数化为1，得x=4.答：它的宽为4cm.
2.编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20m.已知编织1个大号中国结需用绳4m，编织1个小号中国结需用绳3m.问这两种中国结各编织了多少个.
解：设小号中国结编织了x个，则大号中国结编织了(6-x)个. 由题意得4(6-x)+3x=20， 去括号，得24-4x+3x=20， 移项，得-4x+3x=20-24， 合并同类项，得-x=-4， 系数化为1，得x=4. 所以6-x=6-4=2.答：小号中国结编织了4个，大号中国结编织了2个.
1.对于方程2(2x-1)-(x-3)=1，去括号正确的是（　　）A．4x-1-x-3=1 B．4x-1-x+3=1 C．4x-2-x-3=1 D．4x-2-x+3=1
2.设M=2x-2，N=2x+3，有2M-N=1，则x的值为（　　）A．4 B．0.4 C．-0.4 D．-2.5
4.当x= 时，代数式4x+3的值比2(x-1)的值大1．
5.已知2(x-3)与4(1-x)互为相反数，则x= ．
解：(1)去括号，得3x-5x+15=9-x-4， 移项，得3x-5x+x=9-4-15， 合并同类项，得-x=-20， 系数化为1，得x=20.
系数化为1，得x=10.
7. 某羽毛球协会组织一些会员到现场观看羽毛球比赛.已知该协会购买了价格分别为300元/张和400元/张的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
解：设300元/张的门票买了x 张，则400元/张的门票买了(8-x)张， 由题意得300x＋400×(8-x)＝2700， 去括号，得300x＋3200-400x＝2700， 移项，得300x-400x＝2700-3200， 合并同类项，得-100x＝-500， 系数化为1，得x＝5. 所以8-x=8-5＝3．答：300元/张的门票买了5张，400元/张的门票买了3张．
1. 解一元一次方程的步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
2. 去括号时，若括号外的因数是负数，原括号内各项的符号要改变.
1. 掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.(重点）2. 熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.（难点）
第4课时 利用去分母解一元一次方程
如图所示，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km.某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示.王家庄距翠湖的路程有多远?
问题1：如图所示，设王家庄距翠湖的路程为xkm，则王家庄距青山的路程为 km，王家庄距绿水的路程为 km.由表格可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为 h，从王家庄到绿水的行驶时间为 h.问题2：本题中的相等关系是什么？汽车在各段的行驶速度相等.问题3：根据相等关系可以列得方程 .问题4：所列方程有什么特征？左右两边都是含有分母的式子.
问题5：如何去掉方程两边的分母？利用等式的性质2，在方程的左右两边同时乘以各分母的最小公倍数.问题6：利用去分母法解这个方程.解：去分母，得5(x-50)=3(x+70)， 去括号，得5x-250=3x+210， 移项，得5x-3x=210+250， 合并同类项，得2x=460， 系数化为1，得x=230.问题7：确定实际问题的答案.王家庄距翠湖的路程为 km.
利用去分母法解一元一次方程
问题1：去分母的依据是什么？等式的性质2问题2：去分母的方法是什么？方程的两边同时乘以各分母的最小公倍数.问题3：去分母解一元一次方程的步骤是什么？去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.问题4：去分母解一元一次方程需要注意什么问题？1.左右两边的每一项（包括没有分母的项）都要乘；2.多项式形式的分子去分母后要加括号.
解：（1）去分母，得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3)， 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6， 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20， 合并同类项，得16x=7，
(2)去分母(方程两边乘4)，得2(x+1)-4=8+(2-x),去括号，得2x+2-4=8+2-x，移项，得2x+x=8+2-2+4，合并同类项，得3x=12，系数化为1，得x=4.
(3)去分母(方程两边乘6)，得18x+3(x-1)=18-2(2x-1)，去括号，得18x+3x-3=18-4x+2，移项，得18x+3x+4x=18+2+3，合并同类项，得25x=23，
(1)去分母，得19x=21(x-2),去括号，得19x=21x-42，移项，得19x-21x=-42，合并同类项，得-2x=-42，系数化为1，得x=21.
(2)去分母，得2(x+1)-8=x，去括号，得2x+2-8=x，移项，得2x-x=8-2，合并同类项，得x=6.
(3)去分母，得3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x),去括号，得15x-3=18x+6-8+4x，移项，得15x-18x-4x=6-8+3，合并同类项，得-7x=1，
(4)去分母，得10(3x+2)-20=5(2x-1)-4(2x+1).去括号，得30x+20-20=10x-5-8x-4.移项，得30x-10x+8x=-5-4+20-20.合并同类，得28x=-9.
古代数学问题中的一元一次方程
一元一次方程在数学、其他学科和日常生活中有着广泛应用.通过学习掌握基本的代数思维和解决问题的方法，为进一步学习更复杂的数学知识打下坚实的基础. 一元一次方程的历史可以追溯到古代文明，包括古埃及、巴比伦、中国和古希腊等.这些文明在解决实际问题时，逐渐发展出了解决一元一次方程的方法.如在古埃及的《莱因德数学纸草书》、巴比伦的楔形文字记录、中国的《九章算术》、古希腊数学家的著作中都涉及到了一元一次方程的解法及其实际应用.
例2.伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书，这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作.书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.这个数是多少?请你用方程解决这个问题.
去分母，得28x+21x+6x+42x=1386,合并同类项，得97x=1386，
程大位（1533～1606）明代商人，珠算发明家，今黄山市屯溪人．他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统宗》．该书是一本通俗实用的数学书，也是一本将数字入诗的代表作，其中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗通俗意思如下：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问醇酒、薄酒分别是多少瓶？
解：设醇酒有x瓶，则薄酒有(19-x)瓶，由题意得
解得x=10，∴19-x=19-10=9.
答：醇酒有10瓶，薄酒有9瓶.
解：(1)去分母，得5x-1=6-2(2x-1)，去括号，得5x-1=6-4x+2，移项，得5x+4x=6+2+1，合并同类项，得9x=9，系数化为1，得x=1．
10（3x + 2）– 20 = 5（2x – 1）– 4（2x + 1）
去括号，得 30x +20 – 20 = 10x – 5 – 8x – 4
移项，得 30x – 10x + 8x = – 5 – 4 – 20+20
合并同类项，得 28x = – 9