2022年江苏省常州市武进区横山桥高级高三数学上学期期中考试试题文会员独享

这是一份2022年江苏省常州市武进区横山桥高级高三数学上学期期中考试试题文会员独享，共7页。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置.
3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效.
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1、若，则___▲___.
2、存在实数，使得成立，则的取值范围是___▲___.
3、已知数列为等差数列，且，则= ___▲___.
4、已知向量，若与垂直，则___▲___.
5、△中，三内角、、所对边的长分别为、、，已知，
不等式的解集为，则___▲___.
6、已知函数和的图象的对称中心
完全相同，若，则的取值范围是___▲___.
7、设为互不重合的两个平面，为互不重合的两条直线，给出下列四个命题：
①若，则；②若∥，∥，则∥
③若，则
④若，∥，则∥
其中所有正确命题的序号是___▲___.
8、若函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为，
则△（为坐标原点）的周长的最小值为___▲___.
9、已知函数在内至少有个最小值点,则正整数的最小值
为___▲___.
10、如果实数，则的最大值为___▲___.
11、已知，且关于的函数在上有极值，
则与的夹角范围为___▲___.
12、已知集合|是棱长为1的正方体表面上的点，且，则集合中所有点的轨迹的长度是___▲___.
13、如图放置的边长为的正三角形沿的纵坐标与横坐标的函数关系式是，则的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为，则=___▲___.
14、已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为___▲___.
二、解答题：本大题共六小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分14分）
已知向量＝(，)，＝(，)，定义函数＝
(1)求的最小正周期；
(2)若△的三边长成等比数列，且，求边所对角以及
的大小.
16．（本题满分14分）
在所有棱长都相等的斜三棱柱中，已知，，且，连接
（1）求证：平面
（2）求证：四边形为正方形
17．（本题满分14分）
如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式，
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值.
18．（本题满分16分）
函数，()，
A=
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）如果，对任意时，恒成立，求实数的范围；
（Ⅲ）如果，当“对任意恒成立”与“在内必有解”同时成立时，求 的最大值．
19．(本题满分16分)
设为数列的前项之积，满足．
(1)设，证明数列是等差数列，并求和；
(2)设求证：．
20．（本题满分16分）
函数．
（1）试求的单调区间；
（2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是；
（3）求证：不等式对于恒成立．
二、解答题：
15.解：(1)f(x)＝p·q＝(sin x，eq \r(3)cs x)·(cs x，cs x)＝sin xcs x＋eq \r(3)cs2x………………2分
＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \r(3)·eq \f(1＋cs 2x,2)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)
＝sin(2x＋eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2).………………………………………………………………………………4分
∴f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.………………………………………………………………6分
(2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，………………………………………………………7分
又c2＋ac－a2＝bc.
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(ac＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).…………………………………………………10分
又∵0f(A)＝sin(2×eq \f(π,3)＋eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2)＝sin π＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).……………………………………………………14分
16．（1）【证明】因为是菱形，所以……………………………………1分
又，所以.………………………………………………………3分
所以。………………………………………………………………………………4分
因为，所以……………………………………………6分
所以…………………………………………………………………………7分
（2）【证明】因为,所以,………………………9分
所以………………………………… 6分
所以，
即，…………………………… 8分
（2）选择，…………… 12分
……………………………………… 13分
所以.……………………………………………………………… 14分
18．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）令，则
即即，
，所以，所以，
即 …………………………………………………………5分
（Ⅱ）恒成立也就是恒成立，
（Ⅲ）对任意，恒成立，
得，
由有解，有解，即，
，，． ……………………………………14分
满足条件所表示的区域，设，根据可行域求出当时取得．
所以的最大值为． …………………………………………16分
19．本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力．
解：(1)∵，
∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴，……………………………………………………6分
∴，
∴………………………………………………………… 8分
(2)，
∵
………………………………………………………………11分
∴ ………………………………………………………………12分
当时，
，………………………………………………………14分
当时，，……………………………………………15分
∴.……………………………………………………………………16分
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．………………… 6分
（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，
即.而（0，1）在上单调递减，在上单调递增，
在上由唯一的一个零点x=1．……………………………………………………9分
必要性：=0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即．
令， ．
当时，，在（0，1）上单调递增；当a>1时，，
在上单调递减.，=0只有唯一解a=1．
=0在上有唯一解时必有a=1．…………………………………………………12分
综上：在a>0时， =0在上有唯一解的充要条件是a=1．
（3）证明：∵1 令，∴，……14分
由（1）知，当a=1时，，∴，∴．
∴，∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴，
∴.∴．…………………… 16分