高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率一课一练

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考点一 直线的斜率与倾斜角
【例1-1】（2023春·重庆沙坪坝）直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【解析】因为的斜率，所以其倾斜角为30°.故选：A.
【例1-2】（2023春·江西赣州）已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，又因为所以，故选：B.
【例1-3】（2023秋·安徽蚌埠）已知直线的倾斜角为，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
则.故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．30°
C．60°D．90°
【答案】A
【解析】因为两点的纵坐标相等，所以直线平行于轴，所以直线的倾斜角为0°．选：A
2．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.故选：A.
3．（2022秋·福建福州·）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】，即，
设直线的倾斜角为，，则，，夹角为，故或.故选：C.
4．（2023广东湛江）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（ ）
A．－6B．－4
C．0D．6
【答案】C
【解析】直线经过两，，．又直线的倾斜角为，斜率一定存在，
则直线的斜率为，即．故选：C．
考点二 直线斜率与倾斜角的应用
【例2-1】（2022·高二课时练习）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，当时，则为钝角，且；
当时，此时，.综上所述，直线的倾斜角的取值范围为.故选：D.
【例2-2】（2022秋·广西百色·高二统考期末）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】在同一坐标系下标出这三个点，连接，如图当直线恰好经过时为临界情况，
又，当直线从位置顺时针转动到位置时，
由倾斜角和斜率的关系可知，.
故答案为：

【例2-3】（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，
可知 ，且 ，解得 ，即实数m的范围是，故选：C
【一隅三反】
1．（2023秋·四川宜宾）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设直线的倾斜角为，则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.故选：A.
2．（2022·全国·高一假期作业）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示：

依题意，，要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，故选：A
3．（2023·广东广州）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，
且，，
当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，
此时，；
当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.故答案为：.
考点三 两条直线平行与垂直的判定
【例3-1】（2022·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)平行，理由见解析；
(2)平行，理由见解析；
(3)不平行，理由见解析；
(4)平行，理由见解析；
【解析】（1）由题意得，两直线斜率，所以两直线平行，
又两直线在y轴上截距分别为1和3，所以两直线不重合，
所以直线平行.
（2）直线变形可得，直线变形可得，
所以两直线斜率，所以两直线平行，
又两直线在y轴上截距分别为和，所以两直线不重合，
所以直线平行.
（3）直线变形可得，直线变形可得，
两直线斜率，所以两直线不平行.
（4）直线变形可得，为横线，斜率，
直线变形可得，为横线，斜率，所以两直线平行，
因为，所以不重合，所以直线平行.
【例3-2】（2023·江苏）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．
(1)经过点经过点；
(2)经过点经过点．
【答案】(1)不垂直，理由见解析
(2)垂直，理由见解析
【解析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为，
，，，∴与不垂直．
（2）由题意知的倾斜角为90°，则轴；由题知直线的斜率存在，设为，
，则轴，∴．
【一隅三反】
1．（2023春·广东·高二统考阶段练习）直线和直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合
【答案】B
【解析】方程可化为，因此该直线的斜率.
方程可化为，因此该直线的斜率，
因为，所以这两条直线相交但不垂直.
故选：B.
2．（2023上海）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)垂直
(2)垂直
(3)不垂直
(4)垂直
【解析】（1），两直线垂直．
（2），两直线垂直；
（3），不垂直；
（4）斜率为0，斜率不存在，两直线垂直．
3．（2023云南）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)平行，理由见解析
(3)平行，理由见解析
【解析】(1)解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、，
则由、的方程可知，且，所以．
(2)解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、．
因为、的方程分别可化为，，
所以，且，所以．
(3)解：由、的方程可知，轴，轴，且两条直线、在轴上的截距不相同，所以．
考点四 直线平行与垂直的综合应用
【例4-1】（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知直线：，：，其中，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】直线：，：，由，得，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：C
【例4-2】（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知两条直线：，：，若，则（ ）
A．-1或0或3B．-1或3C．0或3D．-1或0
【答案】D
【解析】：，：，
若，则，即
，解得：或或，
当时，：，：，则；
当时，：，：，则；
当时，：，：，则与重合，舍去；
故选：D.
【例4-3】（2023安徽）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形B．直角梯形
C．等腰梯形D．以上都不对
【答案】B
【解析】，，则，
所以,与不平行，
因此故构成的图形为直角梯形.故选：B.
【例4-4】（2022秋·高二课时练习）已知三点共线，则的值为 .
【答案】
【解析】因为三点共线，所以，所以，解得.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2023春·广东汕头·高二金山中学校考期中）已知两条直线，，则是的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，，，所以；
当时，可得，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：A.
2．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知命题：直线与平行，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线与平行，则 ，解得或，所以命题等价于或，命题．
则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．
故选：A．
3．（2023·江苏·高二假期作业）（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．以点为直角顶点的直角三角形
D．以点为直角顶点的直角三角形
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以B错误，
对于C，因为，，所以，
所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
故选：AC
4．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.
【答案】矩形
【解析】由斜率公式，得，
，
，
，
，
.
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形.
又，∴.
又，∴与不垂直，
∴四边形为矩形.