人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率巩固练习

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知识点01：直线倾斜角的定义
以 SKIPIF 1 < 0 轴为基准， SKIPIF 1 < 0 轴正向与直线 SKIPIF 1 < 0 向上的方向之间所成的角 SKIPIF 1 < 0 叫做直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角.
（1）当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ；所以倾斜角的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ；
特别地，当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点02：直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示，即 SKIPIF 1 < 0
（1）倾斜角 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角 SKIPIF 1 < 0 时，直线的斜率不存在。
【即学即练1】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，则此直线的斜率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为直线的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此直线的斜率是 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
知识点03：斜率与倾斜角的联系
【即学即练2】（2023秋·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）图中的直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由图象可得， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
知识点04：直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），那么可得到如下斜率公式：
SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，直线与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，直线的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，直线与 SKIPIF 1 < 0 轴重合或者平行。
【即学即练3】（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)存在，1
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
(3)不存在
【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意得，存在，直线CD的斜率 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在．
题型01求直线的倾斜角
【典例1】（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【典例2】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是直线的一个方向向量，故直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【变式1】（2023秋·福建福州·高二统考期末）若直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量是 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由直线l的方向向量是 SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【变式2】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型02直线斜率的定义
【典例1】（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，则该直线的斜率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意知：直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】k=tan120°= SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
【变式1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意可得直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
题型03斜率与倾斜角变化关系
【典例1】（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率；D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
【答案】D
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 :直线的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 :两直线的倾斜角相等为 SKIPIF 1 < 0 ,斜率不存在,所以 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 :当直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 时直线斜率不存在，所以 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 :任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以 SKIPIF 1 < 0 正确.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过第二、四象限，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】直线倾斜角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 经过第二、四象限，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其对应的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】由题图可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可知A，B，C错误.
故选：ABC．
题型04已知两点求斜率
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ；
(4) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)存在，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)存在，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)存在，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ；
(4)不存在.
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以经过 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率存在，
所以斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即倾斜角为 SKIPIF 1 < 0
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以经过 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率存在，
所以斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以经过 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率存在，
所以斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
（4）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以经过 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率不存在，
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线的倾斜角是钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】因为直线的倾斜角是钝角，
所以斜率 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 （包括端点）上移动时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的变化范围．
【答案】(1)直线AB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AC的斜率为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线AC的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线AB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AC的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由 SKIPIF 1 < 0 增大到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AD的斜率的变化范围是 SKIPIF 1 < 0 ．

题型05已知斜率求参数
【典例1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且其倾斜角为135°，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】经过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线的倾斜角为135°，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线的斜率为1，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1或4B．4C．1或3D．1
【答案】D
【详解】解：因为直线过点P( SKIPIF 1 < 0 2，m)，Q(m，4)，且斜率为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【变式1】（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【变式2】（2023秋·高二课时练习）过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合，
综上： SKIPIF 1 < 0 .
题型06利用直线斜率处理共线问题
【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一条直线上，则 SKIPIF 1 < 0 值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．2或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为A，B，C三点共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的值为2或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不能构成三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的值是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不能构成三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：4
【变式1】（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点 SKIPIF 1 < 0 在同一直线上，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．12
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一条直线上，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0B．5C．0或5D．0或-5
【答案】C
【详解】因为三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一条直线上，且直线斜率存在，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故选：C
题型07求斜率或倾斜角的取值范围
【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 相交，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】如图所示：

若直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 相交，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图：

当直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线l的倾斜角的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为端点的线段相交，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如下图所示：设过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 移动到点 SKIPIF 1 < 0 （不包括点 SKIPIF 1 < 0 ）的过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为锐角，
此时， SKIPIF 1 < 0 ；
当点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 （不包括点 SKIPIF 1 < 0 ）移动到点 SKIPIF 1 < 0 的过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为钝角，
此时， SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例4】（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）经过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 与连接点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的线段总有公共点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：如图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则使直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点的直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又直线倾斜角的范围是： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线l的倾斜角的范围为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,且与线段 SKIPIF 1 < 0 相交,则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】画出图像,如图:
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 结合图像可知,要保证线段 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交
需满足斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围: SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故选:D.
【变式2】（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 的变化范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】如图所示，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上一动点，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 的变化范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0
故选：B
【变式4】（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：直线l的斜率为k，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题型08斜率公式的几何意义的应用
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）若实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则代数式 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可表示点 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率，
由图象可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 所成直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 部分图象上的动点，
如图所示：可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
故设 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 可看作函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的点与点 SKIPIF 1 < 0 （-1，-2）连线的斜率，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江苏·高二假期作业）若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A．0°B．30°
C．60°D．90°
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 两点的纵坐标相等，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为0°．
故选：A
2．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若 SKIPIF 1 < 0 是直线l的倾斜角，则 SKIPIF 1 < 0 ；②若直线倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则它斜率 SKIPIF 1 < 0 ；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】对于①：若 SKIPIF 1 < 0 是直线的倾斜角，则 SKIPIF 1 < 0 ；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，它的斜率 SKIPIF 1 < 0 ；倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 时没有斜率，所以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
3．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若直线经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由直线经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，可得直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，…，9）均为 SKIPIF 1 < 0 ，拉索下端相邻两个针的间距 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，…，9）均为 SKIPIF 1 < 0 ．最短拉索的针 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则最长拉索所在直线的斜率约为（ ）（结果保留两位有效数字）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】依题意，以直线 SKIPIF 1 < 0 为x轴，直线 SKIPIF 1 < 0 为y轴建立平面直角坐标系，如图，
显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此点 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以最长拉索所在直线的斜率约为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
5．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．－6B．－4
C．0D．6
【答案】C
【详解】直线经过两 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，．
又直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率一定存在，
则直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
6．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，那么“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，
故选：A
7．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
作出 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的图象，如图所示：
由此可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0°B．1°C．2°D．3°
【答案】C
【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，
过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.
故选：C
二、多选题
9．（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C．若一条直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则此直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0
D．若一条直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则此直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
【详解】对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率不存在，所以A错误；
对于B：直线倾斜角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；
对于C：一条直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，此直线的倾斜角不一定为 SKIPIF 1 < 0 ，
如 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，它的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
对于D：一条直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 时，它的斜率为 SKIPIF 1 < 0 或不存在，所以D错误.
故选：ABCD
10．（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】ABC
【详解】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合选项可得实数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有11,12,13，
故选:ABC.
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 向上的方向所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为________．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 向上的方向所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于C，D两点，则直线CD的斜率为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
【答案】（1）斜率 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角是锐角；（2）斜率 SKIPIF 1 < 0 ；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.
【详解】解：（1）kAB= SKIPIF 1 < 0 ，
因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角.
（2）kPQ= SKIPIF 1 < 0 ，
因为kPQ<0，
所以直线PQ的倾斜角是钝角.
（3）因为xM=xN=3，
所以直线MN的斜率不存在，
其倾斜角为90°.
14．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
所以由图可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角之间，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．（2023·江苏·高二假期作业）坐标平面内有相异两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是相异两点，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
故选：B
2．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在线段AB上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
3．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 可看作 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
C综合素养
1．（多选）（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）如图所示，下列四条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜率分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜率分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由倾斜角定义知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
故选：BC
2．（2022·高二课时练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点 SKIPIF 1 < 0 无旋转射入，经过 SKIPIF 1 < 0 轴（桌边）上的点 SKIPIF 1 < 0 反弹后，经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知坐标平面内三点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率和倾斜角；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 可以构成平行四边形，且点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)斜率为1，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
（1）解：因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图，当点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限时， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：由题意得 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.
当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率最小， SKIPIF 1 < 0 ；
当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率最大， SKIPIF 1 < 0 .
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
学习目标
①理解直线的倾斜角与斜率的概念。
②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。
③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。
④会用两点坐标求直线的斜率。
⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。
通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.
倾斜角 SKIPIF 1 < 0
（范围）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
斜率 SKIPIF 1 < 0
（范围）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 不存在
SKIPIF 1 < 0