数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率精品作业ppt课件

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03直线的倾斜角及斜率的应用
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.(数学抽象)2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.(逻辑推理)4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(数学运算)
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线(点的轨迹)的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质. 解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进人变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础. 本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等. 类似地，通过确定圆的几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究与圆相关的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题.
2.1 直线的倾斜角与斜率
我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
2.1.1 倾斜角与斜率
思考1 确定一条直线的几何要素是什么? 对于平面直角坐标系中的一条直线l， 如何利用坐标系确定它的位置?
问题1：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。
(1)当直线l 与x轴相交时，我们取 x 轴为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所形成的角α叫做直线l的倾斜角。
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
(2)规定当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°
1、直线倾斜角的定义：
2、直线倾斜角α的取值范围：
倾斜角相同能确定一条直线吗？
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
①平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;
②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;
③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？
“坡度比”是“倾斜角”的正切值.
已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?
思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角解:由题意画出如下草图.由图可知:当α为钝角时,倾斜角为α-90°,当α为锐角时,倾斜角为α+90°,当α为直角时,倾斜角为0°.
设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　)A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
解析:根据题意,画出图形,如图所示:因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.
1. 当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°, 当直线l与x轴垂直时, 它的倾斜角为90°, 因此, 直线的倾斜角的取值范围为: [0°, 180°).
3. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线(平行或重合)，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线(相交)，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
2. 过一点P且倾斜角为的直线是唯一的.
思考2 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗? 为什么?
3. 当直线的倾斜角是90°时，直线与x轴垂直，此时直线斜率不存在.
1. 倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，例如，倾斜角 = 60°时，这条直线的斜率为
2. 倾斜角 = 120°时，这条直线的斜率为
4. 日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度: 坡度=铅直高度/水平宽度当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.
5. 如果直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么直线的斜率满足公式:
上述公式叫做直线的斜率公式.
思考3 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时, 其斜率k如何变化? 为什么?
当0°≤<90°时, k>0, 且k随的增大而增大.
当90°<<180°时, k<0, 且k随的增大而增大.
练习1 若45°≤ ≤135°, 则斜率k的取值范围为______________.
练习2 若-1≤k≤1, 则倾斜角 的取值范围为_____________________.
[0°, 45°]∪[135°, 180°)
(-∞, -1]∪[1, +∞)
思考4 (1) 已知直线上的两点A(x1, y1), B(x2, y2), 运用斜率公式计算直线AB的斜率时, 与A, B两点的顺序有关吗?(2)当直线平行于y轴, 或与y轴重合时, 上述公式还适用吗? 为什么?
②当直线平行于y轴，或与y轴重合时，倾斜角为90°，斜率不存在，故不适用斜率公式.
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900
已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0，-1)过点C的直l线段 AB有公共点，求l的斜率k的取值范围。
(1)应用斜率公式求斜率时应注意的问题①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率不存在．②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
(2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1.
延伸探究1 本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
延伸探究2 若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?
光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标 及入射光线的斜率.
(方法2)设Q(0,y),如图,点B(4,3)关于y轴的对称点为B'(-4,3),
3. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角: (1) C(18, 8)，D(4, -4); (2) P(0, 0)，Q(-1, 3).
4. 已知a, b, c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角: (1) A(a, c), B(b, c); (2) C(a, b), D(a, c); (3) P(b, b+c), Q(a, c+a).
5. 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(1, k)，求k的值.
变式 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值
1.下列说法中，正确的是 (　　) A. 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα B. 直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α C. 若直线的倾斜角为α，则sinα＞0 D. 任意直线都有倾斜角α，且α ≠ 90°时，斜率为tanα
2.已知经过A(m,2), B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为α, 且45°<α<135°, 试求实数m的取值范围.
是直线l的一个方向向量,