2024年人教版数学八年级上册同步讲义第十三章第01讲 轴对称（2份，原卷版+解析版）

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第01讲 轴对称 知识点01 轴对称图形的概念 轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 完全重合 ，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的 对称轴 。可以有多条对称轴。题型考点：①轴对称图形的判断。②对称轴的判断。【即学即练1】1．下列交通安全图标不是轴对称图形的是（　　）（图中的三角形是等边三角形）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：C．【即学即练2】2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（　　）A．1 条 B．2条 C．4 条 D．无数条【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的直线，有无数条．故选：D．知识点02 轴对称轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 完全重合 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的 对称轴 。只有一条对称轴。 重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。重合的点叫做 对应点 。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 题型考点：①判断轴对称。【即学即练1】3．下列选项中左右两图成轴对称的为（　　）A． B． C． D．【解答】解：根据轴对称的概念．只有C成轴对称．故选：C．知识点03 轴对称与轴对称图形的性质轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 ，成轴对称的两个图形 全等 。 ②对应边 相等 ，对应角 相等 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的 中点 且与线段 垂直 。 ④对应点的连线之间相互 平行 。 题型考点：①对性质的理解。②利用性质计算。【即学即练1】4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，正确的有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴①△ABC≌△A′B′C′，正确；②∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAC+∠CAC′＝∠B′AC′+∠CAC′，即∠BAC′＝∠B′AC，正确；③l垂直平分CC′，正确；④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误．综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：B．【即学即练2】5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（　　）A．90° B．100° C．70° D．80°【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：B．【即学即练3】6．如图，△ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝6，△BCD的周长为17，那么AC边的长是 　11　．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∵△BCD的周长为17，∴CD+BD+BC＝17，∴CD+AD+BC＝17，即AC+BC＝17，∵BC＝6，∴AC＝11，故答案为：11．知识点04 垂直平分线垂直平分线的定义： 过线段的 中点 且与线段 垂直 的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若C点事AB的中点，则MN是线段AB的垂直平分线。垂直平分线的性质： ①垂直平分线 垂直且平分 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ 90°， AC ＝ BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。 在Rt△PAC与Rt△PBC中 ∴Rt△PAC≌Rt△PBC ∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。垂直平分线的判定 到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 垂直平分线 上。 题型考点：①利用垂直平分线的性质求值。②垂直平分线的判定。【即学即练1】7．如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B的度数为（　　）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【解答】解：在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B＝∠BAD∵∠CAD：∠DAB＝2：1∴4∠B＝90°∴∠B＝22.5°故选：B．【即学即练2】8．如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝，则BE两点间的距离是（　　）A． B． C． D．【解答】解：连接BE，∵DE垂直平分线AB∴BE＝AE＝2．故选：C．【即学即练3】9．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC＝8，AB＝6，BC＝4，则△ADB的周长为（　　）A．14 B．13 C．12 D．10【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∵AC＝AD+CD，∴AC＝AD+BD＝8，∴△ADB的周长＝AD+DB+AB＝AC+BC＝8+6＝14，故选：A．【即学即练4】10．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．证明：BD垂直平分AE．【解答】证明：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴∠ABD＝∠EBD，∠BAD＝∠BED＝90°，在△BAD和△BED中∴△BAD≌△BED（AAS），∴AB＝BE，∵BD平分∠ABE，∴BD垂直平分AE（三线合一），题型01 轴对称与轴对称图形的判断【典例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；D．是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【典例2】下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；故选：D．【典例3】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（　　）A． B． C． D．【解答】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．故选：C．【典例4】观察下图中各组图形，其中成轴对称的为　 　（只写序号1，2等）．【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④故填①②④题型02 镜面对称的规律题【典例1】如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个球袋，如果一个球从A（﹣2，0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面B的坐标是（0，2），则该球第二次碰到台球桌面的坐标是　 　（2，0）　，该球最后落入的球袋是 　2　号袋．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：因为一个球从A（﹣2，0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面B的坐标是（0，2），所以该球第二次碰到台球桌面的坐标是（2，0），该球最后落入的球袋是2号袋．故答案为：（2，0），2．【典例2】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2020的坐标是（　　）A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020÷6＝336……4，即点P2020的坐标是（﹣2，4），故选：B．【典例3】在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从（0，2）出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2022次碰到长方形的边时，点P2022的坐标为 　（0，2）　． 【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵P（0，2），P1（2，0），P2（6，4），∴P3（8，2），P4（6，0），P5（2，4），P6（0，2），P7（2，0），…，∴Pn的坐标以6为循环单位循环．∵2022÷6＝337，∴点P2022的坐标是（0，2），故答案为：（0，2）．【典例4】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为 　（4，3）　．【解答】解：如图：根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2021÷6＝336…5，即点P2021的坐标是（4，3）．故答案为：（4，3）．【典例5】如图所示，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标是　（1，4）　．【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2021÷6＝336…5，当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．题型03 轴对称的性质理解【典例1】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，下列结论：①AB＝A'B'；②OB＝OB′；③AA'∥BB'中，正确的有（　　）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴OB＝OB′，△ABC≌△A′B′C′，AA′∥BB′，故②③正确，∴AB＝A′B′，故①正确，所以正确的一共有3个，故选：A．【典例2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′交对称轴l于点M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则下列说法不正确的是（　　）A．三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等 B．AM＝A′M且AA′⊥l C．∠B＝100° D．连接BB′，CC′，则AA′，BB′，CC′三条线段不仅平行而且相等【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等，AM＝A′M且AA′⊥l，∠C＝∠C′＝30°，AA′∥BB′∥CC′，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，∴A，B，C不符合题意；D符合题意．故选：D．【典例3】如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，∴（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．综上所述，正确的结论有4个，故选：D．题型04 利用轴对称的性质计算【典例1】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则AC＝（　　）A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AC＝A'C′．故选：D．【典例2】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A＝54°，∠C'＝26°，则∠B等于（　　）A．36° B．154° C．80° D．100°【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C′＝26°，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣54°﹣26°＝100°．故选：D．【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　）A．18° B．19° C．20° D．21°【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°，故选：C．【典例4】在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝12°，则∠EAF的度数为 　39°　．【解答】解：∵∠B'AD'＝12°，∴2∠EAF＝90°﹣12°＝78°，∴∠EAF＝39°．故答案为：39°．【典例5】 如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的面积是 　9　．【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，BC＝2BD＝2×3＝6，AD⊥BC，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面积是：＝，∴图中阴影部分的面积是．故答案为：9．题型05 利用垂直平分线的性质计算【典例1】如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为12cm，则AB+AC＝　12　cm．【解答】解：∵l是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∵△ABD的周长为12cm，∴AB+AD+BD＝12cm，∴AB+AD+DC＝12cm，∴AB+AC＝12cm，故答案为：12．【典例2】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝4，∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，故选：B．【典例3】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为（　　）A．40 B．20 C．15 D．10【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，∴EB＝EA，GA＝GC，∵△AEG的周长是20，∴AE+EG+AG＝20，∴BE+EG+GC＝20，∴BC＝20．故选：B．【典例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是（　　）A．22° B．27° C．32° D．40°【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣42°）＝69°，∵MN垂直平分线AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝42°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．故选：B．【典例5】如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　）A．115° B．116° C．117° D．118°【解答】解：∵∠ABC＝52°，∴∠BMN+∠BNM＝128°．∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM＝PM，PN＝CN．∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，∴∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM．∴∠MPA+∠CPN＝（∠BMN+∠BNM）＝×128°＝64°．∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．故选：B．【典例6】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB的度数为（　　）A．56° B．58° C．60° D．63°【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵BE＝AC，∴CE＝AC，∵∠ACE＝20°，∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝80°，∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，∴∠EBC＝∠ECB＝40°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠EBC＝20°，∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，故选：C．【典例7】如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），故选：B．【典例8】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）A．6cm B．12cm C．15cm D．24cm【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，BE＝AE＝3cm，∵△ADC的周长为9cm，∴CD+DA+AC＝9cm，∴CD+BD+AC＝9cm，∴BC+AC＝9cm，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝BC+AC+2AE＝9+2×3＝15（cm），故选：C．【典例9】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周长是5cm，∴P1P2＝5cm．故选：C．1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（　　）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【解答】解：如图所示，，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，下列说法不正确的是（　　）A．AP＝A′P B．MN垂直平分A A′，C C′ C．这两个三角形的面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上【解答】解：A、P到点A、点A′的距离相等正确，不符合题意；B、点C、点C′到直线MN的距离相等正确，点A、点A′到直线MN的距离相等正确，不符合题意；C、∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴这两个三角形的面积相等，不符合题意；D、直线AB，A′B′的交点一定在MN上，此选项错误，符合题意．故选：D．4．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝3，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）A．0 B．5 C．6 D．7【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝3，OP＝OP2＝3，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜6，故选：B．5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点B′落在BC边上．若∠C＝2∠B′AC，AB′平分∠DAC，则∠B的度数为（　　）A．67.5° B．50° C．45° D．22.5°【解答】解：设∠B′AC＝x，则∠C＝2x，∵AB′平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠B′AC＝2x，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠DAC＝90°，∴2x+2x＝90°，∴x＝22.5°．∴∠AB′D＝∠C+∠B′AC＝3x＝67.5°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠B＝∠AB′D＝67.5°．故选：A．6．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（　　）A．144° B．108° C．72° D．54°【解答】解：由折叠的定义知：∠ABC＝∠A′BC，∠ACB＝∠A′CB，∵∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣54°＝126°∴∠ABA′+∠ACA′＝2×126°＝252°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣（∠ABA′+∠ACA′）＝360°﹣252°＝108°，故选：B．7．如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2＝α，则∠1的度数为（　　）A．2α B．90°﹣α C． D．【解答】解：由折叠可得：∠AEF＝∠A'EF，∴，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴，故选：D．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、N，以下说法：①∠P＝60°；②∠EAF＝∠B+∠C；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等，其中正确的是（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：∵PM⊥AC，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∵∠BAC+∠PMA+∠PNA+∠P＝360°，∠BAC＝120°，∴∠P＝60°，故①符合题意；∵AC的垂直平分线是PM，∴EC＝EA，∴∠EAC＝∠C，同理：∠EAB＝∠B，∴∠EAC+∠EAB＝∠B+∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠EAC+∠EAB＝∠B+∠C＝60°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAC+∠EAB）＝60°，∴∠EAF＝∠B+∠C，故②符合题意；∵∠PEF＝∠CEM＝90°﹣∠C，∠PFE＝∠BEN＝90°﹣∠B，∠B不一定等于∠C，∴∠PEF不一定等于∠PFE，∴PE不一定等于PF，故③不符合题意；∵PM，PN分别平分AC，AB，∴P是△ABC的外心，∴点P到点B和点C的距离相等，故④符合题意．∴正确的是①②④．故选：B．9．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝70°，则∠BOC＝　140°　．【解答】解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，∴点O为△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠BAC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝140°，故答案为：140°．10．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若△AEF的周长为7，则BC的长是（　　）A．7 B．8 C．9 D．无法确定【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分线交BC于点F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周长＝7．故选：A．11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 　6cm　．【解答】解：∵OM、ON分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，OA＝OB，EA＝EC，OA＝OC，∵△ADE的周长为11cm，∴AD+DE+EA＝11cm，∴BD+DE+EC＝11cm，即BC＝11cm，∵△OBC的周长为23cm，∴OB+BC+OC＝23cm，∴OB+OC＝23﹣11＝12（cm），∴OA＝6cm，故答案为：6cm．12．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　39　．​【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，∵DE是线段BC的中垂线，∴∠EDC＝90°，CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBD，∵∠EBD＝25°，∴∠ECB＝25°，∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，∵ER⊥AC，ED⊥BC，∴∠QRC＝∠QDE＝90°，∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，∵∠CQR＝∠EQD，∴∠ACB＝∠QED，∵∠ACB＝26°，∴∠QED＝26°，∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，∴ER＝EF，在Rt△ERC和Rt△EFB中，，∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，∵∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，∵∠ARE＝∠AFE＝90°，∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∵AE平分∠CAM，∴∠CAE＝CAM＝25°，∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，故答案为：39．13．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂在平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE．（1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝15°，求∠CDE的度数．【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，∴AB+BE+EC+CD+AD＝19，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝7，∴AB+BE＝19﹣7＝12，∴AB＝6；（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝15°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣15°＝135°，在△BAD和△BED中，，∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝135°，∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣15°＝90°．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．（1）若BC＝9，求△AEG的周长．（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，∴EA＝EB，GA＝GC，∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9；（2）∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，∵EA＝EB，GA＝GC，∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°．15．有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．（1）如图，当点B′落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．【解答】解：（1）猜想：∠FEG＝90°．∵∠AEA'+∠A'EB＝180°，∵折叠，∴∠AEF＝∠A'EF，∠B'EG＝∠GEB，∴∠FEA'+∠A'EG＝∠FEG＝90°．（2）①当点B落在∠AEG内部时，′∠B'EG＝2x，∴∠FEA'＝∠AEA'＝90°﹣x，∴∠FEG＝∠FAA'+∠A'EB'+∠B'EG＝90°﹣x+x+2x，∴∠FEG＝90°+x；如图2，当点B落在∠A'EF内部时，∠A'EB'＝x，∠A'EB'＝∠B′EB，∴∠B'EB＝4x，∴∠AEA'＝180°﹣∠A'EB＝180°﹣（∠B'EB﹣∠A'EB）＝180°﹣3x，∴∠BEG＝∠BEB'＝2x，∠AEF＝∠AEA'＝90°﹣x，∴∠FEG＝180°﹣∠BEG﹣∠AEF＝90°﹣．综上所述，当点B落在∠A'EG内部时，∠FEG＝90°+，当点B落在∠A'EF内部时，∠FEG＝90°﹣；②可能．当点B落在∠AEG内部时，若EB'平分∠FEG，此时，∠B′EG＝∠FEB′，∠FEB′＝，∠B′EG＝2x，即2x＝，解得：x＝，∴∠FEG＝；当点B落在∠A′EF内部时，∠FEG＝90°﹣，∵EB平分∠FEG，∴∠B′EG＝∠FEG，即2x＝，解得：x＝20°，∴∠FEG＝90°﹣x＝90°﹣×20＝80°综上所述：当点B落在∠A'EG内部时，∠FEG＝（）°；当点B落在∠A'EF内部时，∠FEG＝80°．课程标准学习目标①轴对称与轴对称图形的概念②轴对称与轴对称图形的性质③线段的垂直平分线认识轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练判断。掌握轴对称与轴对称图形的性质，并能够熟练应用其解决相关题目。掌握垂直平分线的定义，性质，判定，并能够熟练应用垂直平分线的性质与判定。