人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和第2课时导学案

这是一份人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和第2课时导学案，共6页。学案主要包含了课堂小结，知识链接等内容，欢迎下载使用。
第十三章 轴对称13．3  等腰三角形13．3．2 等边三角形第2课时 含30°角的直角三角形的性质学习目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质．          2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．重点：含30°角的直角三角形的性质．难点：运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．自主学习教学备注：学生在课前完成自主学习部分知识链接1．等边三角形的性质有哪些？  2．如何判定一个三角形是等边三角形？ 课堂探究  一、要点探究探究点：含30°角的直角三角形的性质如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD， ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形．再由AC⊥BD，可得BC=CD=AB．  要点归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的        ． 想一想：你还能用其他方法证明吗？已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°． 求证：BC =AB．要点归纳：含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．应用格式：∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴BC =AB． 判断下列说法是否正确：（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半．
（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半．
（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．  典例精析例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是(　　)A．3 cm           B．6 cm         C．9 cm           D．12 cm 注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．例2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)A．3   B．2           C．1.5   D．1 方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形． 例3：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．  方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．   例4：如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ 例5：已知：等腰三角形的底角为15°，腰长为20．求腰上的高．  方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题． 二、课堂小结含30°角的直角三角形的性质：应用的前提在         三角形中，结论是30°角所对的直角边是         的一半，而不是任一直角边是斜边的一半．当堂检测1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(       )A．6米        B．9米      C．12米      D．15米           第1题图                            第2题图2．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(        )A．300a元     B．150a元         C．450a元      D．225a元3．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD =       ．     第3题图                        第5题图4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，若AB=10，则BC =       ． 5．如图，Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A= 30°，AB+BC=12 cm，则AB=______．6．在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．                7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA． 拓展提升：8．如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．              
参考答案自主学习一、知识链接1．等边三角形的三条边相等，三个角相等，且都是60°．2．三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形．课堂探究二、要点探究探究点：含30°角的直角三角形的性质要点归纳  一半想一想：证法1：证明：在△ABC中，∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，∴∠B =60°．延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．又∵AC⊥BD，∴BC =BD．∴BC =AB．证法2：证明：在BA上截取BE=BC，连接EC． ∵∠B=90°-∠A= 60°，BE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC= 60°，BE=EC=BC．∵∠A= 30°，∴∠ECA=∠BEC－∠A=60°－30°=30°．∴AE=EC=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC．判断下列说法是否正确  （1）×  （2）×  （3）×  （4）√典例精析例1  D  解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°-∠A=∠B＝30°．在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm．故选D．例2  C  解析：过点P作PE⊥OB于E．∵PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠BOP＋∠AOP＝30°．又∵PC＝3，∴PE＝1.5．∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5．故选C．例3  解：CD =DB．理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°．∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE．又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B．∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°．在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB．例4  解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴BC=AB，DE=AD．∴BC=AB=×7.4=3.7(m)．又AD=AB，∴DE=AD=×3.7=1.85(m)．答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m．例5  解：过C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D．∵∠B=∠ACB=15° (已知)，∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，∴CD=AC=×20=10．当堂检测1．B   2．B   3．1   4．5    5．8 cm6．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2．5．7．证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠BAD=∠DAC=60°．∴AB=2AD．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE．∴AB=4AE，∴BE=3AE．拓展提升：8．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB ，∠C=∠BAC=60°．∵CD=AE，∴△ADC≌△BEA．∴∠CAD=∠ABE．∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°．∴∠BPQ=60°．又∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．