北师大版数学八年级上册同步讲义第3章第03讲 求平行直角坐标系中的图形面积（2份，原卷版+解析版）

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第03讲 类比归纳专题：求平行直角坐标系中的图形面积(3类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc13379" 【类型一 直接利用面积公式求图形的面积】  PAGEREF _Toc13379 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18538" 【类型二 利用补形法或分割法求图形的面积】  PAGEREF _Toc18538 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc1995" 【类型三 与图形面积相关的点的存在性问题】  PAGEREF _Toc1995 \h 1【类型一 直接利用面积公式求图形的面积】例题：（2023春·吉林松原·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．  (1)求，的值；(2)求的面积．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值；（2）根据，的值可以确定点、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，（2）解：∵，，∴点，点，又∵点，∴，，∴．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是：根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值．【变式训练】1．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）在直角坐标系中，三角形的顶点，，．  (1)求三角形的面积．(2)若P是x轴上一动点，若三角形的面积等于三角形面积的一半，求点P的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）过点B作轴于点H，由得到，由及得到，利用三角形面积公式即可得到三角形的面积；（2）设点P的坐标为，则，根据题意得到，解得或，即可得到点P的坐标．【详解】（1）解：过点B作轴于点H，  ∵，∴，∵三角形的顶点，．∴，∴三角形的面积，即三角形的面积为；（2）设点P的坐标为，则，∵三角形的面积等于三角形面积的一半，∴，解得或，∴点P的坐标为或．【点睛】此题主要考查了图形与坐标、绝对值方程、三角形面积公式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．2．（2023春·河南商丘·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．  (1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标；(2)求三角形的面积．【答案】(1)点或，图见解析；(2)【分析】（1）根据题意设点，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答；（2）根据点的纵坐标为，即可解答．【详解】（1）解：∵三角形的边在轴上∴设点，∵，顶点的坐标为，∴，∴，，∴点或，∵顶点的坐标为，∴如图所示：  （2）解：∵顶点的坐标为，∴点的纵坐标为，∵，∴，即的面积为．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．3．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中a、b满足．  (1)求a、b的值；(2)求的面积；(3)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可；（2）由（1）可知点A、B的坐标，从而可求出，再根据三角形的面积公式计算即可；（3）设，则，根据三角形的面积公式可求出，结合题意可列出关于x的等式，解出x的值即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，，∴，∴；（3）解：设，∴，∴．∵的面积与的面积相等，∴，解得：或，∴点P的坐标为或．当点P的坐标为时点B与点P重合，∴点P的坐标为．【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，绝对值方程的应用等知识．掌握绝对值和平方的非负性，利用数形结合的思想是解题关键．4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．  (1)求三角形的面积；(2)设点是轴上一点，若，试求点坐标；(3)若点在线段上，求用含的式子表示．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；（2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可；（3）根据，进行计算即可解答．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：设点是轴上一点，坐标为，，，，，即，解得：或，或；（3）解：如图，连接，  ，，，，，，，，，点在第三象限，，，，整理得：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．【类型二 利用补形法或分割法求图形的面积】例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点，，，求三角形的面积．【答案】18【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案；方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案；方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案．【详解】解：方法一：如图，作长方形，则 ．方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F．∴，，，，，∴ ．方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E．∴，，，，，∴ ．【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯形是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北恩施·七年级校联考期中）如图，有一块不规则的四边形地皮，各个顶点的坐标分别为，，，图上一个单位长度表示米，求这个四边形的面积．【答案】这个四边形的面积为【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，如图，先计算出相关线段的长，再根据求解即可【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ，，，，，，，，，，， ．答：这个四边形的面积为．【点睛】本题考查了坐标与图形，正确得到相关线段的长度、掌握割补法求解的方法是关键．2．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，每格代表个单位，三角形的三个顶点都在格点上．  (1)请写出，，的坐标．(2)求出三角形的面积．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由图可得点，，的坐标；（2）过各顶点作轴和轴的平行线，构成矩形，利用矩形面积减去周围三角形面积即可求的面积．【详解】（1）解：由图可知：，，；（2）如图：过各顶点作轴和轴的平行线，构成矩形，  由图可知，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标点，利用网格求三角形面积，本题的关键是正确构造出矩形，求解三角形面积．3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在如图所示的直角坐标系中，多边形的各顶点的坐标分别是，，确定这个多边形的面积，你是怎样做的?【答案】25，见解析【分析】根据矩形、三角形和梯形面积公式以及进行计算．【详解】解：如图所示，多边形的面积．【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，一些不规则图形可以转化为一些易求面积的图形的和或差来计算．4．（2020秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中四边形．  (1)分别写出点A、B、C、D的坐标；(2)求这个四边形的周长；(3)求这个四边形的面积．【答案】(1)，，，(2)(3)【分析】（1）根据点A、B、C、D在平面直角坐标系中的位置可直接得出答案；（2）利用勾股定理求出、、的长，然后可得答案；（3）将四边形分割成3个直角三角形和1个长方形进行计算即可．【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知：，，，；（2）解：∵，，，，∴四边形的周长；（3）解：如图，点E、F、G均在格点上，则四边形的面积．  【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，割补法求面积，二次根式的运算，熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键．【类型三 与图形面积相关的点的存在性问题】例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知，，，连接交轴于点，，．(1)请直接写出点，的坐标，______，______；(2)如图2，、分别表示三角形、三角形的面积，点在轴上，使，点若存在，求点纵坐标、若不存在，说朋理由；(3)如图3，若是轴上方一点，当三角形的面积为20时，求出的值．【答案】(1)，；(2)存在，12或；(3)或．【分析】（1）根据立方根的性质，算术平方根的性质可得a，b的值，即可求解；（2）设P点纵坐标为，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，结合，即可求解；（3）分两种情况讨论：当在右侧时，当在左侧时，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，；故答案为：，（2）解：存在，设P点纵坐标为．当在上方时，，，，，∴，解得：；当在下方时，，，，，，∴，解得：．综上：点纵坐标为12或．（3）解：当在右侧时，，过左轴于，连接，∴，∵三角形的面积为20，∴，；当在左侧时，，过左轴于，连接，，∵三角形的面积为20，∴，；综上所述，的值为12或．【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示，，，点在轴上，且．(1)求点的坐标；(2)求三角形的面积；(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)或；(2)；(3)存在，或【分析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．【详解】（1）如图，当点在点的右边时，，当点在点的左边时，，所以的坐标为或；（2）的面积，答：的面积为；（3）设点到轴的距离为，则，解得，当点在轴正半轴时，，当点在轴负半轴时，，综上所述，点的坐标为或【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键．2．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点是第一象限内的点，，．(1)分别求出点、、的坐标．(2)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．(3)在平面直角坐标系是否存在点，使与全等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)(3)，或【分析】（1）根据可得，，从而得到，，再根据，构造全等三角形，即可得到点C的坐标；（2）根据三个顶点坐标可求，则，又因为，即可求点P 的坐标；（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E，由（1）求点C的坐标的方法可求出点坐标，点与点关于点A对称，点C与点关于点B对称，即可得到点E的三个坐标．【详解】（1）解：∵，∴∴，，∴，，∴，过点作轴于点，则∵，∴，在中，，∴∵，∴∴，∴，∴，∵点在第一象限内，∴．（2）存在．过点作轴于点，则∵，∴∵， ∴，∴，∴（3），或理由：如图所示，当，且点在第一象限时，由（1）同理得当，且点在第二象限时，点与点关于点A对称∴当，且点在第二象限时，点C与点关于点B对称∴综上所述，，或故答案为：，或【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．