北师大版数学七年级下册同步讲义第一章第07讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用(5类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第07讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用(5类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27818" 【考点一 项的位置变换】  PAGEREF _Toc27818 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2125" 【考点二 项数的变换】  PAGEREF _Toc2125 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc31197" 【考点三 简便运算变换】  PAGEREF _Toc31197 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc18291" 【考点四 连续相乘应用】  PAGEREF _Toc18291 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc26827" 【考点五 整体代换应用】  PAGEREF _Toc26827 \h 10【考点一 项的位置变换】例题：（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）计算： ．【答案】/【分析】本题考查平方差公式，运用平方差公式求解即可．【详解】．故答案为：【变式训练】1．（2023上·广东河源·七年级校考期中）计算： ．【答案】/【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式即可求解．【详解】解：．故答案为：．2．（2023下·广东深圳·七年级统考期末）计算 ．【答案】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（2023下·安徽宿州·七年级校联考期末）计算： ．【答案】/【分析】根据平方差公式进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：．4．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期末）计算： ．【答案】【分析】提负号后，利用平方差公式进行计算求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式．解题的关键在于正确的运算．【考点二 项数的变换】例题：（2023上·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）用乘法公式计算：．【答案】【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，掌握公式的形式及数学思想是解题关键．利用平方差公式和完全平方公式，结合整体思想即可求解．【详解】解：【变式训练】1．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知是解题的关键．（1）根据完全平方公式进行求解即可；（2）先把看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案．【详解】（1）解：原式 ；（2）解：原式．2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可；（2）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可．【详解】（1）；（2）．3．（2023上·全国·八年级专题练习）计算题：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整式的乘法，乘法公式；（1）根据完全平方公式进行计算即可求解；（2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【考点三 简便运算变换】例题：（2023上·全国·八年级专题练习）用简便方法计算下列各题．(1)；(2)．【答案】(1)39991(2)【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可；（2）利用完全平方差公式进行求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(1)1(2)10000【分析】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，（1）利用平方差公式进行计算即可；（2）利用完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）用简便算法计算(1)(2)【答案】(1)1(2)90000【分析】（1）将变形为，运用平方差公式计算，即可求解；（2）将变形为，则原式可逆用完全平方公式计算．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式【点睛】题词考查利用平方差与完全平方公式进行简便计算，熟练掌握平方差与完全平方公式是解题的关键．3．（2023上·八年级课时练习）用简便方法计算：(1) ；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先对变形使其变化为两数和与两数差的积的形式，然后运用平方差公式简化运算；（2）利用完全平方公式分解因式，简便计算即可．【详解】（1）解：原式 ；（2）解：原式．【点睛】此题考查了利用平方差公式、完全平方公式分解因式进行简便计算，掌握公式是解题的关键．【考点四 连续相乘应用】例题：（2023下·湖南常德·七年级统考期中）计算： ．【答案】4【分析】在前面乘一个，然后再连续利用平方差公式计算.【详解】解：．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方差公式的运用，添加是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·四川成都·七年级校考期中）求的值是 ．【答案】【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】．故答案为：．【点睛】此题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．2．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）观察下面解题过程，解答问题：题目：化简解：原式问题：化简．【答案】【分析】本题考查了平方差公式的应用：根据题干，先整理原式，再模仿算式算法，即可作答．【详解】解：．3．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是：______；(2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题：①已知，则______；②计算：．【答案】(1)(2)①4；②【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键．（1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案；（2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解；②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，∵图1和图2中两阴影部分的面积相等，∴上述操作能验证的等式是，故答案为：；（2）解：①∵，∴，∵，∴，故答案为：4；②．4．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．【简单情形】化简（1）____________；（2）____________；（3）____________；【复杂问题】化简（4）____________；【总结规律】（5）观察以上各式，可以得到：____________；【方法应用】（6）利用上述规律，计算，并求出该结果个位上的数字．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），个位上的数字是5【分析】（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；（3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；（4）根据前3个等式的规律，即可得出结论；（5）根据前4个等式的变化规律，即可得出结论；（6）利用（5）的结论，进行计算，然后根据计算结果得到个位上的数字即可．【详解】解：（1），故答案为；（2），故答案为；（3），故答案为：；（4）根据前3个等式可得，故答案为：；（5）观察以上各式，可以得到：，故答案为：；（6），∵，，，，，…，又，∴的个位上的数字与的个位上数字相同，∴的个位上的数字为，【点睛】本题考查平方差公式、多项式乘以多项式、数字类规律探究，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．【考点五 整体代换应用】例题：（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，参考上述过程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)①5；②1(2)1【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式的形式，掌握整体思想是解题关键．（1）①根据即可求解；②根据即可求解；（2）根据求出即可求解．【详解】（1）解：①∵，∴，即，∵，∴故答案为：5②（2）解：∵，，∴∵【变式训练】1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法：【方法运用】请你参照上面两种解法，解答以下问题：(1)已知，，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)3(2)12【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．（1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值；（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值．【详解】（1），，化简，得：，将代入得，解得：．（2），，化简，得，即，则2．（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）阅读下列材料并解答下面的问题：利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如：或，从而使某些问题得到解决．例：已知，求的值．解：．通过对例题的理解解决下列问题：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)若n满足，求式子的值．【答案】(1)10(2)34(3)0【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．【详解】（1）解：∵，∴原式；（2）解：把两边平方得：，则；（3）解：∵，∴则【点睛】此题考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期末）【发现问题】小亮同学把图①长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分为四个小长方形，然后拼成了如图②所示的正方形．小亮进一步发现图②里面的小正方形的面积可以用两种方法去求，请写出小亮的两种方法所得的结果（结果用含m，n的代数式表示）方法一： ；方法二： ；【提出问题】、之间有怎样的数量关系？【分析问题】（完成下列填空）分析一：因为上述两种方法都是求同一个正方形的面积，所以这两个面积的结果一定相等．分析二：因为是两个数m与n和的完全平方，所①，因为是两个数m与n差的完全平方，所以②，由得 ；类似的，由可得 ．【解决问题】（1）若，则 ；（直接写出结果）（2）已知，求与的值．【答案】发现问题：，；提出问题：；分析问题：； ；解决问题：（1）；（2）4，【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式，解决问题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值．发现问题：观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；提出问题：利用“发现问题”中的结论进行计算可得；分析问题：利用前面的结论计算可得；解决问题：根据前面的结论代入计算即可．【详解】发现问题：方法一：图2中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，故答案为： ；方法二：图2中的阴影部分的正方形的边长等于，故阴影部分面积为；故答案为：    （方法一和方法二可以调换）提出问题：；故答案为：；分析问题：得．   可得． 故答案为：，；解决问题：（1）由可得，，，，则，故答案为：；（2）解：把，两个等式左右两边相减得∶；∵变形得把代入中，得∴故答案为：4，17．方法一方法二，，，，．，，，，．