初中数学北师大版（2024）七年级下册7 整式的除法课堂检测

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1．复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规律；
2．复习单项式乘以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规律；
3．能运用单项式除以单项式、多项式除以单项式进行计算并解决问题．
知识点01 单项式除以单项式
单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑.
知识点02 多项式除以单项式
多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.
即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m
多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号.
多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号.
题型01 单项式除以单项式
【例题】（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；
（2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；
（3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据单项式除以单项式的法则进行计算即可；
（2）根据单项式除以单项式的法则进行计算即可；
（3）根据单项式除以单项式的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
【点睛】本题考查的是单项式除以单项式，熟记单项式除以单项式的法则是解本题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)（结果用科学记数法表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用单项式除以单项式得运算法则计算；
（2）利用单项式除以单项式得运算法则计算；
（3）利用单项式除以单项式得运算法则，积的乘方运算法则计算；
（4）利用单项式除以单项式得运算法则计算．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
题型02 多项式除以单项式
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解．
（2）先根据单项式乘以多项式计算括号内的，然后合并同类项，最后根据多项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1). (2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式法则计算即可；
（2）先计算乘方，再根据多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
【点睛】本题考查多项式除以单项式．掌握多项式除以单项式法则是解题关键．
2．（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解；
（2）结果多项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】（1）；
（2）
．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
题型03 含整式除法的整式四则混合运算
【例题】（2023上·河南信阳·八年级统考阶段练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的四则混合运算，掌握整式四则混合运算的法则是解答本题的关键．
（1）先运用积的乘方法则计算，再利用单项式与多项式相乘的运算法则计算即可；
（2）按先乘除后加减的顺序，先计算单项式与多项式的乘积和多项式除以单项式，得到，再合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算；
（1）根据平方差公式与完全平方公式进行计算，即可求解．
（2）先根据单项式乘以多项式，再根据多项式除以单项式计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（2023上·黑龙江大庆·七年级统考期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算：
（1）多项式除以单项式，拆括号，逐个计算即可；
（2）根据平方差公式特点进行合并即可；
（3）单项式乘除单项式，拆括号逐项计算；
（4）多项式除以单项式，拆括号，逐个计算即可；
熟练掌握公式及法则是做题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型04 整式的混合运算之化简求值
【例题】（2023下·山东济南·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式计算，然后根据多项式除以单项式进行化简，最后代值求解即可．
【详解】解：原式
时，原式．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式，多项式除以单项式，代数式求值．解题的关键在于正确的运算．
【变式训练】
1．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；0
【分析】先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：
当，时，
原式．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的应用，多项式除以单项式，化简求值，熟记运算法则是解本题的关键．
2．（2023下·甘肃酒泉·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
(3)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）根据积的乘方，单项式成单项式，单项式乘以多项式运算法则，进行计算即可；
（2）根据多项式除以单项式运算法则，进行计算即可；
（3）线根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
把，代入得：
原式．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
题型05 含整式除法的新定义型问题
【例题】（2023下·福建三明·七年级统考期中）若定义表示xyz，表示，则运算 的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据定义的公式列式计算即可．
【详解】解：由题意得：
故选：A．
【点睛】此题考查了单项式除以单项式，正确理解定义的计算公式及单项式除以单项式的计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）定义新运算符号⊕：，求 ．
【答案】
【分析】根据新运算得出原式，再根据整式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的除法和有理数的混合运算，能正确根据整式的除法法则进行计算是解此题的关键．
2．（2022上·内蒙古通辽·八年级统考期末）在有理数的原有运算法则中，我们定义新运算“”如下：＝，根据这个新规定可知＝ ．
【答案】
【分析】根据题意直接由定义运算的顺序转化为整式的混合运算，进一步计算得出答案即可．
【详解】解：2x@（-3x）
=2x（-3x）÷（-3x）2
=-6x2÷9x2
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的整式的混合运算，理解规定的运算方法，把问题转化进行解决问题．
题型06 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式
【例题】（2023上·山西晋城·八年级统考期中）阅读与思考
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式．
项目实施：
【答案】（1）；（2）B；（3）；
【分析】本题主要考查了多项式的除法运算，
（1）根据题意，把按的指数从大到小排列即可；
（2）理解“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”，是类比的数学思想，选择答案即可；
（3）根据“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”，用竖式计算，得出答案即可；
理解题意“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”是解题的关键．
【详解】（1）把按的指数从大到小排列：，
故答案为：；
（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是类比，
故选：B；
（3）根据题目方法用竖式计算：
∴的商式是，余式是，
故答案为：；．
【变式训练】
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图：
+
，
．
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如：余式为，能被整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式除以多项式，所得的商式为______ ；
(2)已知能被整除，则 ______ ；
(3)如图，有张卡片，张卡片，张卡片，能否将这片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)能，另一边长为
【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；
（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；
（3）根据题意，得到张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案．
【详解】（1）解：列竖式如下：
多项式除以多项式，所得的商式为，
故答案为：；
（2）列竖式如下：
能被整除，
，
解得：，
故答案为：；
（3）解：能，理由如下：
根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是，
张卡片，张卡片，张卡片的总面积为，
列竖式如下：

余式为，
能被整除，商式为，
可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为．
【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式．
一、单选题
1．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查了单项式除以单项式的法则，被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，据此即可作答．
【详解】解：
故选：A
2．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据单项式除以单项式，同底数幂的乘法，多项式除以单项式，积的乘方，分别计算即可．
【详解】解：A、，故选项不正确；
B、，故选项不正确；
C、，故选项正确；
D、，故选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查单项式除以单项式，同底数幂的乘法，多项式除以单项式，积的乘方，正确计算是解题的关键．
3．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用单项式的除法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查单项式除单项式，掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（2023上·河南鹤壁·八年级校联考期中）一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题租用考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式只需要计算出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵一个长方形的面积是，宽是，
∴这个长方形的长是，
故选D．
5．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：A．
二、填空题
6．（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再把它们的商相加即可．
【详解】
．
故答案为：．
7．（2023上·四川宜宾·八年级校联考期中）若能被整除，则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意得出设，从而得到，即可．
【详解】解：能被整除，
设，
则，
，，
，，
故答案为：2．
8．（2023上·全国·八年级课堂例题）小明与小亮在做游戏时，两人各报一个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整式作为被除式，要求商必须为．若小明报的整式是，则小亮应报的整式是 ．
【答案】
【分析】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式除法运算法则求解即可．
【详解】解：根据题意，小亮报的整式为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．
9．（2023下·江西吉安·七年级校考阶段练习）已知，则的值是 ．
【答案】6
【分析】先利用整式的混合运算法则进行化简，再利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
10．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是 ．（最简结果）
【答案】
【分析】先平方，再减，所得到的差除以即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了程序流程图与整式的混合运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
三、解答题
11．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用多项式除以单项式及积的乘方运算法则计算后，再合并；
（2）利用多项式除以单项式运算法则就算后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
12．（2023上·河南周口·八年级校联考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，原式利用完全平方公式及平方差公式，以及多项式乘除单项式法则计算化简，再代入即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
13．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，单项式除以单项式的计算法则去括号， 然后合并同类项，再推出，即可利用整体代入法求出答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式
14．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）化简求值：当，求值时，小明说“条件是多余的”．小刚说：“不给条件b，就求不出结果，所以不是多余的”．谁说的对?说明为什么?
【答案】小明说得对，理由见解析
【分析】本题主要考查了代数式的化简与求值、整式的混合运算等知识点，灵活运用整式的混合运算法则代数式是解题的关键．
先对代数式进行化简，即将字母和指数均相同的同类项进行合并，从而得到化简后的代数式；将代数式化简后，原式中若还不包含b的式子，则小明说的对，反之则小刚说的对即可完成解答．
【详解】解：小明说得对，理由如下：
∵
．
∴原式化简结果不含b，计算结果与b无关，
∴小明的说法正确．
15．（2023下·山东枣庄·七年级统考阶段练习）先化简，再求值：
(1)，其中
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式去掉中括号内的小括号，再合并同类项，然后计算多项式除以单项式，最后代值计算即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去掉中括号内的小括号，再合并同类项，然后计算多项式除以单项式，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：原式
，
当，时，
原式
；
（2）解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算和化简求值，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）阅读与思考
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式．
项目实施：
【答案】（1）；（2）B；（3）商式是，余式是；
【分析】本题考查多项式、单项式的次数及多项式的除法：
（1）根据单项式的次数按照从大到小排列即可得到答案；
（2）根据（1）中的图形归纳即可得到答案；
（3）利用（1）的规律计算即可得到答案；
【详解】解：（1）由题意可得，
，
∴按x的指数从大到小排列是：，
故答案为：；
（2）由题意可得，
“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，运用了类比的思想，
故选B；
（3）由题意可得，
∴的商式是，余式是；
任务一 搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为或余式的次数低于除式的次数．
（1）请把按的指数从大到小排列： ．
任务二 竖式计算：
例如：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．

（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．方程
任务三 学以致用
（3）的商式是 ，余式是 ．
任务一 搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
（1）请把按x的指数从大到小排列： ．
任务二 竖式计算：
如下边竖式中，除以，商为，余数为，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为．
（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．方程
任务三 学以致用
（3）请计算的商式与余式