新高考数学考前考点冲刺精练卷52《圆锥曲线中定点与定值问题》（2份，原卷版+教师版）

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(1)求椭圆方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝eq \f(1,2)上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N.
【答案解析】 (1)解：椭圆过点(eq \r(3)，eq \f(1,2))，即eq \f(3,a2)＋eq \f(1,4b2)＝1，又2c＝2eq \r(3)，得a2＝b2＋3，
所以a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)证明 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2﹣4＝0，Δ＝16(4k2﹣m2＋1)＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝﹣eq \f(8km,1＋4k2)，设AB的中点M为(x0，y0)，
得x0＝﹣eq \f(4km,1＋4k2)＝eq \f(1,2)，即1＋4k2＝﹣8km，所以y0＝kx0＋m＝eq \f(1,2)k﹣eq \f(1＋4k2,8k)＝﹣eq \f(1,8k).
所以AB的中垂线方程为y＋eq \f(1,8k)＝﹣eq \f(1,k)(x﹣eq \f(1,2))，即y＝﹣eq \f(1,k)(x﹣eq \f(3,8))，
故AB的中垂线恒过点N(eq \f(3,8)，0).
已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
【答案解析】 (1)解：将P点坐标代入抛物线方程y2＝2px，得4＝2p，即p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明 设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
Δ＞0⇒16m2＋16t＞0⇒m2＋t＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝﹣4t，kPA＝eq \f(y1－2,x1－1)＝eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)＝eq \f(4,y1＋2)，同理kPB＝eq \f(4,y2＋2)，
由题意知eq \f(4,y1＋2)＋eq \f(4,y2＋2)＝2，即4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，
解得y1y2＝4，故﹣4t＝4，即t＝﹣1，
故直线AB：x＝my﹣1恒过定点(﹣1，0)．
已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，其短轴长为2eq \r(3)，离心率为e1，双曲线C2：eq \f(x2,p)﹣eq \f(y2,q)＝1(p＞0，q＞0)的渐近线为y＝±eq \r(3)x，离心率为e2，且e1·e2＝1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的右焦点为F，动直线l(l不垂直于坐标轴)交椭圆C1于M，N不同的两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝﹣k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【答案解析】解：(1)由题意知，椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
其短轴长为2eq \r(3)，可得b＝eq \r(3)，椭圆的离心率为e1，
双曲线C2：eq \f(x2,p)﹣eq \f(y2,q)＝1(p＞0，q＞0)的渐近线为y＝±eq \r(3)x，即eq \r(\f(q,p))＝eq \r(3)，即eq \f(q,p)＝3，
所以离心率为e2＝eq \r(\f(p＋q,p))＝eq \r(1＋\f(q,p))＝2，且e1·e2＝1.
所以e1＝eq \f(1,2)＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\f(3,a2))，解得a＝2，
所以椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)假设该直线过定点(t，0)，设直线l的方程为y＝k(x﹣t)(k≠0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－t，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y，整理得(3＋4k2)x2﹣8k2tx＋4k2t2﹣12＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(8k2t,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2t2－12,3＋4k2)，Δ＞0⇒48(k2t2﹣3﹣4k2)