数学八年级上册15.2 线段的垂直平分线优质课件ppt

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线段的垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线.
∴ MN是AB的垂直平分线
∵ MN⊥AB，AO=BO
∵ MN是AB的垂直平分线
∴ MN⊥AB，AO=BO
使线段AA'的两个端点互相重合，
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
就是线段AA'的垂直平分线.
画垂线的方法
用刻度尺量出线段的中点，
作出线段的垂直平分线 .
大于 AB为半径
用尺规作图法，作出线段AB的垂直平分线
1、分别以点A，B为圆心，
2、过E，F 两点作直线。
则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线.
2、过E，F 两点作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
设所作直线EF交于AB于点O，你能给出证明吗？
为什么这样作出的直线EF，
就是线段AB的垂直平分线呢？
知识拓展：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
点P是直线MN上的任意一点，
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，
由此你能得到什么规律？
到线段两端的距离相等.
已知：如图，直线 MN 经过线段 AB 的中点 O，且 MN⊥AB， P 是 MN 上任意一点 . 求证：PA =PB．
∵ MN⊥AB
在 △AOP和△BOP 中，
∴ △AOP ≌ △BOP
(全等三角形的对应边相等)
∵ 点 O 是线段 AB 的中点
∴ ∠AOP= ∠BOP=90º
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
点在线段的垂直平分线上.
这个点到线段两端点的距离相等.
∵ 点 P 在线段AB的垂直平分线上
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.)
用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
提醒：见垂直平分线，得线段相等
1、如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA=5，则线段 PB 的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2、如图，在 △ABC 中，AC＝5 cm，AB 的垂直平分线 DE 交 AB，AC 于点 E，D. (1) 若 BC＝4cm，求△BCD的周长.
∵ DE是AB的垂直平分线
∴ △BCD 的周长=
又∵ AC=5cm，BC=4cm
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
2、如图，在 △ABC 中，AC＝5 cm，AB 的垂直平分线 DE 交 AB，AC 于点 E，D. (2) 若 △BCD 的周长为 8cm，求 BC 的长；
∵ DE 是 AB 的垂直平分线
∵ △BCD的周长为 8cm
∴ BD +DC+BC
＝AC+BC=8(cm)
3、如图，在 △ABC 中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段 AC 的垂直平分线 MN 与 AB 交于点 D，与 AC 交于点 E，求 ∠BCD 的度数.
∵ ∠B＝90°，∠A＝40°
∴ ∠ACB＝180°-∠A-∠B=50°
又∵ MN 是线段 AC 的垂直平分线
∴ ∠DCE=∠A=40°
它是真命题吗？你能证明吗？
到线段两端距离相等的点
在线段的垂直平分线上.
已知：如图，PA=PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴ ∠ACP=∠BCP=90°
在 Rt△ACP 和 Rt△BCP 中
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上
过 P 点作 PC⊥AB，垂足为 C
(全等三角形对应边相等)
∴ PC 是线段AB的垂直平分线
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
点在线段两个端点的距离相等.
这个点在线段的垂直平分线上.
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)
例 如图，已知 △ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上.
(到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
连接 PA，PB，PC.
∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上
∴ PA=PB，PA=PC
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
三角形三边的垂直平分线
这点到三角形三个顶点的距离相等.
三角形三边的垂直平分线的性质：
1、在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA=PB=PC，则点P是△ABC ( ) A .三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点
2、如图，AB =AC，MB =MC．直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？
∵ AB =AC，MB =MC
∴ 点 A、M 在BC 的垂直平分线上
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
判断线段垂直平分线的两种方法：
——用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.
3、如图，下列说法正确的是（　　）A．若AC=BC，则 CD 是线段的垂直平分线B．若 AD=DB，则 AC=BCC．若 CD⊥AB，则 AC=BCD．若 CD 是线段 AB 的垂直平分线，则 AC=BC
点P在线段AB的垂直平分线上
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
1、如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB 于 E . 求证：直线 AD 是 CE 的垂直平分线．
∴ ∠EAD＝∠CAD
∵ ∠ACB＝90°，DE⊥AB
∴ ∠AED＝∠ACB＝90°
在 △AED 和 △FCE 中
∴ △ADE≌△ADC
∴ 点A、D都在CE的垂直平分线上
∴ 直线AD是CE的垂直平分线
2、如图，已知 AB＝AD，BC＝DC，E 是 AC 上一点， 求证：(1) BE＝DE；(2) ∠ABE＝∠ADE.
∴ 点A，C都在线段BD的垂直平分线上
∴ AC是线段BD的垂直平分线
又∵ 点E在线段BD的垂直平分线AC上
在△ABE和△ADE中
∴ △ABE≌△ADE
∴ ∠ABE＝∠ADE
3、已知：如图，AB=CD，线段 AC 的垂直平分线与线段 BD的垂直平分线相交于点 E. 求证：∠ABE=∠CDE．
交直线 于点C，
4、公路 同侧的A，B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A，B两村距离相等.请你确定停靠站C的位置.
解：作AB的垂直平分线，
则点C就是停靠站的位置.
分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，
5、如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
则点M就是所要确定的购物中心的位置.
6、已知：点 A，B 在直线 l 的异侧，试在直线 l 上确定 一点 P，使 PA+PB 最短.
7、已知：点 A，B 在直线 l 的同侧，试在直线 l 上确定 一点 P，使 PA+PB 最短.
则点 P即为所求
(1) 作出点 A 关于直线 l 的对称点A′.
(2) 连接 A′B.
线段A′B与直线 l 交于点P，
8、古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
9、如图，在平面直角坐标系中，点 A(0,2)，B(4,1)，P 是 x 轴上任意一点，当 PA+PB 取得最小值时，点 P 的坐标为 .
10、如图，(1) 在网格中画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1；(2) 写出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A2B2C2 的各顶点坐标；(3) 在 y 轴上确定一点 P，使 △PAB 周长最短．只需作图，保留 作图痕迹．
11、如图，已知点 A 是锐角 ∠MON 内的一点，试分别在 OM、ON 上确定点 B、点 C，使 △ABC 的周长最小．写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点.(要求画出草图，保留作图痕迹)
解：① 分别作点 A 关于 OM，ON 的对称点 A′，A″； ② 连接A′，A″，分别交 OM，ON 于点 B、点 C，则点 B、 点 C 即为所求．
解决此类问题的方法是分别作出这个点关于两条射线的对称点，然后连接所得的两个对称点，所得线段与两条射线的交点即为所求点.
轴对称解决最短距离的方法：
12、如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC，E 为 CD的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证： (1) FC＝AD； (2) AB＝BC＋AD.
∴ ∠ADC＝∠ECF
∴ △ADE ≌ △FCE
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
12、如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证： (1) FC＝AD； (2) AB＝BC＋AD.
∴ BE是线段AF的垂直平分线
又∵ BF＝BC＋CF
13、如图所示，在 △ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交BC 于 D，E，垂足分别是 M，N．(1) 若 △ADE 的周长为 6，求 BC 的长；(2)若 ∠BAC=100°，求 ∠DAE 的度数．