四川省泸州市江阳西路学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省泸州市江阳西路学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）方程x2＝﹣x的解是（ ）
A．x＝1B．x＝0
C．x1＝﹣1或x2＝0D．x1＝1或x2＝0
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
4．（3分）把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣2B．y＝3（x+2）2+3
C．y＝3（x﹣3）2﹣2D．y＝3（x﹣3）2+2
5．（3分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入300万元，预计2022年投入500万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．300（1+x）2＝500
B．300x2＝500
C．300（1+x%）2＝500
D．300（1+x）+300（1+x）2＝500
6．（3分）关于二次函数y＝﹣4（x+1）2+3的说法正确的有（ ）
①顶点的坐标为（1，3）；
②对称轴为直线x＝﹣1；
③x＜﹣1时，y随x的增大而增大；
④函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）．
A．1个B．2C．3D．4个
7．（3分）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
8．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．10或8C．9D．8
11．（3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为“海伦一秦九韶公式”．当p＝5，c＝4，且三角形面积的最大值时，则此时边长a的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC；则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA•OB＝﹣．其中正确的结论（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
14．（3分）若抛物线y＝x2﹣3x﹣3m与x轴交于不同的两个点，则m的取值范围是 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程（a+4）x2+x+a2﹣16＝0的一个根为0，则a的值为 ．
16．（3分）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为2，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则n的值为 ．
三、（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣1＝4（x+1）．
18．（6分）当x为何值时，代数式x2﹣2x﹣3与x+7的值相等．
19．（6分）如图方格纸中每个小方格都是正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1．并写出A1的坐标．
（2）将原来的△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A2B2C2，试在图上画出△A2B2C2的图形．
四、（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．（7分）用一段长为30m的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18米
（1）若围成的面积为72米2，求矩形的长与宽；
（2）菜园的面积能否为120米2，为什么？
21．（7分）已知：二次函数的图象如图所示，它与交x轴点A、B两点，与y轴的交点坐标为C（0，﹣3），它的顶点D为（1，﹣4）．
（1）求此二次函数的图象与x轴的交点A、B的坐标；
（2）求四边形ACDB的面积．
五、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．（8分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．
23．（8分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的高档水果，据市场分析，若按每千克50元销售，每日能售出50kg，销售单价每涨1元，每日销售量就减少1kg，针对这种高档水果，请解答以下问题：
（1）销售单价为每千克x元，每日销售利润为y元，写出y与x的关系式，并求出当销售单价为多少时，每日销售利润最大是多少？
（2）商店想在销售成本不超过1000元的情况下，使得每日销售利润达到800元，销售单价应为多少？
六、（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）阅读材料：
【材料1】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
【材料2】已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
根据材料1得：m+n＝1，mn＝﹣1，
∴＝﹣3．
根据上述材料解决下面问题：
（1）关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为 ．
（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0、2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）若关于x的方程x2﹣（k﹣1）x+k+1＝0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b＝ ，c＝ ，点B的坐标为 ；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若动点P在直线AC下方的抛物线上运动，求△ACP的边AC上的高h的最大值．
参考知识：①设A（x1，y1）、B（x2，y2），则AB2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2；
②若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2垂直，则k1•k2＝﹣1．
2022-2023学年四川省泸州市江阳西路学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．【解答】解：方程移项得：x2+x＝0，
分解因式得：x（x+1）＝0，
可得x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故选：C．
2．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，
配方得（x﹣2）2＝2．
故选：A．
4．【解答】解：y＝3x2先向上平移2个单位，得到y＝3x2+2，再向右平移3个单位y＝3（x﹣3）2+2．
故得到抛物线的解析式为y＝3（x﹣3）2+2．
故选：D．
5．【解答】解：根据题意得：300（1+x）2＝500．
故选：A．
6．【解答】解：二次函数y＝﹣4（x+1）2+3的顶点的坐标为（﹣1，3），①错误；
对称轴为直线x＝﹣1，②正确；
开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，③正确；
函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），④错误，
故选：B．
7．【解答】解：如图，点A′的坐标为（1，3）．
故选D．
8．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，
∴OA＝OA′．
∴△OAA′是等边三角形．
∴∠AOA′＝60°，即旋转角α的大小可以是60°．
故选：C．
9．【解答】解：A．一次函数y＝ax+c中a＞0，c＞0，二次函数y＝ax2+c中a＜0，c＞0，故选项A不符合题意；
B．一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，二次函数y＝ax2+c中a＜0，c＞0，故选项B符合题意；
C．一次函数y＝ax+c中a＜0，c＜0，二次函数y＝ax2+c中a＞0，c＜0，故选项C不符合题意；
D．一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，二次函数y＝ax2+c中a＞0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
10．【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝2，
因为2+2＝4，
所以这个等腰三角形的腰为4，底边为2，
所以这个三角形的周长为4+4+2＝10．
故选：A．
11．【解答】解：∵p＝＝5，c＝4，
∴b＝6﹣a，
∴S＝＝，
∴当a＝3时，S取得最大值，
故选：D．
12．【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴＜0，所以②错误；
∵OA＝OC，C（0，c），
∴A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③正确；
设A、B两点的横坐标为x1、x2，则OA＝﹣x1，OB＝x2，
∵x1•x2＝，
∴OA•OB＝﹣，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
13．【解答】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴a+（﹣4）＝0，3+b＝0，
即：a＝4且b＝﹣3，
∴a+b＝1．
14．【解答】解：令x2﹣3x﹣3m＝0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣3m）＝9+12m＞0，
∴m＞﹣．
故答案为：m＞﹣．
15．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+4）x2+x+a2﹣16＝0的一个根为0，
∴a2﹣16＝0且a+4≠0，
∴a＝4，
故答案为：4．
16．【解答】解：设图2阴影直角三角形中与小正方形不重合的直角边为x，根据题意可得：
∴2x2＝×22，
∴x1＝1，x2＝（舍去），
∴（）2+（n+）2＝22，
解得n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去）．
故答案为：﹣1．
三、（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．【解答】解：x2﹣1＝4（x+1），
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，
（x+1）（x﹣5）＝0，
x+1＝0，x﹣5＝0，
x1＝﹣1，x2＝5．
18．【解答】解：由题意x2﹣2x﹣3＝x+7，
∴x2﹣3x﹣10＝0，
∴（x﹣5）（x+2）＝0，
∴x﹣5＝0或x+2＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣2，
∴当x为5或﹣2时，代数式x2﹣2x﹣3与x+7的值相等．
19．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求三角形，
点A1的坐标是A1（6，﹣1）；
（2）△A2B2C2即为所求作的三角形．
四、（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，
则x（30﹣2x）＝72，
解方程得：x1＝3，x2＝12．
当x＝3时，长＝30﹣2×3＝24＞18，故舍去，
所以x＝12．
答：矩形的长为12米，宽为6米；
（2）假设面积可以为120平方米，
则x（30﹣2x）＝120，
整理得即x2﹣15x+60＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝152﹣4×60＝﹣15＜0，
方程无实数解，
故面积不能为120平方米．
21．【解答】解：（1）由题意设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵与y轴的交点坐标为C（0，﹣3），
∴﹣3＝a﹣4，
解得：a＝1．
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，
令y＝0，则（x﹣1）2﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴这个函数的图象与x轴的交点为A（﹣1，0）、B（3，0）．
（2）∵A（﹣1，0）、B（2，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），
∴S＝×1×3+（3+4）×1+（3﹣1）×4＝9．
故四边形ABCD的面积为9．
五、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°＝∠AED，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥BC；
（2）∵AE＝AC＝3，∠EAC＝90°，
∴EC＝6，
∴BE＝BC﹣EC＝1，
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴DE＝BC＝7，
∴DB＝＝＝5．
23．【解答】解：（1）由题意得：y＝（x﹣40）[50﹣（x﹣50）]＝﹣x2+140x﹣4000＝﹣（x﹣70）2+900，
∵﹣1＜0，
∴当x＝70时，y有最大值，为900元，
∴y与x的关系式为y＝﹣x2+140x﹣4000，当销售单价为70元时，日销售利润最大，最大值为900元；
（2）由题意得：800＝﹣x2+140x﹣4000，且40×（100﹣x）≤1000，
解得：x＝80，
答：销售单价应为80元．
六、（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．【解答】解：（1）根据根与系数的关系得﹣2+1＝﹣，﹣2×1＝，
解得m＝2，n＝﹣4，
∴nm＝（﹣4）2＝16；
故答案为：16；
（2）∵2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1＝0的两实数解，
∴m+n＝1，mn＝﹣，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；
（3）设关于x的方程x2﹣（k﹣1）x+k+1＝0的两个实数根分别为α、β，
根据根与系数的关系得α+β＝k﹣1，αβ＝k+1，
∵α2+β2＝4，
∴（α+β）2﹣2αβ＝4，
∴（k﹣1）2﹣2（k+1）＝4，
整理得k2﹣4k﹣5＝0，
解得k1＝5，k2＝﹣1，
当k＝5时，原方程化为x2﹣4x+6＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×6＝﹣8＜0，此方程没有实数解；
当k＝﹣1时，原方程化为x2+2x＝0，则Δ＝22﹣4×0＝4＞0，此方程有两个不相等的实数解；
综上所述，k的值为﹣1．
25．【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x＝3或﹣1，故点B（﹣1，0）；
故答案为：﹣2，﹣3，（﹣1，0）；
（2）存在，
理由：①当∠ACP是直角时，过点P作PD∥x轴交y轴于D，
∴PD⊥y轴，
由点A、C的坐标知，OC＝OA，即∠BAC＝∠ACO＝45°，
∵△ACP为直角三角形，
∴∠PCD+∠ACO＝90°，
∴∠PCD＝45°，
∴PD＝CD，
设P（p，p2﹣2p﹣3），
∴3+p＝﹣（p2﹣2p﹣3），
∴p＝1或0（舍去），
∴点P（1，﹣4）；
②当∠PAC为直角时，过点P作PD∥x轴交y轴于D，
同理可得：点P的坐标为：（﹣2，5）；
综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b得，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝kx+b为y＝x﹣3；
∵动点P在直线AC下方的抛物线上运动，
∴设P（m，m2﹣2m﹣3），
过P作PH⊥x轴于H，交AC于M，
∴M（m，m﹣3），
∴S△APC＝S△APM+S△CPM＝（m﹣3﹣m2+2m+3）×3＝﹣m2+m，
∵A（3，0），C（0，﹣3），
∴AC＝＝3，
∵h⊥AC，
∴h＝＝＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝，△ACP的边AC上的高h的最大值为．