专题突破练习卷11 平面向量中等和线的应用-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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题型一：平面向量共线定理解决平行问题
1．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线B．、、三点共线
C．、、三点共线D．、、三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线则判断即可.
【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；
对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；
对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；
对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.
故选：C
2．已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】A
【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.
【详解】因为，所以三点共线，
故选：A．
3．已知平面上点，，满足，且，点满足，动点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．1或
【答案】A
【分析】由题设三个条件依次得到，推得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，再得点，，三点共线，通过建系将问题转化成由点向圆做切线，求原点到该切线的最短距离问题.
【详解】由题意，得
，所以．
因为，所以．
又，即，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
如图，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系．
易知，，则点的轨迹方程为．
由，得点，，三点共线．
过点作圆的切线，设其方程为，即．
由点到该切线的距离为，可得，解得或．
由图知，当时，最小，切线的方程为，
此时的最小值即为点到切线的距离，即．
故选：A．
4．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知三点共线，且，再由三角形面积公式即可求解.
【详解】由可得，
又因为分别是边的中点，
所以，，
所以，即，
所以三点共线，且，
所以到的距离与到的距离之比也为，
又的面积与的面积都以为底，
所以的面积与的面积的比为．
故选：A
5．在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量共线定理知，点在线段上，设，则，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为（），
所以，又，
所以点在线段上，所以.
设（），所以
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：B.
6．已知平面向量a，b不共线，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
【答案】D
【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.
【详解】对A，与不共线，A错误；
对B，则与不共线，B错误；
对于C，则与不共线，C错误；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.
故选：D.
7．已知是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线可知两点关于原点对称，分别设出三点的坐标，利用点差法点差法表示出和，根据基本不等式求得取最小值时满足，计算即可求得离心率.
【详解】根据题意，由可得原点是的中点，所以两点关于原点对称；
不妨设，因为，所以，
易知，又因为A、B，C都在双曲线上，
所以，两式相减可得，即，
所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立；
所以，即，可得，即离心率.
故选：A.
8．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A．AC边所在的直线上B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上D．△ABC的内部
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.
【详解】∵，
∴，则，则
∴
∴P点在AC边所在直线上．
故选：A．
9．已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意，判断得点在线段外，从而得是直角三角形，进而表示出，可得，由，可得的取值范围.
【详解】因为，所以，，三点共线，
且点在线段外，因为点为线段的中点，
所以，即是直角三角形，
所以，由数量积的定义可得：
，
因为，所以，即，
故选:C.
10．已知点O，A，B是同一平面内不同的三个点，且，若，的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，进而，设，点关于对称的点为，与交于点，与交于点，故当点位于位置时，取得最小值，再结合余弦定理求解即可.
【详解】解：设
所以，
设，点关于对称的点为，与交于点，与交于点，
则当点位于位置时，取得最小值，
在中，，
所以由余弦定理得：，解得：，
所以，
所以
故选：D
题型二：平面向量共线定理的推论
11．已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】在向量非零向量的情况下，
若，即，
即有，即．
又，故，
又，所以，即方向相反，故，
即“”是“”的必要条件；
若，则共线，但与的方向可能相同也可能相反，
所以由推不出，故充分性不成立；
综上所述，“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B．
12．已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】化简得，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可.
【详解】，即，
因为点是直线上相异的三点，则点三点共线，
则，解得.
故选：A.
13．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
【详解】设，（且），
则（且），
则在线段上，如图所示，

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；
当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为；
则在上的投影向量的长度的取值范围是．
故选：B.
14．在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为.
【详解】如下图所示：
因为，易知，
又，所以，
易知三点共线，利用共线定理可得，
又，，
所以；
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
15．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当圆与的切点在延长线上时，求出临界点时，从而得到的取值范围，即可得解.
【详解】由，当在直线上时，，
当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时，
当恰好切于点时，则，又，，
所以，则，
所以，则，故.
故选：B
16．在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量运算法则，利用表示，结合向量三点共线的定理列式运算求解.
【详解】由，得.
因为共线，所以，解得.
故选：B.
17．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】过点作，设，，得到，再由，求得，结合圆的性质，当与半圆相切时，最大，分别求得的长，即可求解.
【详解】如图所示，过点作，交直线于点，
设，可得.
设，，则，
因为，所以，
由图可知，当与半圆相切时，最大，
又由，，可得，
所以，即最大为，所以的最大值为.
故选：B.
18．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．8D．9
【答案】D
【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以设，故，
即，
又，
故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
故选：D
19．已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙: 则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用向量共线定理即可判断.
【详解】对于命题甲，可设，即，
则，所以；
对于命题乙，时，，则有向量与共线.
故甲是乙的充要条件.
故选：C.
20．设，若向量，，满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合向量的基本概念，向量的共线定理，以及向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由向量，满足，，且，，
对于A中，若，则，又，
若均为非零向量，则，显然与矛盾，所以A不正确；
对于B中，若，则存在实数使，可得，又，
若均为非零向量，则，显然与矛盾，所以B不正确；
对于C中，因为向量，满足，，且，
则
，所以，所以C正确；
对于D中，由，
所以不一定成立，所以D不正确.
故选：C.
题型三：平面向量利用共线定理求参
21．在中，是的中点，与相交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.
【详解】设，由是的中点，得，
由，得，
所以，且，
由与相交于点可知，点在线段上，也在线段上，
由三点共线的条件可得，解得，所以.
故选：B
22．已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
23．在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1B．的最大值为
C．的最大值为12D．的最小值为4
【答案】BD
【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断即可.
【详解】因为，所以，
又，
因为、、三点共线，所以，
又，为正实数，所以，
当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
24．已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】取和，转化为，得到三点共线，得到的最小值，即为中边上的高，在中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求解.
【详解】在中，因为，
如图所示，取的中点，可得，
再延长到点，使得，可得 ，
因为，
因为，所以三点共线，
所以的最小值，即为中边上的高，
在中，由余弦定理得 ，所以，
又由，
可得，即，解得，
所以的最小值为.
故答案为：.
25．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ．
【答案】33/133
【分析】利用基底的定义可得，再利用共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，，
因此，所以.
故答案为：
26．如图，函数的图象经过点A，B，点T在x轴上，若，则点B的纵坐标是 ．
【答案】/
【分析】设，计算出，，再设Ax0,y0，根据中点公式得到的坐标，将其代入三角函数解析式并结合二倍角的余弦公式得到，解出即可.
【详解】由题意设，则，，
设Ax0,y0，，因为，
所以为线段的中点，所以，，
又点在函数图象上，所以，
又，，
所以即，所以（负舍），
则点B的纵坐标是.
故答案为：.
27．在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 .
【答案】
【分析】由，得到，从而有，再根据三点共线，得到，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为在中，，
所以，
又因为，则，
因为三点共线，则，结合题意知，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
28．已知向量三点共线，则 .
【答案】/
【分析】由点共线可得，再利用两角和的正切公式即可求得结果.
【详解】因为三点共线，所以，
所以，
可得
故答案为：
29．已知抛物线y2=2pxp>0准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：AF=λFB，，若，则实数 .
【答案】
【分析】由题设共线，作，垂足分别为，结合抛物线定义及相似比求参数值即可.
【详解】由题设知：共线，且，如下图，

作，垂足分别为，则，
所以，又，则，
所以，即，故.
故答案为：2
30．如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ．
【答案】
【分析】改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数的方程，解之即可.
【详解】因为，即，
所以,
又
所以，解得.
故答案为：.
1．如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .

【答案】 4
【分析】设，将分别代入，利用共线定理的推论列方程组求出，然后根据求解可得；将代入，根据共线可得，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可.
【详解】设，令，
因为，所以，
所以，
又与分别共线，所以，解得.
因为，
所以，即，
解得，即.
因为，

所以，
所以，
因为共线，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4；.
2．已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 .
【答案】3
【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点共线，且，，点的轨迹是以线段为直径的圆，故即可理解为点到圆上点的距离，即得点与点重合时取得最大值.
【详解】
依题意，如图分别作，其中,,
由知，依题意知点有两个位置，即点和点，
又,，由知,
即点的轨迹是以线段为直径的圆.
故的模长当且仅当点与点重合时取得最大，最大值为.
故答案为：3.
3．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
【答案】
【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论．
【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图，
，
所以三点共线，
又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设，
由得，，公用，因此，
所以，
中，设，由正弦定理得，记为角，
所以，，，
所以
，
若不是钝角，则
，
又，所以，即，
所以，
设，则，，它是减函数，
所以时，，
若是钝角，则
，
设，则，，
令，则，
，
时，，递减，时，递增，
所以时，，，
综上，，
此时．
故答案为：3．
4．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】取的中点，由题意可得，从而推得三点共线，进而得出，即可得出答案.
【详解】取的中点，则，
又，又因为，
故三点共线，即点在中线上运动，
在正三角形中，，
又，，则，
故.
故答案为：
5．在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为 .
【答案】32/
【分析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为，所以，得.
又是的中点，，，
所以.
因为三点共线，所以，即，且，
所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故答案为：
6．如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为 ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为 .
【答案】 2
【分析】选取向量为基底，把用基底表示出来，再求出数量积即可；用表示出，再利用共线向量的推论结合基本不等式求出最小值．
【详解】在中，，，设，
则，
由三点共线，得，解得，因此，
因为，，，于是
，解得；
因为，，，则有，
而三点共线，因此，则
，当且仅当，即取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：；
7．在中，点是的中点，点在上，且，，则 .
【答案】
【分析】根据平面向量共线定理的推论求出，再根据平面向量基本定理求出、，即可得解.
【详解】依题意，又点在上，且，
所以，所以，解得，
即，
所以，
又，所以，，
所以.
故答案为：
8．已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 .
【答案】
【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共线，可得不成比例的不等式，可得答案.
【详解】，
由向量与的夹角是锐角，，解得或；
且向量与不共线，则，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
9．设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则 .
【答案】
【分析】依题意存在，使得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为向量与的方向相反，
所以存在，使得，
又，是两个不共线的非零向量，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：
10．如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则 .

【答案】
【分析】分析可知与共线，可知存在，使得，然后依据、、三点共线以及、、三点共线可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可求得的值.
【详解】记，，以、为邻边作平行四边形，
因为，则平行四边形为菱形，所以，平分，
且，
因为平分，则、共线，
则存在，使得，

因为、、三点共线，则、共线，则存在，
使得，即，可得，
因为为的中点，所以，，
因为、、三点共线，则、共线，
所以，存在，使得，即，
所以，，
因为、不共线，则，解得，
故，
又因为，所以，，故.
故答案为：.