考点巩固卷10 平面向量（六大考点）-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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考点01：共线定理
定理1：已知，若，则三点共线；反之亦然
平面向量共线定理证明
若点互不重合，是三点所在平面上的任意一点，且满足，则三点共线.
证明:(1)由三点共线.由得
.
即，共线，故三点共线.
(2)由三点共线.
由三点共线得，共线，即存在实数使得.
故.令，则有.
1．已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
2．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
3．在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1B．的最大值为
C．的最大值为12D．的最小值为4
4．下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则，且四点构成平行四边形
B．若为非零实数，且，则与共线
C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上
D．若向量，则与的方向相同或相反
5．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ．
6．如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，且，．
(1)若，求；
(2)若点G是△ABC的重心，设△ADE的周长为，△ABC的周长为．
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域．
7．设，是不共线的两个非零向量.
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)若，，，且，求实数的值.
8．如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点．
(1)求的正弦值；
(2)当点为中点时，求的余弦值．
(3)当取得最小值时，设，求的值．
9．设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)已知的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？
10．如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.
(1)当时，用，表示；
(2)求的值，并求最小值.
考点02：投影向量的求算
1、投影向量的定义
如图：如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和，
那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）；
理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的；
特殊地，如图，若两个向量共起点；
即：，过点作直线的垂线，垂足为，
则就是向量在向量上的投影向量；
2、投影向量的计算公式
以一点为起点，；
作：，把射线、的夹角称为向量、向量的夹角，记作：；
；
；
，又称向量垂直，记作；
（1） （2） （3）
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，
，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，
所以
所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
综上可知，对于任意的，都有；
3、数量投影的定义与求法
据图：如果令为向量的单位向量，那么
向量在向量方向上的向量投影为：；
其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影；
理解：（1）当时；实数（*）大于0；
（2）当时；实数（*）等于0；
（3）当时；实数（*）小于0；
特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0；
11．向量与非零向量的夹角为，则在上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．
12．若，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
13．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
14．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
15．空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
16．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则
D．若且，则
17．已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ．
18．已知，．
(1)若且，求在方向上的投影向量；
(2)若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
19．已知向量，，.
(1)若，求；
(2)若，求在上的投影向量（用坐标表示）
20．已知与的夹角为.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)求的值.
考点03：奔驰定理解决三角形面积比问题
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
21．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．2
22．设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
23．已知为所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若且，则
B．
C．与的面积之比为
D．与的面积之比为
24．的内角，，的对边分别为，，，其外接圆半径为，下列结论正确的有（ ）
A．若是的重心，则
B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
C．若，则是等腰三角形
D．若，，则的外接圆半径
25．的内角的对边分别为，其外接圆半径为，下列结论正确的有（ ）
A．若是的重心，且，则
B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
C．若，则是等腰三角形
D．若，则的外接圆半径
26．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，，，若，则为锐角三角形
B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
27．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，则为等边三角形
C．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D．若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
28．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则
B．若，则符合条件的有两个
C．若点为所在平面内的动点，且，则点的轨迹经过的垂心
D．已知是内一点，若分别表示的面积，则
29．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ．
30．已知在中，角所对的边分别为，若的面积，.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积.
考点04：平面向量之三角形四心问题
一、四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
二、三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
【方法技巧与总结】
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.
为的内心.
（2）外心：为的外心.
（3）垂心：为的垂心.
（4）重心：为的重心.
31．已知为三角形内一点，且满足和，则角为（ ）
A．B．C．D．
32．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
33．已知，向量，，满足条件，．则 是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．直角三角形
34．已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
35．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心B．点为的外心
C．D．为等边三角形
36．设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是的重心，则
B．若点O是的垂心，则
C．若，则点O是的外心
D．若O为的外心，H为的垂心，则
37．在中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．内一点满足，则是的重心
C．若，则的形状为等腰三角形
D．若，则必为的垂心
38．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．在平行四边形中，
C．在中，若，则是钝角三角形．
D．内有一点，满足，则点是三角形的重心
39．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
40．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足.射线BP与边AC交于点D.若，则面积的最小值为 .
考点05：极化恒等式解决向量数量积问题
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
41．在平行四边形ABCD中，，，，点P在CD边上，，则（ ）
A．0B．C．D．1
42．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
43．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A．B．C．D．
44．在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ）
A．B．C．D．3
45．已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 .
46．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ．
47．如图，在梯形中，.点在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围为 .
48．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为 ．

49．如图，在△ABC中，，，，则 ．
50．如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的取值范围是 .
考点06：等和线解决平面向量系数和问题
题型一：问题（系数为1）
题型二：问题（系数不为1）
题型三：问题
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
51．如图，在中，若为上一点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
52．如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．15
53．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
54．的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
55．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
56．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A．B．C．D．1
57．已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
58．如图，在三角形中，M、N分别是边、的中点，点R在直线上，且（x，），则代数式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
59．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 .
60．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ．