专题突破卷14 平面向量的最值范围问题-2024年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考地区通用）

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专题突破卷14 平面向量的最值范围问题



1.数量积最值范围问题
1．已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题.
【详解】设为中点，则，点的轨迹方程为，
，则最大值为，
由直线，，
可得且过定点过定点， 点的轨迹是以为直径端点的圆，其方程为，
，
，，
，
的最小值为.
故答案为：；.
    
2．如图，已知是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，，则的最大值是 ．
  
【答案】2
【分析】设，则，据此可得答案.
【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即与重合时取等号，故的最大值是2．
故答案为：2
3．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为 .
【答案】/-0.2
【分析】根据向量的几何意义得到的平分线与垂直，并计算出，，建立平面直角坐标系，表达出，配方求出最小值.
【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，
又，故的平分线与垂直，
由三线合一得到，取的中点，
因为，故，
  
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
4．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是 ．
  
【答案】
【分析】以为原点，建立合适的直角坐标系，设，，计算出，根据二次函数的性质则得到其范围.
【详解】以为原点，,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，其中，
则，
，
当时,有最小值3，
当或2时，有最大值为4，
的取值范围为.
故答案为：.
  
5．已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，利用平面向量的运算可得，结合菱形的几何性质可得答案.
【详解】    
取的中点，连接，则，
所以，
当且仅当时，有最小值，则有最小值，
此时菱形的面积，
最小值为，
因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，
的取值范围为，
故答案为：
6．如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为 .
  
【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可.
【详解】以O为原点建立平面直角坐标系，如图：
  
由题意三角形是边长为2的正三角形，则，
设，则，所以，
所以，
因为，所以，所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数（不等式）范围问题解决即可.
2.模长最值范围问题
7．已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积公式得到，结合，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】设的夹角为，由题意得，
因为是单位向量，故，显然，且，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
故选：C
8．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到和两点的距离之和的最小值的求解问题，由此计算得到结果.
【详解】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，
点在单位圆内，点在单位圆外，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故答案为：.
9．（多选）在直角梯形中，，，，，点P在所在的平面内，满足，若M是的中点，则的取值可能是（    ）
A．7 B．10 C．13 D．16
【答案】BC
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由，可确定点P在以D为圆心，1为半径的圆上，设，由三角恒等变换与平面向量模长坐标运算即可化简为正弦型三角函数，结合函数性质可得其取值范围，从而得答案.
【详解】以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
  
则点P在以D为圆心，1为半径的圆上，可设，
由题意知，，则，
所以，
则
，其中，
所以.
故选：BC.
10．设向量，，，满足，，与的夹角为，则的最大值等于
【答案】
【分析】作向量，，，根据已知条件可得出与的夹角为，，，，四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.
【详解】解：如下图，作向量，，，

，，
，，
与的夹角为，即.
.
又与的夹角为，即与夹角为，
，，，四点共圆.
当为直径时最大，
在中，由余弦定理得：
，
.
的外接圆的直径为.
，，，四点共圆的圆的直径为.
的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.
11．如图，、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，可知为的中点，计算得出，利用向量模的三角不等式可求得的最大值.
【详解】连接，如下图所示：
  
因为，则为圆的一条直径，故为的中点，
所以，，
所以，
，
当且仅当、、共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为.
故选：C.
12．已知平面向量，，满足，，，则的最大值为（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算，结合几何图形的几何性质，即可求解最值.
【详解】设平面向量，的夹角为，
，，
，则
由于，所以．
不妨设，．
，，
化为．故在以为圆心，以为半径的圆上运动，
如图所示，表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，
故．
故选：C．
  
3.夹角最值范围问题
13．不共线的向量，的夹角为θ，若向量与的夹角也为θ，则cosθ的最小值为 .
【答案】
【分析】可根据向量的加减法的几何意义，作出图形，可得三角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出方程，表示出cosθ，然后求其最小值.
【详解】如图，不妨令，，

则，，
∴∠A＝∠BDC＝θ，∠C是公共角，
∴△ADC∽△DBC.
则①.
在△ADC中，DC2＝AD2+AC2﹣2×AD×AC×cosθ＝x2+4﹣4xcosθ.
在△DBA中，DB2＝x2+1﹣2xcosθ，
结合①可得：，
整理得，
即，
所以或，
即，所以.
或，因为，2cosθ≤2，故舍去.
故.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查向量的夹角问题，余弦定理的应用，属于中档题.
14．如图，在中，、分别是、边上的中点，与的交点为，若，，则角的最大值为 .

【答案】
【分析】表示，进一步可得，然后计算可得关于的一元二次方程，最后利用可得结果.
【详解】根据题意可知：在中，、分别是、边上的中点
所以为的重心，
所以
又，所以
又，
所以
根据，
所以
则
所以，由，所以
则，所以
所以的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积的运算，本题难点在于的表示以及的使用和理解，属中档题.
15．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则余弦值的最小值为 ．
【答案】
【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；
空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.
【详解】
如图，由已知，
.
∴.
设，即与的夹角为，
，
若，则，
∴，
又∵，，∴由基本不等式，
∴.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：，.
【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.
16．已知是平面向量，满足，且，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，利用几何意义知B既在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.
【详解】设，，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
由，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
则B只能在阴影部分区域，要最小，则应最大，
此时.

故选：B.
【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
17．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，过作的垂线，由在上的投影向量为，求得，又由，得到，结合，即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点，
过作的垂线，垂足为，
因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量为，
又因为，所以，
因为，所以，即的取值范围为．
故选：D.
  
18．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ．
【答案】-1
【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案.
【详解】，故，
因为，所以，又，
所以，解得：，
不妨设，，夹角为，则，
两边平方得：，
即，解得：，
因为，所以，
故，夹角的余弦的最小值为-1.
故答案为：-1
4.系数最值
19．如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则，直线，圆的半径

设，由可得：
在圆内     
设，则
，其中
由可知
，且
所以.
20．在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，、．若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】设点，利用平面向量数量的坐标运算可得出，可得出的表达式，利用辅助角公式结合正弦型函数的最值可求得的最大值.
【详解】设点，由，
所以，，可得，
所以，，为锐角，且，
所以，的最大值为.
故答案为：.
21．如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（    ）
  
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由平面向量的数量积运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可．
【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为，
由，可得，，
设，，
由，可得，，，
所以，整理得：，
则，其中，
所以当时，有最大值．
故选：A．
  
22．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，
因为，
所以有，
  
，设，，
因此有
因为，
所以有，
而，
所以，
当时，有最大值，当，xy有最小值，
所以的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
23．如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．
  
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点为圆心，且与直线相切的圆方程，设，再根据，可求出点的坐标，再根据在圆内或圆上，可得关于的一个不等关系，设，进而可得出答案.
【详解】如图所示以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为，化简得，
点到的距离，
可得以点为圆心，且与直线相切的圆方程为，
设，则，，，
，
，
可得且，的坐标为，
在圆内或圆上，
，
设，得，
代入上式化简整理得，
若要上述不等式有实数解，
则，
化简得，
解得，
即，
取值范围是．
故答案为：．
  
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点的坐标用表示是解决本题的关键.
24．（多选）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（    ）
  
A． B．
C．最大值为8 D．的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.
【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；

，故B错误；
如图，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
  
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的单位圆上，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，故C错误；
因为，所以，
即，
所以，所以，
因为，所以当时，取得最大值，故D正确.
故选：AD.

1．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（    ）
    
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故选：C．
  
2．已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用可以求解的向量来表示.
【详解】记圆心为，则，
因为互为相反向量，
所以，
因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心，
所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2，
当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时.
  
所以.
故选：B
3．如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．

【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，

设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
4．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积的几何意义，结合图形关系即可求解最值.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
由数量积的几何意义可知：等于与在上的投影的乘积，
故当在上的投影最大时，数量积最大，此时点在以为圆心的圆的最上端处，此时投影为，故数量积为，
故当在上的投影最小时，数量积最小，此时点在以为圆心的圆的最下端处，此时投影为，故数量积为,
故，
故选：A
  
5．已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由正弦定理得到，利用向量数量积公式得到，由求出答案.
【详解】由正弦定理得，故，
因为，所以，
则
，
因为，所以，则，
故.

故选：C
6．已知非零不共线向量，满足；，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据模长公式可得，再由三者之间的关系，可得，由此得解．
【详解】由，，可得，
则，
又非零向量，不共线，
由三角不等式关系，
则，则，
所以．
故选：D
7．已知为单位向量，，，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得，则将放入下图所示的正方形中，由可得的终点在以为直径的圆上，则的最大值为，求解即可.
【详解】对两边同时平方可得：，
为单位向量，所以设，且，
将放入下图所示的正方形中，所以，
令，则由可得，，即，
所以，则的终点在以为直径的圆上，所以圆的圆心，，
所以的最大值为.
故选：D.

8．设正八边形的外接圆半径为，圆心是点，点在边上，则 ；若在线段上，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】分析可知为线段的中点，可化简得出，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可出关于的线性表达式，即可得出的取值范围.
【详解】由正八边形的对称性可知，为线段的中点，
则，所以，，
故；
在正八边形中，，则，
以为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
  
则、、、，
所以，，，，，
设，其中，则
，
因为，即
，
所以，，即.
故答案为：；.
9．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，分类讨论在边上运动时的取值范围，从而得解.
【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，
  
则，
当在边上运动时，记，
则，
所以，则；
当在边上运动时，记，
则，所以，则；
当在边上运动时，记，
则，
所以，则；
综上：.
故选：A.
10．已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而找到最大值.
【详解】如图所示：
  
因为单位圆O是△ABC的外接圆，，所以，
且，
，
故当共线反向时，取到最大值1，
故选：C.
11．已知等边△ABC的边长为，三个动点D、E、F分别在线段BC、AC、AB上（包含端点），动点M在△ABC的外接圆上，且满足：，，，其中，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，结合向量的数量积坐标运算和三角函数的最值求法，即可求最大值.
【详解】如图所示，以边所在直线为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为该等边△ABC的边长为，所以，，，
所以直线与直线关于轴对称，
由正弦定理，得△ABC的外接圆半径，
由，，，
可求△ABC的外接圆的方程为：，圆心坐标为，
因为，，所以，，
所以，，所以，
因为，所以，
过作交于，过作交于，
因为D、F分别在线段BC、AB上，直线与直线关于轴对称，
所以D、F关于轴对称，所以，关于原点对称，
因为，，
所以，
因为，关于原点对称，即为的中点，
所以，
所以，
设，则，，
所以，
因为，所以可设，
可得，
化简可得，
其中，
所以，
所以当时，取最大值.
故答案为：.
  
12．扇形中，，为上的一个动点，且，其中.
（1）的取值范围为 ；
（2）的取值范围为 .
【答案】
【详解】（1）解法一：（等和线）设与相交于点，，，
.
解法二：（坐标法），，
，，，，
.
解法三：设，
，即
∴.
（2）解法一：（等和线）
解法二：，其中先增后减.
13．在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】由题可知，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由数量积的定义求出，再由向量的模长公式求出，当与共线反向时，取最小值，即可得出答案.
【详解】平面内动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
因为，由勾股定理可得：，
所以，且，
所以，所以，
，
，
，
，
又向量是长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，
当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为一，
故的最小值为.
故答案为：.