专题突破练习卷06 导数中的隐零点问题-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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题型一：不含参函数的隐零点问题
1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证；
(3)若有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可.
（2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可.
（3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可.
【详解】（1）由题意得定义域为，
而，
当时，，在上单调递减，
当时，，
当时，解得：，当时，解得：，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
若证成立，只需证成立即可，
所以定义域为，，
在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上有唯一实根，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
，
，同时取对数得，
，
，，
（3）若时，由已知得最多有一个零点，
当时，由已知得当时，取得最小值，
，
当时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，
由，
故在有一个零点，
，
，，
设，，
在上单调递增，
，，
，
在上有一个零点，
在上有两个零点，
综上得到的取值范围是.
2．已知函数.
(1)试研究函数的极值点；
(2)若恰有一个零点，求证.
【答案】(1)极大值点，无极小值点；(2)证明见解析.
【分析】（1）先求函数的导函数，再利用导数与单调性的关系，得到函数的单调区间，最后得到函数的极值点；
（2）根据零点存在定理结合函数的单调性，从而确定的取值范围.
【详解】（1）由，定义域为，
则，，
所以当时，，此时函数在单调递增，
当时，，此时函数在单调递减，
故函数有唯一极大值点，无极小值点.
（2）由题意可得，，
令，解得，
因为，，
所以在上有唯一零点，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
因为有且仅有一个零点，所以且.
即，
消去并整理得：，
令，则，
因为时，在上恒成立，所以在上单调递增，
又，,所以.
又，且函数在上单调递增，
所以.
3．已知函数，．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论函数的零点个数．
【答案】(1)极大值为，无极小值(2)答案见解析
【分析】（1）原函数求导，令再分析，进而得到原函数的单调区间，进而得到极值.
（2）分情况讨论单调区间，借助极限知识，大概知晓函数图像趋势和函数值，进而得到零点个数.
【详解】（1）当时，，
∴，
易知函数的定义域为0,+∞，且函数和都在区间0,+∞上单调递减，
令，则在区间0,+∞上单调递减，且，
∴当时，f′x>0；当时，；当时，f′x0，函数单调递增，
又当时，；当时，，
∴当时，函数只有一个零点，
当时，令，易知ℎx在区间0,+∞上单调递减，
当时，；当时，，
∴存在x0∈0,+∞使得，即，
∴当时，f′x>0，函数单调递增；当时，f′x