专题突破练习卷13 等差数列中Sn的最值问题-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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题型一：二次函数法求等差数列前n项和的最值
1．已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】先判断an是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值.
【详解】由可知，数列an是等差数列，公差，
由，解得．
则
故当取得最小值时，的值是6．
故选：A．
2．已知等差数列an的前项和为，，且，则取最大值时，（ ）．
A．9B．10C．9或10D．10或11
【答案】C
【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列an是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得.
【详解】设等差数列an的公差为，
由等差数列前项和公式，
得：，，
又，
，
即，
又，
，
由此可知，数列an是单调递减数列，
点在开口向下的抛物线上，
又，
点与点关于直线对称，
当或时，最大.
故选：C
3．已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（ ）
A．无最大值，有最小值B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
【答案】A
【分析】根据通项首项为负，公差为正判断即可.
【详解】易得该等差数列首项为负，公差为正，
故该数列的前n项和，
故当或时取得最小值，无最大值.
故选：A
4．已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的个数是（ ）
（1） （2） （3） （4）的最小值为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题根据题干条件等式求出其前项和的等式，然后作差即可求出的表达式，然后根据等差数列的前n项和及其性质逐项解决问题.
【详解】因为①，
所以②，且，
①②两式相减得：，满足上式，
所以，所以（1）正确；
因为 ，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以（2）错误；
因为，
，
所以，所以（3）正确；
因为，
下面考察函数的图像（如图所示），
可知函数有最低点且在时取最小值，
由于，，所以当或者取得最小值，
即，所以（4）正确.
综上得，（1）（3）（4）正确.
故选：C.
5．已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则取最小值时的值为12
B．若，则的最大值为108
C．若，则必有
D．若首项，，则取最小值时的值为9
【答案】D
【分析】对于AB，利用等差数列求和公式求出，然后利用二次函数性质求解即可判断；对于C，根据等差数列和的性质，结合等差数列通项性质求和即可判断；对于D，利用求得，利用数列单调性判断的最值即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，
所以当时，取得最小值，正确；
对于B，因为，所以，
所以，
所以当或时，取得最大值为，正确；
对于C，若，则，又，
所以，所以，正确；
对于D，若，则，
又，所以，所以，
所以等差数列an为递减数列，所以，
所以取最大值时的值为9，错误.
故选：D
6．设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（ ）
A．6B．7C．6或7D．8
【答案】A
【分析】根据条件得，从而得出，即可求出结果.
【详解】因为数列为等差数列，设数列的公差为，
又，，则①，②，
由①②解得，所以，
当时，取最小值为，
故选：A.
7．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，给出下列两个命题：
①若对任意的正整数均有，则为和谐数列；
②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；
下列说法正确的是（ ）．
A．① 是真命题，② 是假命题B．① 是假命题，② 真命题
C．① 和 ② 都是真命题D．① 和 ② 都是假命题
【答案】C
【分析】先得出的等价条件，然后再进行判断.
【详解】对于①：，
若，则，所以①正确；
对于②：设等差数列的公差为，
则，所以，
即为公差为的等差数列，
若为和谐数列，即，则，
所以关于的二次函数，开口向上，
所以在上一定存在最小值，所以②正确；
故选：C
8．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，判断下列2个命题的真假：（ ）
①若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；
②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.
A．①假命题，②真命题B．①假命题，②假命题
C．①真命题，②假命题D．①真命题，②真命题
【答案】D
【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得，结合可得，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.
【详解】对于①：设等差数列的公差为，
则，所以，
即为公差为的等差数列，
若为和谐数列，则，
即，则，
所以关于的二次函数，开口向上，
所以在上一定存在最小值，所以①正确;
对于②：取，
则，且,
为和谐数列等价于，证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,
即证，即证，
当,上式左边为负数,显然成立；
当时，即证，即证，（*）
设，，
则在上单调递增，可得，
即（*）式成立，所以②正确.
故选：D.
9．数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（ ）
A．23B．24C．25D．26
【答案】B
【分析】由题意，根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意，可知数列为等差数列，则，
则当时，取最大值.
故选：B.
10．已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知，根据题意可判断该数列根据当时取得最大值，即可得到不等关系式，将代入即可求解出公差d的取值范围.
【详解】由已知可得，即，解得，
故选：A．
题型二：求等差数列前n项和的最值
11．设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A．4B．5C．6D．4或5
【答案】D
【分析】将分别代入等差数列的通项公式和前项和公式中，即可得到首项和公差，根据数列得通项公式分析出数列得变化规律，得出在或时取最小值.
【详解】设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值.
故选：D
12．若数列为等差数列，为前n项和，，，，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．和均为的最大值
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】依题意，设等差数列的公差为，
由，得，
对于A，由，A正确；
对于B，由，B正确；
对于C，由，，C错误；
对于D，由，可得数列为递减数列，且，则，
所以和均为的最大值，D正确.
故选：C
13．已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析.
【详解】充分性：等差数列的前项和为，
前项和可看做关于的二次函数，则公差时，有最大值，充分性得证；
必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立.
故选：C.
14．已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解.
【详解】等差数列中，，，则，
因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正，
所以当取得最小值时，.
故选：B
15．若是等差数列的前项和，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据条件，利用等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】数列an是等差数列，且，则且，
则，
故选：B.
16．设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．成等差数列，公差为
C．当且仅当时，取得最大值
D．时，的最大值为33
【答案】D
【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，然后利用可求出，再逐个分析判断即可.
【详解】因为，
所以数列是以为公差，32为首项的等差数列，
所以，所以，
所以当时，，
所以，
因为，所以，
对于A，因为，
所以an是以为公差的等差数列，所以A错误，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，
所以成等差数列，公差为，所以B错误，
对于C，，对称轴为，
因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误，
对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确，
故选：D
17．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设an的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案.
【详解】设an的公差为，因为，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以当时，取得最小值.
故选：D.
18．已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题设写出等差数列通项公式得，利用单调性得时，时，即有时最小，进而求最小值.
【详解】由题设，令，可得，
又，故时，时，
所以时最小，即最小为.
故选：C
19．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，
所以公差，
故当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，
即中最小的项是.
故选：B.
20．已知等差数列的前n项和为，若，，取得最大值时n的值为（ ）
A．6B．5或6C．7D．6或7
【答案】D
【分析】根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质求解.
【详解】，，
当或时，取得最大值.
故选：D.
题型三：根据等差数列前n项和的最值求参数
21．已知等差数列满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（ ）
A．4045B．4046C．4035D．4034
【答案】A
【分析】由题可知数列an是递减的等差数列，再由前n项和公式和下角标和的性质即可求解.
【详解】因为数列an的前n项和有最大值，所以数列an是递减的等差数列，
又，，所以，
即数列的前2023项为正数，从第2024项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可知，
，
，
所以当取最小正值时，．
故选：A.
22．是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的性质可得：，，，然后分情况考虑，结合等差数列的通项公式可求.
【详解】由题意得，时，取得最大值，所以有，，，
若，则，
若，，则，有，
.
故选：D
23．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ）
A．12B．13C．24D．25
【答案】C
【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果.
【详解】等差数列的前项和为，由，且，
得，所以，
则数列的公差，所以数列是递增的等差数列，
且当时，，当时，，
又，
所以使成立的最小的为24，
故选：C．
24．已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（ ）
A．1012B．1013C．1014D．1015
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定数列的单调性，再求出的的最大值即得.
【详解】数列的通项公式，显然数列是递增数列，
由，得，而，因此数列的前1012项均为负数，从第起为正，
所以取最小值时的值为1012.
故选：A
25．已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的基本性质可知，当时，，当时，，即可得出结论.
【详解】因为等差数列an的前项和为，，可得，
又因为，则数列an的公差为，
所以，数列an为单调递减数列，
则当时，，当时，，
故当时，取最大值.
故选：B.
26．已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由等差数列前n项和的函数性质得，再由等差数列通项公式得，即可求范围.
【详解】设等差数列的公差为，
由，又任意均有成立，
所以，
由，而，则.
故选：A
27．已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】
由题意可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案.
【详解】
因为，则数列为等差数列，
设等差数列的公差为，则，
所以数列的通项公式为，
令，解得，
所以当时，，当时，，
所以数列中前项的和最大.
故选：A.
28．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】代入得出，先说明为等差数列.进而由已知可得出，代入求解即可得出答案.
【详解】令，则为常数，
所以数列为等差数列，首项为.
由已知对任意的恒成立，
可知有，即，解得.
故选：A.
29．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知得出，公差，然后返和(即)分类计算.
【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，
若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，即，则；
若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，，即，
则，
综上可得：的取值范围是，
故选:B．
30．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（ ）
A．2022B．2023C．4043D．4044
【答案】D
【分析】
根据题意分析出、、等，利用等差数列的前项和公式分析出结果.
【详解】解：因为等差数列的前项和有最小值，
所以等差数列的公差，
因为，所以，，
所以，
又因为，
所以，即，故，
所以，
，
当时，；当时，；
故使成立的正整数的最小值为.
故选：D.
1．在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得.
【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及，，得，解得，
所以正整数k为2023．
故选：D
32．已知等差数列的前项和为．若，则的值是（ ）
A．5B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据的表达式为关于的二次函数，且则易得的对称轴方程，再利用对称轴方程，结合易得.
【详解】设等差数列an的公差为．
等差数列an的前项和可看作是关于的二次函数，
又故对称轴方程为．
又，解得．
故选：B.
3．已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中的最小项为
【答案】ACD
【分析】利用等差数列及，判断出， ，再利用等差数列和等差数列前项和的性质逐项判断即可.
【详解】若，则，
所以，即等差数列an为递减数列，
对于A，由，知等差数列an前7项为正数，其余项为负数，
故当时，最大，故A正确；
对于B，，
故
所以使得成立的最小自然数不是，故B错误；
对于C，，
则，故C正确；
对于D，当或时，；当时，；
由，所以中最小项为，
故D正确.
故选：ACD
4．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递减数列
B．
C．当时，
D．当且仅当时，取得最大值
【答案】AC
【分析】利用求出可判断ABC；对配方可判断D.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
对于A，，所以an是递减数列，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当，得，所以当时，，故C正确；
对于D，，因为，
所以当且仅当，或时，取得最大值，故D错误.
故选：AC.
5．已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．当时，取得最小值
D．当时，满足的最大整数的值为25
【答案】ABD
【分析】由得到，进而求得即可判断A；，，成等差数列，即可判断B；因为，分类讨论当，，即可判断C；因为，所以，，所以，，即可判断D.
【详解】因为，
所以，
即，所以，故A正确．
因为，，成等差数列，
所以，而，则，故B正确．
因为，由得，
即，所以，所以对称轴为：，
所以当时，开口向上，当，取得最小值，
当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误．
因为，数列an单调递增，所以，，
则，，又因为，
所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确．
故选：ABD
6．在等差数列中，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质及求和的性质，可对四个选项逐一判断其正误，从而得到答案．
【详解】设等差数列的公差为，其前项和为，由，得，
对于A，数列an是递增等差数列，且前10项均为负数，从第11项起为正，则，
即，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，由，得，，D正确.
故选：AD
7．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
【答案】ABD
【分析】由求和公式结合角标性质得出，进而判断单调性以及最值.
【详解】， 故， ，故，
所以，且，，即是递增数列，故ABD正确.
由于是递增数列，，故时，取得最小值，故C错误；
故选：ABD
8．设数列an的前n项和为Sn，且，，请写出一个满足条件的数列an的通项公式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由条件得到数列an是递增数列；由条件得到为Sn的最小值，因此数列an的前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正数.由此我们可以写出满足条件的一个等差数列.
【详解】因为，所以数列an是递增数列，
又因为，即最小，
只要前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数即可，
所以，满足条件的数列an的一个通项公式如、
(答案不唯一)
故答案为：（答案不唯一）
9．已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)数列的通项公式；
(2)的最小值，并求当取得最小值时n的值.
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
【分析】（1）应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可求出通项公式；
（2）先求出，再根据二次函数的性质可得取得最小值.
【详解】（1）若选择①：
设等差数列an的公差为d，由可得；
又，得，即，
解得，，
所以；
即数列an的通项公式为.
若选择②：
设等差数列an的公差为d，由可得；
又，即，得；
解得，，
所以；
即数列an的通项公式为.
（2）若选择①：
由可得，，
根据二次函数的性质可得当时，为最小值，
即当时，取得最小值，且最小值为.
若选择②：
由可得，，
根据二次函数的性质可得当或时，为最小值，
即当或时，取得最小值，且最小值为.
10．已知等差数列中，
(1)求数列的通项公式
(2)若单调递增，，求数列前项和的最小值
【答案】(1)an=2n−10或(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质求出，进而可求出公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）根据等差数列的前项和公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）设公差为，
因为，
则为方差的两根，
所以或，
当时，，则，
当时，，则，
综上所述，an=2n−10或；
（2）若单调递增，则an=2n−10，
故，
所以，
所以当时，取得最小值.