专题突破练习卷10 解三角形中三角形的中线和角平分线问题-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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题型一：解三角形中三角形的中线问题
1．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上．
(1)用正弦定理证明；
(2)若，求DE的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论；
（2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求.
【详解】（1）由正弦定理知，在中，，
在中，，
由，，
所以，
所以；
（2）在中，由余弦定理可得，
所以，由（1）可得，所以，
因为是边上的中线，所以，
所以.
2．在中，内角所对的边分别是，且，.
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）依据余弦定理及已知求出，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
又，所以，
又B∈0,π，所以；
（2）由及余弦定理得，
即，
又因为，所以，
所以，
所以，
即；
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
，
即，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即边上的中线的取值范围为.
3．已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求B的大小；
(2)若是的中线，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理和得到，结合求出；
（2）先求出，在中，由正弦定理得，故当时，求出最小值.
【详解】（1）由正弦定理得，
又，
故，
即，
又，故，
故，，
又，故；
（2）因为，为的中线，
所以，
又，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故当时，取得最小值，最小值为.
4．如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b．
(1)求斜边上的高AD与中线AE的长；
(2)用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据可得答案；
（2）理由基本不等式可得答案．
【详解】（1）因为，，
所以，，，
可得，，
所以，；
；
（2）因为，所以，
当且仅当时等号成立，
即，
5．已知在三角形中，，，，且边，上的中线，交于点.
(1)求的长；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用余弦定理，即可求解；
（2）根据（1）的结果，结合重心的性质，利用余弦定理，即可求解.
【详解】（1）在中，根据余弦定理,
即，得，
所以的长为；
（2）在中，，，，
所以，
点分别是的中点，
所以，，
，，
所以

6．在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，是的中线，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明；
（2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，即，
由余弦定理知和，
得，即，
即，因为，所以.
（2）因为，，所以，
故，当且仅当，即时等号成立，
故；
由是的中线，得，
即得
，
即得，故的最大值为.
7．在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
(1)求的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
【答案】(1)(2)答案见解析
【分析】（1）由的面积为，求得，再由的周长为，得到，结合余弦定理，求得，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解；
（2）若选择①：法1：由，结合向量的运算法则，即可求解；
法2：设，列出方程组求得，结合，列出方程，即可求解；
若选择②，设，求得，根据，列出方程，即可求解；
法2：由，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得，
又由的周长为，可得，即，
由余弦定理得
，解得，
设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，
所以的外接圆面积为．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知，及，
由，可得
，
所以，即．
法2：不妨设，由及，解得，
在和中，可得，
由余弦定理得，解得．
若选择②，不妨设，由及，解得，
法1：由，
可得，解得．
法2：由张角定理，得，
即，解得，
8．在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围；
(3)在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）
【答案】(1)条件选择见解析,(2)(3)
【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度； 选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.
（2）根据（1）中结果和，把周长转化成，然后再求解范围.
（3）根据中线公式和正弦定理，把转化成三角函数求解即可.
【详解】（1）选①：因为，
,即，
，,.
选②：，
,
，
,,.
选③：向量与平行，
,
,
,,.
（2）,
,
.
为锐角三角形,
，
，
.
周长的取值范围为.
（3），
又由中线公式可得，
.
即，
为锐角三角形，
，
,.
.
9．三角形三内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解.
（2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，.
因为,，所以，
所以，即，
又B∈0,π，，则，
所以.
（2）由（1）得，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
当且仅当，即，时，等号成立，

此时，
故.
10．已知的内角的对边为，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）由题意及正弦定理和余弦定理可得的值，进而可得角的正切值；
（2）①由中线的向量表示，两边平方，可得中线的最小值；
②由等面积法可得角平分线的表达式，再由基本不等式可得的最大值．
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，因为，所以，
所以，所以
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以，
故的最小值为；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
故AD的最大值为.
题型二：解三角形中三角形的角平分线问题
11．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
(1)若，求边上的角平分线长；
(2)求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求，再依据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）因为，根据正弦定理有，
所以，
即，
，
，
即，又，
所以，因为B∈0,π，所以，
由及余弦定理得，
即，
又因为，所以，
所以，
所以，即，
所以
（2）因为是的中点，所以，
则，
因为，，由余弦定理有：，
即，所以
由正弦定理得：
，
即，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，即边上的中线的取值范围为.
12．在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解；
（2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，
因为，两式相除得，所以，
又因为，可得，所以.
（2）因为，所以，
又因为平分，可得，
因为，且，，
所以，
即，解得，
在中，由余弦定理得
，所以.
13．在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？
【答案】(1)(2)(3)当为何值时，最短
【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解；
（2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解；
（3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解.
【详解】（1）由题意可知：，则，
即，
且，整理可得，即或（舍去），
所以的值为.
（2）在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即，
若为的角平分线，则，即，
且，则，
即，可知，
则，可知，
又因为，则，所以.
（3）由（2）可知：，则，
且最短，即为最短，
设，则，，，
可知，可得，
由余弦定理可得，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
由（1）可知：，即，
可得，即（负值舍去）
所以当为何值时，最短.
14．在中,内角所对的边分别是且.
(1)求角;
(2)若,求边上的角平分线长;
(3)求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可.
（2）先选用余弦定理得出关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法. ,运用面积公式求解即可.
（3）先用中线的向量表达式,,两边平方,将中线长转化为求的范围,后将又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围.
【详解】（1）因为,根据正弦定理,
即,
即,又,
所以,因为B∈0,π,所以．
（2）由及余弦定理得,即,
又因为,所以,
所以,
所以,即．
（3）因为是的中点,所以,
则,
由正弦定理得,
即,
因为,所以,所以,
所以,所以,所以,
所以,即边上的中线的取值范围为．
15．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________，在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求角A的大小；
(2)若AD是的角平分线，且，，求线段AD的长；
(3)若，判断的形状.
【答案】(1)(2)(3)直角三角形
【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；
选择②：由正弦定理化简得到，得到，即可求解；
选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解；
（2）设，结合，列出方程，即可求解；
（3）由余弦定理得，再由，联立得到，进而得到方程，求得或，进而得到三角形的形状.
【详解】（1）选择①：由，可得，
即，即，
因为，所以；
选择②：因为②，由正弦定理得，
可得，
因为，可得，所以，
即，可得，
因为，可得，所以；
选择③，由，可得,
又由正弦定理得，再由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为AD是的角平分线，且，设，
因为，可得，
即，解得，即.
（3）由（1）知，
由余弦定理得，
因为，平方得，即，
代入上式，可得，即，
将代入，可得，解得或，
当时，可得，此时，可得为直角三角形；
当时，此时（不成立，舍去）；
综上可得，为直角三角形.
16．在，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点在边上，求的值；
(3)在(2)的条件下，若，求最小值？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由，平方后整理即可.
（2）由角平分线性质可得，结合为的中点求解即可.
（3）由余弦定理及三角形面积公式可得，结合三角恒等变换及基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可得：，
所以，即，
所以.
（2）
由角平分线性质定理可得，，
又因为为的中点，
故，所以.
（3）
由题（2）可知，由可得，设，
，则（※），
由余弦定理可得：，
代入（※）式，得：，
令，
则，
当且仅当时，即时，长度最小，此时.
17．在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．

(1)若，求的长度；
(2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由关系，结合面积公式列方程求解；
（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论.
【详解】（1）因为为的角平分线，，
所以，
因为
所以，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以，
又，则，
又，所以，又，则.
在，由正弦定理得，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，于是，
则，所以，
所以，从而，
所以三角形周长的取值范围为.
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，为的角平分线，且交于点D，.
(1)若，求的周长；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理即得；
（2）设，根据三角形面积公式结合条件可得，然后利用由正弦定理即得解.
【详解】（1）设，.则，
即.
因为.得.所以，所以，
则，所以，
在中，由余弦定理，得，
得，所以的周长为.
（2）设，，由，易得，
又，
所以，
解得，所以，所以.解得，
在中，由正弦定理，得，
即，解得.
19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式求出，进而求出A；
（2）先根据向量数量积公式得到，由余弦定理变形得到，由和面积公式求出.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
即，
又∵，
∴，则有，
∴，
即，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，解得；
（2）由得，，所以，
由（1）知，，

由余弦定理得：，
因为，所以，
∴，
由得：，
∴．
20．如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）（i）利用三角形的面积公式求出的值，利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可求得的值；
（ii）由结合三角形的面积公式可求得的长.
【详解】（1）解：
，
所以，，可得，
又因为，故.
（2）解：（i）因为，解得，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以，；
（ii）因为，即，
因此，.
1．在中，，，，为的中点，的角平分线交于点.
(1)求的长；
(2)求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再由将两边平方，结合数量积的定义及运算律计算可得；
（2）首先求出，再由且计算可得.
【详解】（1）∵，
即，
∴，
∴，
∴（舍）或，
∵为的中点，
∴，
∴
，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
且，
∴，
∴.
2．在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答．
①；②；③；
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为边上的一点，______．
(1)求角C；
(2)若为角平分线，且，求最小值．
【答案】(1)(2)4
【分析】（1）若选①根据条件得到，结合取值范围即可求得；若选②，根据三角形内角和定理以及和角公式可得，再结合取值范围即可求得；若选③，先将切化弦，然后利用两角和的正弦公式，再结合取值范围即可求得；
（2）结合（1）的结论，利用余弦定理和角平分线的性质可得，然后利用基本不等式中“1”的代换即可求解.
【详解】（1）选①，因为，
所以，则有
，∵，∴，即.
选②：因为，则，
所以，
则有
，∵
∴，即
选③：
，∵，∴
（2）由余弦定理得：，
由角平分线定理得：，得
则，
当且仅当时，等号成立.
3．如图，在中，，是角的角平分线，且面积为1.

(1)求的面积；
(2)设，①求的取值范围；②当的长度最短时，求的值.
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，进而得到，从而求解；
（2）①设，，，结合三角形的面积公式可得，进而结合余弦函数的性质求解即可；
②结合①可得，，由余弦定理可得，设，可得，进而利用基本不等式可得时，的长度最短，进而结合同角三角函数的关系及即可求解.
【详解】（1）因为是角的角平分线，且
所以，即，
所以.
（2）①设，，，
则，，，
（1）知，，，
又，
即，
整理得，
又，所以，
即，
所以的取值范围为；
②由①知，，即，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
又，
，
设，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，又，
解得，
所以，
所以当的长度最短时，.
4．如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P．
(1)的余弦值．
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据余弦定理可求出边BC的长度，然后判断出三角形ABC为等腰三角形，进而可得中线AM的长度，再由余弦定理可求出余弦值，进而根据两角和的余弦公式即可求解. （2）由三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可知：,即
故 , ,是等腰三角形，故
在中，由余弦定理可知：
即,
在中，由正弦定理可知：
因为为锐角，所以
（2）由（1）知： 是的重心，所以 ,故
所以四边形的面积为
5．已知在△中，，的角平分线与相交于点．
(1)若，求的长；
(2)若，求△面积的最小值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）在△中由余弦定理求得，再在△△中由正弦定理结合即可求得结果；
（2）根据△的面积为△△的面积之和，求得，再结合三角形面积公式和基本不等式即可求得三角形面积的最小值.
【详解】（1）因为，，
利用余弦定理可得：，故，
在中，，在中，，
两式相除可得，又，所以.
（2）根据题意得△的面积等于△的面积与的面积之和，
又，，所以，
整理得：又，当且仅当时取等号，
故，则，所以，
故△面积的最小值为．
6．在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件．
(1)小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值；
(2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则
①用角B表示工件的面积S；
②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．
【答案】(1)或，(2)① ；②时，S取到最小值
【分析】（1）由题意，得到，求得或和或，即可求解；
（2）①利用正弦定理，求得，结合面积公式，即可求解；
②利用二倍角公式和积化和差公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
又因为，可得或，所以或，
由，可得或，
所以或，
．
（2）解：①在和中使用正弦定理，可得
于是．
②利用二倍角公式和积化和差公式可得：
，
由题意可得，所以，
当，即时，S取到最小值．
7．在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)判断△ABC的形状；
(2)在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.
【答案】(1)选①，等腰三角形；选②，等腰三角形或直角三角形；(2)选①，；选②，或；
【分析】（1）选①，由正弦定理变形后可得；选②，由正弦定理及同角关系变形后，结合正弦函数性质得三角形为等腰三角形或直角三角形；
（2）选①，由等腰三角形性质求得底边长，然后由余弦定理求得；
选②，三角形为等腰三角形时同选①，三角形为直角三角形时，由求得，然后求得，用勾股定理求得．
【详解】（1）选①，，由正弦定理理，即，又是三角形内角，所以，△ABC是等腰三角形；
选②，，由正弦定理得，所以，
，又是锐角三角形内角，所以或，
所以或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；
（2）选①，，则，，，
中，由余弦定理得：
，；
选②，时同选①得，
时，，则，，所以，，
所以．
8．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若，求的中线长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，再利用余弦定理即可求得答案；若选②，则根据正弦定理，边化角，再利用两角和的正弦公式化简，求得答案；若选③，则根据正弦定理，边化角，再利用诱导公式结合倍角公式化简，求得答案；
（2）根据可得，利用余弦定理得到，在三角形中，由余弦定理求得，即可求得答案.
【详解】（1）选择条件①：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得,
因为，所以；
选择条件②：由及正弦定理，
得：，
即.
即.
在中，，所以，
即，因为，所以，所以,
因为，所以；
选择条件③：由及正弦定理，
得：，
因为,，所以.
在中，，则，
故.
因为，所以，则，
故；
（2）因为，所以，
整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，即，
即长度的最小值为.
9．已知函数．
（1）求的最小正周期及单调减区间；
（2）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边上的中线，求的最大值．
【答案】（1）最小正周期为；单调减区间为；（2）．
【分析】（1）先运用平方差公式化简，然后再用辅助角公式，就可以求最小正周期及单调减区间；
（2）先求出，再根据向量及基本不等式即可求出最大值.
【详解】（1）函数
所以最小正周期为，
当，，解得，
所以单调减区间为.
（2）∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，∴，当且仅当时，取等号．
所以.
10．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)，(2)答案见解析
【分析】（1）先对f(x)解析式进行化简，再对正弦型三角函数求单调递增区间即可；
（2）由题干可知，.选①时，的面积由计算；选②③时的面积由计算.
【详解】（1），
由，得，，
∴函数f(x)的单调递增区间为，；
（2）由，得，
又中，，可知；
若选①：
由，可知，可化为，
又，则，
又中，故，所以，
则，故；
若选②：为的中线，且
在中，，，则有，
在中，，
在中，，
又，
则
则，又知，故；
故；
若选③：为的角平分线，且.
由题意知，，
即，整理得
又在中，，，则有，
故
解之得，，故.