素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、三角形中线问题
如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）
二、角平分线问题
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
①等面积法
（常用）
②内角平分线定理：
或
③边与面积的比值：
二、题型精讲精练
【典例1】在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，所以，
由余弦定理及得：
，又，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，所以，
由（1），所以，因为为边上的中线，
所以，所以（通过平方，将向量转化为数量）
，所以，
所以边上的中线的长为：.
【典例2】在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点.
(1)若BD为AC边上的中线，求BD；
(2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD.
【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得.
（2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面积法求得.
【详解】（1）在中，，
因为BD为AC边上的中线，所以，
在中，，所以（活用两次余弦定理）
（2）在中，，
由于，所以.
因为BD为的角平分线，所以.
由，得（等面积法）
即，解得.
【题型训练-刷模拟】
1.中线问题
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求；
（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值．
2．（青海省海东市2023届高三第三次联考数学试题）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的值；
(2)若，求边上的中线的最大值．
3．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且．
（1）求角A的值；
（2）若边上的中线，求的面积．
5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知为的内角所对的边，向量,，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，且，求线段的长．
6．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知的三个内角、、所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的中线长为，求的周长．
8．（2023·全国·高三专题练习）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求的面积.
9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知中，，，
(1)求；
(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值．
10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别为，已知.
(1)求的大小；
(2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
11．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长.
12．（2023·全国·高三专题练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
13．（浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2023届高三下学期6月适应性考试数学试题）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
14．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（I）求△ABC的面积；
（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长．
15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
16．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，点满足，点满足，求.
17．（2023·全国·高三专题练习）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
2.角平分线问题
一、解答题
1．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，
(1)求c的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
3．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积．
4．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.
5．（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小，
(2)若，角的角平分线交于，且，求的面积．
7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为.
(1)求；
(2)若为角的角平分线，交于点，求的长.
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分线，求的长．
9．（2023·全国·高三专题练习）中，，，，.
(1)若，，求的长度；
(2)若为角平分线，且，求的面积.
10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．
11．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，
①的角平分线交于M，求线段的长；
②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．
12．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
13．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，
14．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）csC+ccsA=0.
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
15．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．