专题突破练习卷08 三角形中的“四心”问题-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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题型一：三角形的心的向量表示
1．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心D．外心、重心、内心
2．已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
4．在中，为的重心，.则（ ）
A．1B．C．D．
5．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
6．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
8．已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（ ）
A．外心，垂心，重心B．重心，外心，内心
C．垂心，外心，重心D．外心，重心，内心
9．已知G是的重心，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知，向量，，满足条件，OA=OB=OC．则 是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．直角三角形
题型二：根据向量关系判断三角形的心
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知P在所在平面内，满足，则点P是的外心
B．长方体是平行六面体
C．已知，是夹角为的单位向量，且，，则
D．在复平面内，已知平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D对应的复数分别是，，，z，则
12．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点为的外心（外接圆圆心）
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．若，则点是的内心
13．已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，且，则
B．若，则的面积与的面积之比为
C．若，则动点的轨迹经过的外心
D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为
14．设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是的重心，则
B．若点O是的垂心，则
C．若，则点O是的外心
D．若O为的外心，H为的垂心，则
15．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
16．在中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．内一点满足，则是的重心
C．若，则的形状为等腰三角形
D．若，则必为的垂心
17．下列结论正确的是（ ）
A．已知是非零向量，，若，则
B．向量，满足，，与的夹角为60°，则在上的投影向量为
C．点P在△ABC所在平面内，满足，则点P是△ABC的外心
D．以为顶点的四边形是一个矩形
18．在中，是边中点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是在上的投影向量
B．若点Q是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为
C．若O为的外心，点P满足，则P为的内心
D．若单位向量满足，且，则
19．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．在平行四边形中，
C．在中，若，则是钝角三角形．
D．内有一点，满足，则点是三角形的重心
20．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上的点，点是直线上的点，且，平面内一点满足：，则（ ）

A．为直角三角形B．
C．面积的最小值是D．
题型三：垂直关系的向量表示
21．下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．设，为非零向量，若，则
B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
C．设，， 为非零向量，则
D．若点为的外心，则
22．已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为的垂心
C．若且（，），则
D．若，，，且，则的值为
23．下列有关平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，若，则
B．若且，则
C．在中，若，则点为BC边上靠近的三等分点
D．在平面四边形中，若，则四边形为矩形
24．下列有关向量的命题正确的是（ ）
A．若均为非零向量，且，则
B．已知单位向量满足，则
C．在中，若，且，则为等边三角形
D．若点在所在平面内，且，则点的轨迹经过的外心．
25．下列说法正确的是（ ）
A．
B．，将绕原点旋转到位置，则点的坐标为
C．已知，，则
D．点在所在平面内，且满足，则是的垂心
26．下列叙述正确的是（ ）
A．在等边三角形中，与的夹角为
B．若二非零向量，满足，则
C．已知向量，，，若，，则
D．若为所在平面内一点，且，则为的垂心
27．已知为所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若且，则
B．
C．与的面积之比为
D．与的面积之比为
28．欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心､垂心和重心，则（ ）
A．B．
C．D．
29．已知，分别为该三角形的垂心、外心，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则在上的投影向量为
B．若且，则
C．若的内角所对的边分别，则“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件
D．若，则
30．下列说法正确的（ ）
A．非零向量，若与共线，则
B．非零向量满足，则
C．在中，若，且，则为等边三角形
D．已知单位向量满足，则
1．已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A．B．C．D．
2．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
3．在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）
A．B．C．D．
4．设为的重心，则（ ）
A．0B．C．D．
5．边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（ ）
A．1B．2
C．D．
6．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A．B．2C．D．3
7．在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
9．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
11．在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．2
12．在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．
13．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A．B．C．D．
14．点是的重心，，则（ ）
A．32B．30C．16D．14
15．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知为的重心，，，则的可能取值为（ ）
A．B．1C．D．
17．如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
18．已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．3
19．在中，为重心，，，则= .
20．已知等边的重心为O，边长为3，则 .
21．已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则 .
22．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则 .
23．在中，，，，为的重心，在边上，且，则 ．
24．设为的重心，若，则 ．
25．若点为的重心，且，则的最大值为 ．