高考数学专题 解三角形之中线和角平分线及参考答案

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一、解答题
1．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求B的大小；
(2)若是的中线，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和得到，结合求出；
（2）先求出，在中，由正弦定理得，故当时，求出最小值.
【详解】（1）由正弦定理得，
又，
故，
即，
又，故，
故，，
又，故；
（2）因为，为的中线，
所以，
又，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故当时，取得最小值，最小值为.
2．（2024·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求．
(2)若，且边上的中线，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角公式求，根据角的范围可得
（2）根据余弦定理可得，根据面积公式求解可得
【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得．
整理，得，
即．
又，
所以，
即．
因为，所以．
又，所以．
（2）由题意得，，
所以，
即，
所以．
故
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6.
(1)若，求；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)24
【分析】
（1）根据余弦定理与正弦定理化简可得，再根据直角三角形中勾股定理求解即可；
（2）设，由余弦定理与同角三角和的关系可得，再根据二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）由有，故，
由正弦定理可得，故，
即，又，故.
若，则，故，则为直角三角形.
设，则，则，解得.
故.
（2）由（1）可得，则.
设，则，由余弦定理可得，
即，由可得，
故.
故，当时取得最大值，
为.
4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知：.
(1)求；
(2)若边上的中线BD长为，求面积；
(3)，求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）先化简可得，进一步可得，求解即可；
（2）如图，先解， 由可得，求出即可求得，即可得解；
（3）根据正弦定理可得，即，面积，周长，进而有内切圆半径，利用三角函数求最值即可得解.s
【详解】（1）由题意可得，即，
整理可得，所以，
所以，由可得；
（2）如图，由，中线BD长为，
所以，
可得，即，
所以或（舍），所以，
所以；
（3）由，带入正弦定理可得：，
所以，
面积，
周长，
所以内切圆半径
，
由，所以，
所以，
即内切圆半径的取值范围.
5．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）依据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）因为，
根据正弦定理，
即,
即，又，
所以，
因为，
所以.
（2）由及余弦定理得，
即，
又因为，所以，
所以，
所以，
即.
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即边上的中线的取值范围为.
6．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知的内角的对边为，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
（i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
（ii）求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出，进而求出的值即可；
（2）由三角形的面积公式，可得，对向量表达式两边平方，应用基本不等式即可求得长的最小值；
（3）由于，可得，由求出的值，应用基本不等式即可求出角平分线长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，因为，所以，
所以；
（2）（i）由（1）知，且的面积为，
由三角形的面积公式得：，解得，
由于为的中点，则，两边平方可得：
由基本不等式可得：
（当且仅当时，等号取得到），
所以，故长的最小值为；
（ii）因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以，
由于（当且仅当时，等号取得到），
故，
故，即角平分线长的最大值为.
7．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）已知为中边上的中线，．
(1)若，求的长；
(2)若，求的值及的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】(1)根据题意结合边角关系分析可得为正三角形，进而可得结果；
(2)根据结合余弦定理可得，再利用正弦定理可得，进而利用余弦定理运算求解.
【详解】（1）设，则，．
因为，所以，
所以，所以，
所以，且为中边上的中线，所以，
则为正三角形，所以．
（2）依题意可得，设，
因为，可得
由余弦定理得，则，
整理得，即．
由正弦定理得，
即，整理得，
则，则．
在，由余弦定理得，
则，整理得，即．
8．（22-23高二上·云南·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据已知，利用正弦定理、两角和公式求解即可.
（2）利用三角函数的性质、面积公式以及余弦定理建立方程组求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，即，
又由正弦定理得，
所以，
因为在中，因为，所以.
（2）如图，
由(1)有：，所以，得，①
由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③
由①②③，得，
所以，
所以的周长．
9．（23-24高三上·江苏扬州·期中）在中，，且边上的中线长为1.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由题可得，利用勾股定理可判断是直角三角形，且又边上中线，运算可得解；
（2）方法一，设，在，中，分别由正弦定理两式可得，在和中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，运算可得解；方法二，作的角平分线，交与，在和中，由正弦定理可得，再由可得，计算得，在和中，由余弦定理可求得结果；方法三，延长到，使，由，可得，运算得，在和中，由余弦定理可得结果.
【详解】（1）由题可知，
由勾股定理得，，所以是直角三角形，
又，所以，
又边上中线，
所以，，，
所以.
（2）方法一：由题可知，
设，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，则，①
在和中，由余弦定理得
所以，②
在中，由余弦定理得，
即，即，③
将代入得，④
由①④得，即，即，
即，即，
因为，所以，则，所以.
故的长为2.
方法二：作的角平分线，交与，
设，则，
在和中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以.
由题可知，所以，
在和中，，
所以，所以，
则，即，即，
所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，
则，解得.
故的长为2.
方法三：延长到，使，连接，
由题可知，
设，则，
在和中，，
所以，所以，则，
所以，
即，即，
所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，
则，解得.
故的长为2.
10．（19-20高一·全国·课后作业）已知向量，，，且A为的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系可得，从而求得，结合三角形内角的范围，可以确定；
（2）根据，可以求得，根据题中所给的三角形的边长，以及正弦定理可得，进而求得，利用三角形内角和以及余弦差角公式，求得，利用余弦定理求得，之后应用余弦定理求得，得到结果.
【详解】（1）因为，所以，所以.
因为，所以.
（2）因为，所以.又，，
所以在中，由正弦定理，可得，所以，
所以在中，.
在中，由余弦定理，可得，所以.
在中，由余弦定理，得.
所以.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，属于较难题目.
11．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理结合已知变形，再利用正弦定理边化角及和差角的正弦推理即得.
（2）利用正弦定理结合已知可得，由此求出，再利用余弦定理建立方程求解即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，由正弦定理，得，
即，
由，得，则，
因此，即，则，
所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
则，解得，从而，又，
由余弦定理，得，解得，
所以BD的长为.
12．（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
(1)求的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由的面积为，求得，再由的周长为，得到，结合余弦定理，求得，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解；
（2）若选择①：法1：由，结合向量的运算法则，即可求解；
法2：设，列出方程组求得，结合，列出方程，即可求解；
若选择②，设，求得，根据，列出方程，即可求解；
法2：由，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得，
又由的周长为，可得，即，
由余弦定理得
，解得，
设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，
所以的外接圆面积为．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知，及，
由，可得
，
所以，即．
法2：不妨设，由及，解得，
在和中，可得，
由余弦定理得，解得．
若选择②，不妨设，由及，解得，
法1：由，
可得，解得．
法2：由张角定理，得，
即，解得，
13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为．
①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角A的角平分线长的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD的最值.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角A的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故．
14．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且， .
(1)求角B；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）由及正弦定理得，
即，
即，
所以，因为，所以.
因为，所以.
（2）由及余弦定理得，又，所以，
由得，
所以，所以，解得.
（3）因为为的中点，所以，
则，
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
即边上的中线的取值范围为.
15．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，分别为边所对的角，且满足.
(1)求的大小；
(2)的角平分线交边于点，当时，求.
【答案】(1)
(2).
【分析】
（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；
（2）由余弦定理及角平分线定理求解即可.
【详解】（1），
，
，
，
，，
又，.
（2）如图，

中，由余弦定理，
可得，解得.
是角平分线，，
设，则，在中，由余弦定理可得：
，
即，
整理得，解得，
16．（23-24高三上·河北邢台·期末）的内角A，，C所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式将展开，然后化简可解；
（2）利用角平分线定理和余弦定理可得，由勾股定理可知，然后在中，利用勾股定理可解.
【详解】（1）由及正弦定理，
可得．
因为，
所以．
又，所以，则，
又，所以．
（2）∵为的平分线，，由内角平分线性质定理，，
又∵，在中，由余弦定理，，
,∴，
又∵，∴，
又∵，∴在中，，
∴．
17．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式求出，进而求出A；
（2）先根据向量数量积公式得到，由余弦定理变形得到，由和面积公式求出.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
即，
又∵，
∴，则有，
∴，
即，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，解得；
（2）由得，，所以，
由（1）知，，

由余弦定理得：，
因为，所以，
∴，
由得：，
∴．
18．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可；
（2）根据角平分线性质，得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理及，得，
由得，
所以，所以，
由于，则，所以，即．
又，所以．
（2）因为的角平分线交于点，且，

所以，
根据三角形面积公式可得，
又，得，得，当时等号成立，
所以，即的面积最小值为．
19．（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知的三个内角的对边分别是，且满足．
(1)求角的值；
(2)若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理，结合题意化简得到，得到，即可求解；
（2）利用角的平分线的性质，以及，结合向量的数量积的运算性质，列出方程求得的值，进而求得三角形的面积.
【详解】（1）解：在中，由正弦定理可得，即，
因为，可得，
即，
又由余弦定理可得，可得，即，
因为，所以.
（2）解：因为为角的角平分线，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，所以，即，
因为为中线，所以，
即，
即，所以，，
所以的面积为.
20．（22-23高一下·云南·期末）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角A；
(2)若为的中点，且的角平分线交于点，且，求边长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积定义结合正弦定理对已知等式化简可求得角A；
（2）根据已知条件，得，两边平方化简，可得，再结合等面积法可得，则可求出，用余弦定理即可求得结果.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，
所以，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
（2）因为，的角平分线交于点，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为为的中点，且，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，解得或（舍去），
所以
所以由余弦定理得，
所以