初中数学苏科版（2024）八年级上册3.1 勾股定理课堂检测

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册3.1 勾股定理课堂检测，共85页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20581" 【考点1 勾股数】 PAGEREF _Tc20581 \h 1
\l "_Tc4594" 【考点2 勾股树】 PAGEREF _Tc4594 \h 2
\l "_Tc1025" 【考点3 利用勾股定理求两点间距离】 PAGEREF _Tc1025 \h 3
\l "_Tc8990" 【考点4 利用勾股定理求线段长度】 PAGEREF _Tc8990 \h 4
\l "_Tc22938" 【考点5 勾股定理中的分类讨论】 PAGEREF _Tc22938 \h 4
\l "_Tc24473" 【考点6 勾股定理中的规律探究】 PAGEREF _Tc24473 \h 5
\l "_Tc25204" 【考点7 以直角三角形三边为边长的图形面积】 PAGEREF _Tc25204 \h 6
\l "_Tc10187" 【考点8 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 PAGEREF _Tc10187 \h 7
\l "_Tc2241" 【考点9 利用勾股定理证明两条线段的平方和（差）】 PAGEREF _Tc2241 \h 9
\l "_Tc17118" 【考点10 利用勾股定理求面积】 PAGEREF _Tc17118 \h 10
\l "_Tc28092" 【考点11 勾股定理在网格中的应用】 PAGEREF _Tc28092 \h 11
\l "_Tc20724" 【考点12 勾股定理在翻折中的应用】 PAGEREF _Tc20724 \h 12
\l "_Tc28041" 【考点13 利用勾股定理求最值】 PAGEREF _Tc28041 \h 13
\l "_Tc12286" 【考点14 勾股定理的证明】 PAGEREF _Tc12286 \h 14
\l "_Tc7981" 【考点15 勾股定理与无理数】 PAGEREF _Tc7981 \h 18
\l "_Tc28776" 【考点16 判断是否是直角三角形】 PAGEREF _Tc28776 \h 19
\l "_Tc6418" 【考点17 利用勾股定理构造图形解决实际问题】 PAGEREF _Tc6418 \h 20
\l "_Tc8174" 【考点18 利用勾股定理确定在几何体中的最短距离】 PAGEREF _Tc8174 \h 21
【考点1 勾股数】
【例1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级阶段练习）下列各组数是勾股数的是_________（填序号）．
①6，8，10；②1.5，2，2.5；③32，42，52；④7，24，25；⑤3，4，5
【变式1-1】（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期中）若3，4，a是一组勾股数，则a＝_____．
【变式1-2】（2022·河南安阳·八年级阶段练习）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当a=24时，b+c的值为（ ）A．162B．200C．242D．288
【考点2 勾股树】
【例2】（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是5、3、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13B．26C．47D．94
【变式2-1】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）阅读材料：
分析探索题：细心观察如图,认真分析各式,然后解答问题．
OA22=(2)2+4=8,S1=2；
QA32=82+4=12,S2=282=8=22；
OA42=122+4=16,S3=2122=12=23……
1请用含有n(n为正整数)的等式Sn=______；
2推算出OA10=______；
3求出S12+S22+S32+……S102的值．
【变式2-2】（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2…，按此规律继续下去，则S100的值为（ ）
A．2299B．22100C．1299D．12100
【变式2-3】（2022·山东·济宁市兖州区东方中学八年级期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．1
【考点3 利用勾股定理求两点间距离】
【例3】（2022·河北邢台·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A−2,1，点B4,6，点C−4,2，点D2,3，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=2CDB．BC=2ADC．AC=2BDD．BC=2CD
【变式3-1】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点P(-1，2)到原点的距离是_____________
【变式3-2】（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）平面直角坐标系中两点，其中点A的坐标为1,1，点B的坐标为4,5，则AB两点间的距离是_________．
【变式3-3】（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在直角坐标平面内，已知点A (m, 0)、B (0, 3)，且AB=5，那么m的值是________．
【考点4 利用勾股定理求线段长度】
【例4】（2022·重庆八中八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠D=∠ACB=90°，AD=8，CD=6，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为______．
【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形EFGD，边BC与DE交于点P，延长BC交FG于点Q，若BQ=2BP，则BP的长为______．
【变式4-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ）
A．22B．2C．23D．3
【考点5 勾股定理中的分类讨论】
【例5】（2022·山东·德州市第五中学八年级期中）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A．21B．6C．21或6D．21或9
【变式5-1】（2022·陕西榆林·八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，求第三边的长．
【变式5-2】（2022·安徽安庆·八年级期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM=1，MN=2，则BN的长为______．
【变式5-3】（2022·云南·保山市第七中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t(s)．
(1)求BC边的长．
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【考点6 勾股定理中的规律探究】
【例6】（2022·河南濮阳·八年级期中）如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP，且PP1=1，得OP1=2；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…，依此法继续作下去，得OP2022的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式6-1】（2022·山东·济南市章丘区宁家埠中学八年级阶段练习）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2022个等腰直角三角形的斜边长是__________．
【变式6-2】（2022·湖北湖北·八年级期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅A7A8=1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…OA20中， 长度为整数的线段有（ ）条．
A．3B．4C．5D．6
【变式6-3】（2022·山东济宁·一模）如图甲，直角三角形ABC的三边a，b，c，满足a2+b2＝c2的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延长OA至B1，使AB1＝OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1至B2，使A1B2＝OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2，…，按此规律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n为正整数），则A2B2的长及△OA2021B2021的面积分别是（ ）
A．2，22020B．4，22021C．22，22020D．2，22019
【考点7 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【例7】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期中）如图，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（ ）cm2
A．18B．24C．36D．48
【变式7-1】（2022·广东·东莞市南城开心实验学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150B．200C．225D．无法计算
【变式7-2】（2022·河南·灵宝市实验中学八年级阶段练习）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-3】（2022·浙江杭州·八年级期末）已知ΔABC中，∠ACB=90°，如图，作三个等腰直角三角形ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．
（1）当AC=6，BC=8时，
①求S1的值；
②求S4-S2-S3的值；
（2）请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由．
【考点8 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】
【例8】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A．29B．32C．36D．45
【变式8-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图， 在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF//BC交AC于M，若CM=4，则CE2+CF2的值为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【变式8-2】（2022·北京·首都师大二附八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=6，CD=10，则AD2+BC2=______．
【变式8-3】（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级阶段练习）如图，射线AM⊥AN于点A、点C、B在AM、AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于点E．
（1）若BC=10，直接写出AC2+AB2的值；
（2）若AC=8，△ABC的周长为24，求△ABC的面积；
（3）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，BE2−CE2的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围．
【考点9 利用勾股定理证明两条线段的平方和（差）】
【例9】（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．
【变式9-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．
【变式9-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE=90°，连接AE．
(1)求证：△CEA≌△CDB；
(2)求证：BD2+AD2=DE2．
【变式9-3】（2022·福建·漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，在Rt△ABD中，∠D=90°，AD与BC交于点E，且∠DBE=∠DAB．求证：
（1）∠CAE=∠DBC；
（2）AC2+CE2=4BD2．
【考点10 利用勾股定理求面积】
【例10】（2022·四川广元·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1=48，S2+S3=135，则S4=（ ）
A．183B．87C．119D．81
【变式10-1】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB=90°．若AE=2，BE=3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．10B．13C．36D．169
【变式10-2】（2022·广东·河源市东华实验学校八年级期中）已知直角三角形的三边分别为7，n+1，n+2（n+2是斜边），则该三角形的面积为_________．
【变式10-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是S1,S2,S3,S4，则S1+S2+S3+S4=__________．
【考点11 勾股定理在网格中的应用】
【例11】（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形变成都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)画一个三角形△ABC，使它的三边长分别为8，5，3.
(2)求方格图中所画的△ABC的面积
【变式11-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知△ABC三边长分别为22，13，17，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出△ABC的面积．请你帮助小迪计算出△ABC的面积；
（2）若△DEF三边长分别为5a，10a，13a，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出△DEF的面积；
（3）若△OPQ三边长分别为2m2+n2，9m2+16n2，m2+36n2，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出△OPQ的面积．
【变式11-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校八年级阶段练习）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)使三角形的三边长分别为3，25，5（在图①中画一个即可）；
(2)使三角形为钝角三角形，且面积为6（在图②中画一个即可）．
【变式11-3】（2022·江西赣州·八年级期末）在8×8的网格中，每个小正方形的边长都是1，仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留必要的作图痕迹）．
(1)在图1中，画一个面积为5的正方形．
(2)在图2中，画一个面积为92的正方形．
【考点12 勾股定理在翻折中的应用】
【例12】（2022·山东·济南市章丘区宁家埠中学八年级阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6，BC＝8．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式12-1】（2022·江苏镇江·八年级期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A．2−1B．2+12C．2D．2
【变式12-2】（2022·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____．
【变式12-3】（2022·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝13BC，DE＝2，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是 _____．
【考点13 利用勾股定理求最值】
【例13】（2022·全国·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为2，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的中点，若AE=1，求EM+CM的最小值为（ ）
A．1B．2C．2D．3
【变式13-1】（2022·广东湛江·八年级期末）如图Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______．
【变式13-2】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，铁路上A、B两站相距8km，C、D为两个村庄，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC=2km，BD=4km，现在要在铁路AB上修建一个中转站P，使得P到C、D两村的距离和最短．请在图中画出P点的位置，并求出PC+PD的最小值．
【变式13-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕，请回答下列问题：
（1）求线段DE的长度；
（2）若点P为线段AE上的一个动点，连接BP和FP，则线段BP+FP的最小值是 ．
【考点14 勾股定理的证明】
【例14】（2022·安徽省安庆市外国语学校八年级期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积
从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2＋b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，已知yx=32．
【变式14-1】（2022·江苏·八年级单元测试）（1）【阅读】
公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于__________，这个结论在中国称之为“勾股定理”．
（2）【验证】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程，请你将他下面的证明过程补充完整：
已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c．
求证：a2+b2=c2
证明：由图可知S正方形ABDE=4S△ABC+S正方形FCHG
∵S正方形ABDE=c2，S△ABC=________，正方形FCHG边长为________，
∴c2=4×12ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2
即c2=a2+b2．
（3）【操作】
如图2，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l，过点D作DE⊥l，垂足分别为C、E．
求证：CE＝BC＋DE．
（4）【发现】聪聪认真观察图2后发现：如果设AC＝b，BC＝a，AB＝c，此图也可以利用面积法证明勾股定理．请你帮聪聪完成证明过程．
（5）【拓展】
如图3．将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，直接写出该飞镖状图案的面积．
【变式14-2】（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a， b （a(1)结合图①，求证：a2+b2=c2；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH=6．求该图形的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，S1+S2+S3=24，S2= ．
【变式14-3】（2022·山东济宁·八年级期中）如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．
(1)求证：DE⊥AB；
(2)若已知BC=a，AC=b，AB=c，请借助本题提供的图形，用等积法证明勾股定理a2+b2=c2．
（提示：用两种不同的方法表示出△ABD的面积）
【考点15 勾股定理与无理数】
【例15】（2022·山东·青岛超银中学八年级期中）为了比较17与10+1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通过计算可得17__10+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【变式15-2】（2022·安徽黄山·八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式15-3】（2022·江西·南昌市心远中学八年级期末）某课外学习小组在一次活动中．对如何画出在数轴上表示“±a(a≥0的整数”一类实数点的方法进行如下探讨：
A同学说：按照下图可画出表示(第1个数)2(第2个数)5，（第3个数）10，(第n个数)的7点；
B同学说：我找到了表示−5,−8,−13,−−n2+4点的画法，如图2
C同学说：以上两位同学的方法都不能在数轴上画出，表示3,7等无理数点来．我可以在A同学的基础上完美地画出表示“±a(a≥0的整数)”型实数的点
问题
1按A同学的画法，第4个数应是 ．第n个数是 ．
2请你在图2上补画出表示−8,−13,−20,⋅⋅⋅,−n2+4的点；
3C同学说的更完美的方法你能画出吗?若能使用直尺和圆规在同一数轴上画出表示：5,6,7的点来表达其画法，若不能请说明理由，
【考点16 判断是否是直角三角形】
【例16】（2022·全国·八年级单元测试）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有__．（填序号）
【变式16-1】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．
(1)求BD的长．
(2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由？
【变式16-2】（2022·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．
(1)求BC的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)判断△ABC的形状．
【变式16-3】（2022·重庆·八年级期中）有一旅游景点C在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头A，B.并且AB=AC，由于某种原因，由C到A的路已经不通，为方便游客决定在河边H点新建一个码头(点A，H，B在同一直线上)，并新修一条笔直的公路CH，测得BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米．
(1)判断△BCH的形状，并说明理由；
(2)求原路线AC的长．
【考点17 利用勾股定理构造图形解决实际问题】
【例17】（2022·山东德州·八年级期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
【变式17-1】（2022·青海·大通回族土族自治县东峡民族中学八年级期中）如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5
【变式17-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（ ）
A．40mB．45mC．30mD．35m
【变式17-3】（2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级期中）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____．
【考点18 利用勾股定理确定在几何体中的最短距离】
【例16】（2022·贵州·兴仁市屯脚镇屯脚中学八年级阶段练习）
(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为3m，2m，1m，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
(2)如图2，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，AA1=14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【变式18-1】（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 ________ 米．
【变式18-2】（2022·新疆师范大学附属中学八年级期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cmB．261cmC．23cmD．241cm
【变式18-3】（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校八年级阶段练习）图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．241B．265C．65D．82 a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
专题7.3 勾股定理十八大必考点
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20581" 【考点1 勾股数】 PAGEREF _Tc20581 \h 1
\l "_Tc4594" 【考点2 勾股树】 PAGEREF _Tc4594 \h 3
\l "_Tc1025" 【考点3 利用勾股定理求两点间距离】 PAGEREF _Tc1025 \h 7
\l "_Tc8990" 【考点4 利用勾股定理求线段长度】 PAGEREF _Tc8990 \h 9
\l "_Tc22938" 【考点5 勾股定理中的分类讨论】 PAGEREF _Tc22938 \h 13
\l "_Tc24473" 【考点6 勾股定理中的规律探究】 PAGEREF _Tc24473 \h 16
\l "_Tc25204" 【考点7 以直角三角形三边为边长的图形面积】 PAGEREF _Tc25204 \h 19
\l "_Tc10187" 【考点8 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 PAGEREF _Tc10187 \h 22
\l "_Tc2241" 【考点9 利用勾股定理证明两条线段的平方和（差）】 PAGEREF _Tc2241 \h 25
\l "_Tc17118" 【考点10 利用勾股定理求面积】 PAGEREF _Tc17118 \h 30
\l "_Tc28092" 【考点11 勾股定理在网格中的应用】 PAGEREF _Tc28092 \h 33
\l "_Tc20724" 【考点12 勾股定理在翻折中的应用】 PAGEREF _Tc20724 \h 38
\l "_Tc28041" 【考点13 利用勾股定理求最值】 PAGEREF _Tc28041 \h 42
\l "_Tc12286" 【考点14 勾股定理的证明】 PAGEREF _Tc12286 \h 47
\l "_Tc7981" 【考点15 勾股定理与无理数】 PAGEREF _Tc7981 \h 54
\l "_Tc28776" 【考点16 判断是否是直角三角形】 PAGEREF _Tc28776 \h 58
\l "_Tc6418" 【考点17 利用勾股定理构造图形解决实际问题】 PAGEREF _Tc6418 \h 62
\l "_Tc8174" 【考点18 利用勾股定理确定在几何体中的最短距离】 PAGEREF _Tc8174 \h 65
【考点1 勾股数】
【例1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级阶段练习）下列各组数是勾股数的是_________（填序号）．
①6，8，10；②1.5，2，2.5；③32，42，52；④7，24，25；⑤3，4，5
【答案】①④##④①
【分析】根据勾股数的特点判断即可．
【详解】①．62+82=102，是勾股数；
②．1.5，2，2.5中，1.5，2.5不是正整数，故不是勾股数；
③．322+422≠522，不是勾股数；
④．72+242=252，是勾股数；
⑤．(3)2+(4)2=(5)2，且3，5不是正整数，故不是勾股数．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．必须根据勾股数是正整数，同时还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
【变式1-1】（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期中）若3，4，a是一组勾股数，则a＝_____．
【答案】5
【分析】分a为最长边，4为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：①a为最长边，a=32+42=5 ，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
②4为最长边，a=42−32=7 ，不是正整数，不符合题意；
故答案为5．
【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的运算公式．
【变式1-2】（2022·河南安阳·八年级阶段练习）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当a=24时，b+c的值为（ ）A．162B．200C．242D．288
【答案】D
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．
【详解】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24=2×(10+2)，
b依次为8，15，24，35，48，…，即当a=24时，b=122−1=143，
c依次为10，17，26，37，50，…，即当a=24时，c=122+1=145，
所以当a=24时，b+c=143+145=288．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出b=(n+2)2−1，c=(n+2)2+1是解此题的关键．
【变式1-3】（2022·全国·八年级专题练习）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________．
【答案】 11，60，61 n2−12和n2+12
【分析】（1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【详解】解：（1）∵112+602=3721=612，
∴下一组勾股数为：11、60、61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为n2−12和n2+12，
∵n2+n2−122=n2+n4−2n2+14=n4+2n2+14，
n2+122=n4+2n2+14，
∴n2+n2−122=n2+122，
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，n2−12，n2+12三个数组成的数是勾股数．
故答案为：n2−12和n2+12．
【点睛】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．
【考点2 勾股树】
【例2】（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是5、3、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13B．26C．47D．94
【答案】C
【分析】设正方形A，B，C，D的边长依次为a，b，c，d，邻近A的正方形边长为e，邻近D的正方形边长为f，最大正方形的边长为g，根据正方形的面积公式和勾股定理依次计算即可．
【详解】如图，设正方形A，B，C，D的边长依次为a，b，c，d，邻近A的正方形边长为e，邻近D的正方形边长为f，最大正方形的边长为g，且a=5，b=3，c=2，d=3，所有的三角形都是直角三角形．
所以a2+b2=e2,c2+d2=f2,e2+f2=g2，
所以g2=a2+b2+c2+d2
=52+32+22+32
=47，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的面积和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2-1】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）阅读材料：
分析探索题：细心观察如图,认真分析各式,然后解答问题．
OA22=(2)2+4=8,S1=2；
QA32=82+4=12,S2=282=8=22；
OA42=122+4=16,S3=2122=12=23……
1请用含有n(n为正整数)的等式Sn=______；
2推算出OA10=______；
3求出S12+S22+S32+……S102的值．
【答案】（1）2n；（2）210；（3）220.
【分析】（1）S1=2，S2=22，S3=23，观察规律得出Sn即可；
（2）OA22=(2)2+4=8，QA32=222+4=12，OA42=232+4=16，观察规律得出OA102，在算出OA10即可；
（3）根据上面Sn的规律，分别算出平方加起来即可.
【详解】（1）∵S1=2，S2=22，S3=23，
∴观察规律得出Sn=2n；
（2）∵OA22=(2)2+4=8；
QA32=222+4=12；
OA42=232+4=16；
则OA102=292+4=40，OA10=210
（3）由上面Sn=2n，
则S12+S22+S32+……S102
=22+（22）2+（23）2+……（210）2
=4+8+12+……40
=（4+40）×10÷2
=220
【点睛】此题考查了勾股定理、算术平方根，解题的关键是观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算，千万不可盲目计算．
【变式2-2】（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2…，按此规律继续下去，则S100的值为（ ）
A．2299B．22100C．1299D．12100
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=(12)n−1，依此规律即可得出结论．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1，ΔCDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：S1=12=1，S2=12S1=12，S3=12S2=122，S4=12S3=123，…，
∴Sn=(12)n−1．
当n=100时，S100=1299．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
【变式2-3】（2022·山东·济宁市兖州区东方中学八年级期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
【考点3 利用勾股定理求两点间距离】
【例3】（2022·河北邢台·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A−2,1，点B4,6，点C−4,2，点D2,3，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=2CDB．BC=2ADC．AC=2BDD．BC=2CD
【答案】B
【分析】先根据两点间距离公式求得相关线段的长，然后再代入判断即可．
【详解】解：∵A−2,1，点B4,6，点C−4,2，点D2,3
∴AB=−2−42+1−62=61,CD=−4−22+2−32=37
BC=−4−42+2−62=80=45,AD=−2−22+1−32=20=25
AC=−2+42+1−22=5,BD=4−22+6−32=13
∴A.AB=2CD，该选项错误，不符合题意；
B. BC=2AD，该选项正确，符合题意；
C. AC=2BD，该选项错误，不符合题意；
D. BC=2CD，该选项错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，运用两点间距离公式求出相关线段的长成为解答本题的关键．
【变式3-1】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点P(-1，2)到原点的距离是_____________
【答案】5
【分析】根据勾股定理，即可求解．
【详解】解∶ 点P(-1，2)到原点的距离是12+22=5．
故答案为：5
【点睛】本题考查了直角坐标系中，用勾股定理推导出的两点之间的坐标距离公式，熟记公式是解答的关键．
【变式3-2】（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）平面直角坐标系中两点，其中点A的坐标为1,1，点B的坐标为4,5，则AB两点间的距离是_________．
【答案】5
【分析】利用勾股定理即可求解．
【详解】∵A(1,1)，B(4,5)，
∴AB=(4−1)2+(5−1)2=32+42=5，
即AB之间的距离为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了应用勾股定理求解直角坐标系中两点之间的距离的知识，熟练掌握勾股定理并灵活运用是解答本题的关键．
【变式3-3】（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在直角坐标平面内，已知点A (m, 0)、B (0, 3)，且AB=5，那么m的值是________．
【答案】±4
【分析】由A (m, 0)、B (0, 3)，再根据长度公式可得出AB的距离表达式，由AB=5即可求得m的值．
【详解】解：∵A (m, 0)，B (0, 3)，
∴A B=m−02+0−32=m2+9，
∵AB=5，
∴m2+9=5，
∴m=±4．
故答案为：±4．
【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求两点距离，掌握两点间的距离公式是解决此题的关键．
【考点4 利用勾股定理求线段长度】
【例4】（2022·重庆八中八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠D=∠ACB=90°，AD=8，CD=6，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为______．
【答案】55
【分析】在Rt△ACD中由勾股定理求出AC的长，再由四边形ABCD的面积求出BC的长，最后在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的长．
【详解】解：∵∠D=90°，AD=8，CD=6，
∴Rt△ACD中由勾股定理可知：AC=AD2+CD2=82+62=10，
∵四边形ABCD的面积为49，且∠ACB=90°
∴12AD⋅CD+12AC⋅BC=49，代入数据：AD=8，CD=6，AC=10，
∴BC=5，
在Rt△ABC中由勾股定理可知：AB=AC2+BC2=102+52=55，
故答案为：55．
【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、勾股定理的应用等，本题属于基础题，计算过程中细心即可．
【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形EFGD，边BC与DE交于点P，延长BC交FG于点Q，若BQ=2BP，则BP的长为______．
【答案】254
【分析】连接DQ，过点P作PH//EF，设PC=a，分别解得BP,BQ,CQ,GQ的长，继而证明△PHQ≅△PCD (AAS)，由全等三角形的性质得到PC=HQ=a,EP=FH=a，由此解得PD=8−a，最后在Rt△PCD中，利用勾股定理解得a的值，据此解题．
【详解】如图，连接DQ，过点P作PH//EF，
设PC=a，则矩形ABCD中
BC=AD=8,AB=CD=6
BP=8−a,BQ=2BP
∴BQ=2(8−a)=16−2a
CQ=16−2a−8=8−2a
∴GQ=8−2a,FQ=2a
∵FG//ED
∴∠FQP=∠QPD
在△PHQ与△PCD中，
∠FQB=∠CPD∠PHQ=∠PCD=90°PH=CD
∴△PHQ≅△PCD (AAS)
∴PC=HQ=a,EP=FH=a
∴PD=8−a
在Rt△PCD中，
PD2=PC2+CD2
(8−a)2=a2+62
∴64−16a+a2=a2+62
∴a=74
∴BP=PQ=8−a=8−74=254，
故答案为：254．
【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式4-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ）
A．22B．2C．23D．3
【答案】B
【分析】由已知证得△ACE≅△BCD，进而确定△ABF三个内角的大小，求得BF=12AB，进而可得到答案．
【详解】解：∵∠ACB=90°,∠DCE=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE
∴∠ACE=∠BCD
又∵AC=BC,CD=CE
∴△ACE≅△BCD
∴∠CAE=∠CBD=15°
∵在等腰直角三角形中∠ABC=∠BAC=45°
∴∠ABF=∠ABC+∠CBD=60°,∠BAF=∠BAC−∠CAE=30°
∴∠AFB=180°−∠ABF−∠BAF=90°
∴BF=12AB
∵AB=AC2+BC2=22
∴BF=2
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式4-3】（2022·全国·二模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为62的正方形ABCD可以制作一副如图中图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图中图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q，R分别与图2中的点E，G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是_____．
【答案】65
【分析】根据题意连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．
∵正方形ABCD的边长为62，
∴PD=DR=RC=32，
∴PR=PD2+DR2=6，PQ=RQ=3，
∴GM＝PR=6，EM＝3+3+6+6＝18，
∴EG＝EM2+GM2=182+62=610，
∴EH＝EG2=65，
故答案为：65．
【点睛】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【考点5 勾股定理中的分类讨论】
【例5】（2022·山东·德州市第五中学八年级期中）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A．21B．6C．21或6D．21或9
【答案】D
【分析】分类讨论，当三角形的高在三角形内部时、外部时，用勾股定理进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，
在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，
由勾股定理得，CD=AC2−AD2=102−82=6，
在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，
由勾股定理得，BD=AB2−AD2=172−82=15，
∴当AD在三角形ABC内部时，BC=BD+CD=15+6=21，
当AD在三角形ABC外部时，BC=BD−CD=15−6=9，
综上，BC的长为21或9，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是要分类讨论．
【变式5-1】（2022·陕西榆林·八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，求第三边的长．
【答案】第三边的长为4或34．
【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x=52−32=4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设斜边为y，则y=52+32=34．
综上所述，第三边的长为4或34．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【变式5-2】（2022·安徽安庆·八年级期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM=1，MN=2，则BN的长为______．
【答案】3或5##5或3
【分析】分两种情况：①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．
【详解】解：分两种情况：
①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=MN2−AM2=22−12=3；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=MN2+AM2=22+12=5．
综上所述：BN的长为3或5．
故答案为：3或5．
【点睛】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．
【变式5-3】（2022·云南·保山市第七中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t(s)．
(1)求BC边的长．
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)BC=8cm
(2)t的值为4或254
【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出BP=2tcm，再分①当∠APB=90°，②当∠BAP=90°两种情况，利用勾股定理求解即可得．
（1）
在Rt△ABC中，
由勾股定理得BC2=AB2−AC2=102−62=64，
∴BC=64=8cm．
（2）
由题意知BP=2tcm．
①当∠APB=90°时，如图1，点P与点C重合，BP=BC=8cm，
∴t=8÷2=4．
②当∠BAP=90°时，如图2，CP=BP−BC=(2t−8)cm，AC=6cm．
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=62+(2t−8)2，
在Rt△BAP中，AP2=BP2−AB2=(2t)2−102，
因此62+(2t−8)2=(2t)2−102，
解得t=254．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或254．
图1 图2
【点睛】本题考查了勾股定理，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
【考点6 勾股定理中的规律探究】
【例6】（2022·河南濮阳·八年级期中）如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP，且PP1=1，得OP1=2；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…，依此法继续作下去，得OP2022的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：∵OP=1，OP1=OP2+PP12=2，OP2=OP12+P1P22=3，
同理：OP3=4=2，
∴OP2022=2023，
故选：C ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
【变式6-1】（2022·山东·济南市章丘区宁家埠中学八年级阶段练习）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2022个等腰直角三角形的斜边长是__________．
【答案】21011
【分析】先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，找到规律后即可求出第2022个等腰直角三角形的斜边长．
【详解】根据勾股定理可得
第1个Rt△ABC的斜边AC=12+12=2；
第2个Rt△ACD的斜边AD=(2)2+(2)2=2=(2）2；
第3个Rt△ADE的斜边AE=22+22=22=（2）3；
第4个Rt△AEF的斜边AF=222+222=4=(2)4；
第n个等腰直角三角形的斜边=(2)n；
∴第2022个等腰直角三角形的斜边=(2)2022=21011．
【点睛】本题考查了勾股定理及找规律求等腰直角三角形的斜边长，找到规律是解题的关键．
【变式6-2】（2022·湖北湖北·八年级期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅A7A8=1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…OA20中， 长度为整数的线段有（ ）条．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】OA1＝1，OA2＝12+12＝2，OA3＝12+12+12＝3，找到OAn＝n的规律即可计算OA1到OA20中长度为正整数的个数．
【详解】解：找到OAn＝n的规律，
所以OA1到OA20的值分别为1，2，3…n…20，
故正整数为1＝1，4＝2，9＝3，16＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到OAn＝n的规律是解题的关键．
【变式6-3】（2022·山东济宁·一模）如图甲，直角三角形ABC的三边a，b，c，满足a2+b2＝c2的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延长OA至B1，使AB1＝OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1至B2，使A1B2＝OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2，…，按此规律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n为正整数），则A2B2的长及△OA2021B2021的面积分别是（ ）
A．2，22020B．4，22021C．22，22020D．2，22019
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出A1B1，A2B2，A3B3，进而得出规律，求出A2021B2021，再利用三角形的面积公式即可求出△OA2021B2021的面积．
【详解】解：∵△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝1，
∵AB1＝OA，
∴OB1＝2，
∴A1B1＝OA1＝22OB1＝2，
∵A1B2＝OA1，
∴OB2＝22，
∴A2B2＝OA2＝22OB2＝2＝（2）2，
∵A2B3＝OA2，
∴OB3＝4，
∴A3B3＝OA3＝22OB3＝22＝（2）3，
•••
∴A2021B2021＝（2）2021，
∴△OA2021B2021的面积＝12 ×（2）2021×（2）2021＝22020．
故选：A．
【点睛】本题考查找规律——图形的变化，利用等腰直角三角形的性质确定变化规律是解决问题的关键．
【考点7 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【例7】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期中）如图，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（ ）cm2
A．18B．24C．36D．48
【答案】B
【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积
=12πAC22+12πBC22+12AC×BC−12πAB22
=18πAC2+18πBC2+12AC×BC−18πAB2
=18πAC2+BC2−AB2+12AC×BC
=12AC×BC
=12×6×8=24 cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算公式和勾股定理的应用，阴影部分可以看作是几个规则图形的面积的和或差，学会把不规则图形转化为规则图形是解题的关键．
【变式7-1】（2022·广东·东莞市南城开心实验学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150B．200C．225D．无法计算
【答案】C
【分析】根据勾股定理列式求解，从而得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=152=225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式7-2】（2022·河南·灵宝市实验中学八年级阶段练习）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理得到三角形三边a、b、c的关系，根据等边三角形、半圆形、等腰直角三角形及正方形的面积求法，逐一验证S1+S2=S3是否成立，即可得出答案．
【详解】由勾股定理得a2+b2=c2，
第一个图形中，S1=a2，S2=b2，S3=c2，满足S1+S2=S3；
第二个图形中，S1=14a2，S2=14b2，S3=14c2，满足S1+S2=S3；
第三个图形中，S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2，满足S1+S2=S3；
第四个图形中，S1=π8a2，S2=π8b2，S3=π8c2满足S1+S2=S3；
综上所述，满足题意的图形有4个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形、等边三角形、圆和正方形面积求法，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式7-3】（2022·浙江杭州·八年级期末）已知ΔABC中，∠ACB=90°，如图，作三个等腰直角三角形ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．
（1）当AC=6，BC=8时，
①求S1的值；
②求S4-S2-S3的值；
（2）请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）① 9；② 9；（2）S4=S1+S2+S3，见解析
【分析】（1）①在等腰直角三角形ΔACD中，根据勾股定理AD=CD=32即可；
②设SΔBEG=S5，则SΔBEA−SΔBFC=S4+S5−(S2+S3+S5)=S4−S2−S3，利用勾股定理得出AE=BE=52，CF=BF=42即可求解；
（2）设SΔBEG=S5，假设一个等腰直角三角形的斜边为a，则面积为14a2，利用勾股定理得出AC2+BC2=AB2，则14AC2+14BC2=14AB2，即S△ABE=S△ADC+S△BFC，依此即可求解．
【详解】解：（1）①∵ ΔACD是等腰直角三角形，AC=6，
∴ AD=CD=32，
∴S1=12×32×32=9；
②∵ ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴ AB=10，
∵ ΔEAB和ΔFCB是等腰直角三角形，
∴ AE=BE=52，CF=BF=42，
设SΔBEG=S5
SΔBEA−SΔBFC=S4+S5−(S2+S3+S5)=S4−S2−S3=12×52×52−12×42×42=9；
（2）设SΔBEG=S5，
如图，等腰直角三角形的面积公式S△ABC=12AB⋅CD= 14a2，
∵等腰直角三角形ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，
∴S△ADC=14AC2,S△BFC=14BC2,S△ABE=14AB2，
∵AC2+BC2=AB2，
∴14AC2+14BC2=14AB2，即S△ABE=S△ADC+S△BFC，
∴S4+S5=S1+S2+S5+S3，
∴S4=S1+S2+S3．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．
【考点8 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】
【例8】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A．29B．32C．36D．45
【答案】D
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）
＝AC2−AB2
＝45．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
【变式8-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图， 在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF//BC交AC于M，若CM=4，则CE2+CF2的值为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．
【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=4，EF=8，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64．
故选：D．
【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.
【变式8-2】（2022·北京·首都师大二附八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=6，CD=10，则AD2+BC2=______．
【答案】136
【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，BO2+AO2=AB2，OD2+OC2=CD2，进一步得BO2+CO2+OA2+OD2=36+100，最后求得AD2+CB2=136．
【详解】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，
在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，BO2+AO2=AB2，OD2+OC2=CD2，
∴BO2+CO2+OA2+OD2=36+100， ，
∴AD2+CB2=BO2+CO2+OA2+OD2=136；
故答案为：136．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
【变式8-3】（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级阶段练习）如图，射线AM⊥AN于点A、点C、B在AM、AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于点E．
（1）若BC=10，直接写出AC2+AB2的值；
（2）若AC=8，△ABC的周长为24，求△ABC的面积；
（3）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，BE2−CE2的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围．
【答案】（1）100；（2）24；（3）是定值，值是36
【分析】（1）根据AC⊥AB，由勾股定理即可得解；（2）由△ABC周长及其三边符合勾股定理，列式，联立方程即可得AB和BC的长，代入三角形面积公式计算即可；（3）根据DE⊥BC，得Rt△BDE和Rt△DEC，故它们的三边符合勾股定理，联立即可解得．
【详解】解：（1）AC2+AB2=BC2=100．
（2）因为AM⊥AN，所以△ABC是直角三角形．
因为AC=8，△ABC的周长为24，所以AB=16−BC，
所以16−BC2+82=BC2，解得BC=10，所以AB=6，
所以S△ABC=12AC⋅AB=12×8×6=24．
（3）在Rt△BDE中，BE2=BD2−DE2，在Rt△DEC中，EC2=DC2−DE2，
所以BE2−EC2=BD2−DC2．
因为D为线段AC的中点，所以AD=DC，所以BE2−EC2=BD2−AD2．
在Rt△ABD中，BD2−AD2=AB2=62=36，
所以BE2−EC2=36（定值），
故在点C移动的过程中，BE2−EC2的值是定值，其值是36．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理的使用条件是解决本题的关键．
【考点9 利用勾股定理证明两条线段的平方和（差）】
【例9】（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．
【答案】证明见解析
【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2，继而证得结论
【详解】证明：∵ BD⊥AC，
∴ ∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
∴ 在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2，
在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2，
在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2，
∴ AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴ AD2+BC2＝AB2+CD2．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式9-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．
【答案】证明见解析
【分析】延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，证明△EDF≌△GDF（SAS），△BDE≌△CDG（SAS），根据全等三角形的性质得出BE＝CG，∠B＝∠BCG，进而可得AB∥CG，在Rt△FCG中，由勾股定理即可得证．
【详解】证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中
DF=DF∠EDF=∠FDG=90°DG=DE，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD＝DC
在△BDE和△CDG中，
BD=DC∠BDE=∠CDGDE=DG，
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE＝CG，∠B＝∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明∠GCA＝90°是解题的关键．
【变式9-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE=90°，连接AE．
(1)求证：△CEA≌△CDB；
(2)求证：BD2+AD2=DE2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=EC，∠ACB=∠DCE=90°，根据角的和差关系可得∠ACE=∠BCD，利用SAS即可证明△CEA≌△CDB；
（2）根据△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根据勾股定理即可得结论．
(1)
∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=EC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACD=∠DCE−∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△CDB与△CEA中，AC=BC∠ACE=∠BCDEC=CD，
∴△CDB≌△CEA．
(2)
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
由（1）得△CDB≌△CEA，
∴∠EAC=∠B=45°，BD=AE，
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AE2+AD2=DE2，
∴BD2+AD2=DE2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
【变式9-3】（2022·福建·漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，在Rt△ABD中，∠D=90°，AD与BC交于点E，且∠DBE=∠DAB．求证：
（1）∠CAE=∠DBC；
（2）AC2+CE2=4BD2．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理确定∠CEA+∠CAE=90°，∠DEB+∠DBC=90°，再根据等角的余角相等即可证明；
（2）延长BD交AC延长线于点F．先根据全等三角形的判定定理得到△ADF≌△ADB，进而得到BF=2BD，再根据全等三角形的判定定理得到△ACE≌△BCF，进而得到AE=2BD，最后根据勾股定理即可证明．
【详解】证明：（1）如下图所示，标出∠1，∠2，∠3．
∵∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠DBC=90°．
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2．
∴∠3=∠DBC，即∠CAE=∠DBC．
（2）在（1）中图延长BD交AC延长线于点F．
由（1）可知∠3=∠DBC，即∠3=∠DBE．
∵∠DBE=∠DAB，
∴∠3=∠DAB．
∵∠ADB=90°，
∴∠ADF=90°．
∴∠ADF=∠ADB．
在△ADF和△ADB中，
∵∠3=∠DAB,AD=AD,∠ADF=∠ADB,
∴△ADF≌△ADBASA．
∴FD=BD．
∴BF=2BD．
∵∠ACB=90°，即∠ACE=90°，
∴∠BCF=90°．
∴∠ACE=∠BCF．
由（1）可知∠3=∠DBC，即∠3=∠CBF．
在△ACE和△BCF中，，
∵∠3=∠CBF,AC=BC,∠ACE=∠BCF,
∴△ACE≌△BCFASA．
∴AE=BF．
∴AE=2BD
∵在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
∴AC2+CE2=2BD2=4BD2．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，勾股定理，综合应用以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用．
【考点10 利用勾股定理求面积】
【例10】（2022·四川广元·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1=48，S2+S3=135，则S4=（ ）
A．183B．87C．119D．81
【答案】B
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【详解】解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，
BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，
即S1+S4=S3+S2，
因此S4=135-48=87，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
【变式10-1】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB=90°．若AE=2，BE=3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．10B．13C．36D．169
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出AB2即可得出答案．
【详解】解：∵∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2=22+32=13，
∴正方形ABCD的面积＝AB2=13，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，即在直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．
【变式10-2】（2022·广东·河源市东华实验学校八年级期中）已知直角三角形的三边分别为7，n+1，n+2（n+2是斜边），则该三角形的面积为_________．
【答案】84
【分析】直角三角形的三边已知，且n+2是斜边，由勾股定理，即可求出n 的值，由此可求出答案．
【详解】解：直角三角形的三边分别为7，n+1，n+2（n+2是斜边），
∴72+(n+1)2=(n+2)2 ，即49+n2+2n+1=n2+4n+4，
∴2n=46 ，即n=23 ，
∴直角三角形的三边分别是：7 ，24 ，25（斜边） ，
∴三角形的面积是：12×7×24=84 ，
故答案是：84 ．
【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，三角形的面积，掌握直角三角形的勾股定理和面积公式是解题的关键．
【变式10-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是S1,S2,S3,S4，则S1+S2+S3+S4=__________．
【答案】12
【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．
【详解】解：如图，
∵∠EDC=∠CBA=∠ACE=90°，EC=CA，
∠ECD+∠ACB=∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠ECD=∠ACB，
∵在△CDE和△ABC中，
∠EDC=∠CBA∠ECD=∠CABEC=CA，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，
同理可证FG2+LK2=HL2=4，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．
【考点11 勾股定理在网格中的应用】
【例11】（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形变成都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)画一个三角形△ABC，使它的三边长分别为8，5，3.
(2)求方格图中所画的△ABC的面积
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）分别画出三边长为8，5，3的线段，顺次连线即可；
（2）利用三角形面积公式计算即可．
（1）
解：如图，
∵AB=22+22=8，AC=12+22=5，BC=3，
∴△ABC即为所求；
（2）
△ABC的面积=12×3×2=3．
【点睛】此题考查了勾股定理作图，计算网格中图形的面积，正确掌握勾股定理是解题的关键．
【变式11-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知△ABC三边长分别为22，13，17，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出△ABC的面积．请你帮助小迪计算出△ABC的面积；
（2）若△DEF三边长分别为5a，10a，13a，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出△DEF的面积；
（3）若△OPQ三边长分别为2m2+n2，9m2+16n2，m2+36n2，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出△OPQ的面积．
【答案】（1）5；（2）作图见解析，72a2；（3）作图见解析，7mn
【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可；
（2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积；
（3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积．
【详解】（1）△ABC的面积=3×4−12×1×4−12×2×2−12×2×3=5，
所以，△ABC的面积为5；
（2）5a是直角边长分别为a,2a的直角三角形的斜边长，10a是直角边长分别为a,3a的直角三角形的斜边长，13a是直角边长分别为3a,2a的直角三角形的斜边长，
作图如下：
△DEF的面积=3a×3a−12×a×2a−12×a×3a−12×2a×3a=72a2；
（3）2m2+n2是直角边长分别为2m,2n的直角三角形的斜边长，9m2+16n2是直角边长分别为3m,4n的直角三角形的斜边长，m2+36n2是直角边长分别为m,6n的直角三角形的斜边长，
格点三角形OPQ如图所示：
△OPQ的面积=3m⋅6n−12×2m×2n−12×3m×4n−12×m×6n=7mn．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式11-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校八年级阶段练习）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)使三角形的三边长分别为3，25，5（在图①中画一个即可）；
(2)使三角形为钝角三角形，且面积为6（在图②中画一个即可）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先在正方形网格中取线段长为整数的线段BC＝3，然后根据勾股定理找出点A的位置；
（2）先在正方形网格中取EF＝2；然后由三角形的面积公式入手，求得EF边上的高线的长度，最后根据钝角三角形的定义确定点D的位置．
（1）
解：如图所示，BC＝3，AB＝12+22=5，AC＝22+42=25，
△ABC即为所求；
（2）
解：如图所示：根据三角形的面积公式知，
12×EF×ℎD=6，即12×4×ℎD=6，
解得ℎD=3．
△DEF是符合题意的钝角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，作图﹣﹣应用与设计作图．此题属于开放题，答案不唯一，利用培养发散思维能力．
【变式11-3】（2022·江西赣州·八年级期末）在8×8的网格中，每个小正方形的边长都是1，仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留必要的作图痕迹）．
(1)在图1中，画一个面积为5的正方形．
(2)在图2中，画一个面积为92的正方形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）根据题意以及格点和勾股定理找到为5的线段作为正方形的边长即可求解．
（2）同理找到长为322的线段，即可求解．
（1）
如图面积为5的正方形 ，
∵正方形的边长为1+22=5，
∴正方形的面积为5
（2）
如图，面积为92的正方形
根据格点可得边长为12×32=322，则正方形的面积为92
【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图，勾股定理与网格，利用网格和勾股定理构造长为5以及32的线段是解题的关键．
【考点12 勾股定理在翻折中的应用】
【例12】（2022·山东·济南市章丘区宁家埠中学八年级阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6，BC＝8．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据折叠的性质可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，
在Rt△ABC中， AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB＝10，
BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=(8−x)2，
解得x＝3，
即CD＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【变式12-1】（2022·江苏镇江·八年级期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A．2−1B．2+12C．2D．2
【答案】A
【分析】首先根据矩形的性质，得出∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，然后再根据折叠的性质，得出∠ADE=45°，进而得出AE=AD，利用勾股定理，得出DE的长，再由第二次折叠，得出CD=DE，进而得出AB=2，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，
由第一次折叠得：∠DA'E=∠A=90°，∠ADE=12∠ADC=45°，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∴AE=AD=1，
在Rt△ADE中，
根据勾股定理得，DE=2AD=2，
由第二次折叠可知，CD=DE，
∴AB=2，
∴BE=AB−AE=2−1．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
【变式12-2】（2022·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____．
【答案】136##216
【分析】根据勾股定理列方程可求解
【详解】根据折叠知，AG=CD=2 ,
GE=DE,∠G=∠D=90∘
设AE=x ，则GE=3−x ．
根据勾股定理，得：
4+(3−x)2=x2
解得，x=136 ．
故答案为：136
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理的应用，利用折叠的性质，发现对应边、对应角的关系为关键．
【变式12-3】（2022·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝13BC，DE＝2，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是 _____．
【答案】53或203
【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：当P点在E点左边时，如图1，
由折叠性质得PC＝PH，DC＝DH，
∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，
∴BC＝10，
∵CD＝13BC，
∴CD=13×10=103，
∵DE⊥AC，DE＝2
∴CE=(103)2−22=83，
∴DH＝CD＝103，
∴EH＝ED+DH＝2+103＝163，
设PC＝x，则PH＝x，PE＝x-83，
∵PH2−PE2＝EH2，
∴ x2−x−832＝1632，
解得，x＝203，
即CP＝203；
当P点在E点右边时，如图2，
由折叠知，DH＝DC＝103，
∴EH＝DH﹣DE＝103−2=43，
设PC＝a，则PE＝CE-PC＝83-a，PH＝a，
∵ PH2−PE2＝EH2，
∴a2−83−a2＝432，
解得，a＝53，
即PC＝53；
综上，PC＝53或203．
故答案为：53或203．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．
【考点13 利用勾股定理求最值】
【例13】（2022·全国·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为2，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的中点，若AE=1，求EM+CM的最小值为（ ）
A．1B．2C．2D．3
【答案】D
【分析】先连接BM，再根据MB=MC，将EM+CM转化为EM+BM，最后根据两点之间线段最短，求得BE的长，即为EM+CM的最小值．
【详解】解：连接BM，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴MB=MC
当B、M、E三点共线时，EM+CM=EM+BM=BE
∵等边△ABC中，E是AC边的中点
∴直角三角形ABE中，BE=AB2−AE2=22−12=3
即EM+CM的最小值3
故选D.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
【变式13-1】（2022·广东湛江·八年级期末）如图Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______．
【答案】125##2.4##225
【分析】过C作CP1⊥AB于P1，由垂线段最短可知，当点P运动到点P1的位置时，CP最小，由勾股定理可得出AC=4，再由S△ABC=12BC×AC=12AB×CP1，即可得出答案．
【详解】解：过C作CP1⊥AB于P1，
由垂线段最短可知，当点P运动到点P1的位置时，CP最小，
在Rt△ABC中，AC=52−32=4，
∴S△ABC=12BC×AC=12AB×CP1，
∴12×3×4=12×5×CP1，
∴CP1=125，
∴则线段CP的最小值是:125，
故答案为：125．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂线段最短，等面积法求高，掌握勾股定理和垂线段最短是解题的关键．
【变式13-2】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，铁路上A、B两站相距8km，C、D为两个村庄，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC=2km，BD=4km，现在要在铁路AB上修建一个中转站P，使得P到C、D两村的距离和最短．请在图中画出P点的位置，并求出PC+PD的最小值．
【答案】图见解析，10km
【分析】根据轴对称求最短路线作出C点对称点C′，连接C′D即可得出P点位置，再利用勾股定理得出C′D即为中转站P到C、D两村庄的距离和最小值．
【详解】解：作C点关于AB的对称点C'，连接C'D与AB的交点就是P点
过C'作C'E⊥DB的延长线于点E
则BE=AC'=AC=2，C'E=AB=8
∴DE=BD+BE=6
在Rt△DEC'中
C'D2=DE2+C'E2=62+82=100
∴C'D=10
∴PC+PD的最小值为10km．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，根据已知得出P点位置是解题关键．
【变式13-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕，请回答下列问题：
（1）求线段DE的长度；
（2）若点P为线段AE上的一个动点，连接BP和FP，则线段BP+FP的最小值是 ．
【答案】（1）5；（2）241
【分析】（1）由折叠知AF＝AD＝10，设DE＝EF＝x，则EC＝DC−DE＝8−x，在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程即可得出答案；
（2）由折叠知：D、F关于AE对称，得PF＝PD，则BP＋PF＝BP＋PD≥BD，最小值即为BD的长．利用勾股定理求出其长度即可．
【详解】解：（1）长方形纸片ABCD中，折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，
则AF＝AD＝BC＝10，
BF＝AF2−AB2=102−82=6，
FC＝BC−BF＝10−6＝4，
∵折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，
∴DE＝EF，
设DE＝EF＝x，
则EC＝DC−DE＝8−x，
又∵△EFC为直角三角形，
∴FC2＋EC2＝FE2，
即42＋（8−x）2＝x2，
∴x＝5，
∴DE＝5；
（2）连接BP，PF，PD，BD，
∵折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，
∴D、F关于AE对称，
∴PF＝PD，
则BP＋PF＝BP＋PD≥BD，
∴BP＋PF最小为BD，
BD＝BC2+DC2=102+82=241，
∴BP＋PF最小值为：241．
故答案为：241．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理的应用等知识，明确点D、F关于AE对称是解题的关键．
【考点14 勾股定理的证明】
【例14】（2022·安徽省安庆市外国语学校八年级期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积
从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2＋b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，已知yx=32．
【答案】【探索新知】a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；【初步运用】（1）5：9；（2）28；【迁移运用】a2＋b2＋ab＝c2，理由见解析
【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题；
【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积-2个直角三角形的面积计算即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积＋小正三角形面积，构建关系式即可．
【详解】解：[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a＋b）2＝c2＋4×12ab，
∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2，
故答案为：a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；
[初步运用]（1）由题意：b＝2a，
∴c=a2+b2=5a，
∴小正方形面积：大正方形面积=c2：a+b2=5a2:9a2=5:9，
故故答案为5：9．
（2）由题意得：空白部分的面积＝小正方形的面积-2个直角三角形的面积
∴空白部分的面积为=a2+b2−2×12ab=a2+b2−ab=28．
故答案为28．
[迁移运用]结论：a2＋b2＋ab＝c2．
理由：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，过点G作GH⊥EM于H，过点E作EF⊥AB于F，
由题意：AD=32AB=32a+b，EF=32a，GH=32c，
∵大正三角形面积＝三个全等三角形面积＋小正三角形面积
∴12a+b⋅32a+b=3×12b⋅32a+12c⋅32c，
∴（a＋b）2＝3ab＋c2，
∴a2＋b2＋ab＝c2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题的关键．
【变式14-1】（2022·江苏·八年级单元测试）（1）【阅读】
公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于__________，这个结论在中国称之为“勾股定理”．
（2）【验证】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程，请你将他下面的证明过程补充完整：
已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c．
求证：a2+b2=c2
证明：由图可知S正方形ABDE=4S△ABC+S正方形FCHG
∵S正方形ABDE=c2，S△ABC=________，正方形FCHG边长为________，
∴c2=4×12ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2
即c2=a2+b2．
（3）【操作】
如图2，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l，过点D作DE⊥l，垂足分别为C、E．
求证：CE＝BC＋DE．
（4）【发现】聪聪认真观察图2后发现：如果设AC＝b，BC＝a，AB＝c，此图也可以利用面积法证明勾股定理．请你帮聪聪完成证明过程．
（5）【拓展】
如图3．将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，直接写出该飞镖状图案的面积．
【答案】（1）斜边的平方；（2）12ab，(a﹣b)；（3）见解析；（4）见解析；（5）飞镖状图案的面积＝24
【分析】（1）由勾股定理内容可知；
（2）根据图形可得；
（3）证明Rt△ABC≌Rt△DAE，可得BC=AE，AC=DE，转化线段即可；
（4）运用等面积法表示梯形BCED的面积，变形即可；
（5）首先求出AB=5，可知OB=3，OA=4，可求飞镖图形的面积．
【详解】（1）斜边的平方．
（2）S△ABC＝12ab，正方形FCHG边长为（a﹣b）．
（3）解：在等腰直角三角板ABD中
由已知得AD＝AB，∠BAD＝90°
∴∠BAC＋∠DAE＝90°
又∵BC⊥l，DE⊥l
∴∠BCA＝∠DEA＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90°
∴∠DAE＝∠ABC
∴Rt△ABC≌Rt△DAE（AAS）
∴BC＝AE，AC＝DE
又∵CE＝AC＋AE
∴CE＝BC＋DE．
（4）解：由上可知BC＝AE＝a，AC＝DE＝b
∴S梯形BCED＝12(BC＋DE)×CE＝12(a＋b)2＝12a2＋ab＋12b2
又∵S梯形BCED＝S△ABC＋S△ABD＋S△ADE＝12ab＋12c2＋12ab
∴12a2＋ab＋12b2＝12ab＋12c2＋12ab
整理得a2＋b2＝c2
（5）解：∵飞镖模型的周长为24，观察可知4（AB+AC）=24
∴AB+AC=6
∵OB=OC
∴AB=5，OB=3，OA=4
∴飞镖状图案的面积＝4S△ABO＝4×12×3×4＝24．
【点睛】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
【变式14-2】（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a， b （a(1)结合图①，求证：a2+b2=c2；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH=6．求该图形的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，S1+S2+S3=24，S2= ．
【答案】(1)见解析
(2)S=96；
(3)8
【分析】（1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可；
（2）设AH=BC=x，则AB=12-x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的长，从而解决问题；
（3）设正方形EFGH的面积为x，其他八个全等三角形的面积为y，则S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，根据S1+S2+S3=24，即可得出x+4y=8．
（1）
证明：S小正方形=(b−a)2=a2−2ab+b2，
S小正方形=c2−4×12ab=c2−2ab，
即b2−2ab+a2=c2−2ab，
∴a2+b2=c2；
（2）
解：∵AB+BC=48÷4=12，
设AH=BC=x，则AB=12-x，OB=OH=6．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OB2+OA2=AB2，
即62+(6+x)2=(12−x)2，
解得：x=2，
∴AB=12-x=10，
∴S=12×6×8×4=96；
（3）
解：设正方形EFGH的面积为x，其他八个全等三角形的面积为y，
∵S1+S2+S3=24，
∴S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=24，
∴x+4y=8，
∴S2=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思想、方程思想是解题的关键．
【变式14-3】（2022·山东济宁·八年级期中）如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．
(1)求证：DE⊥AB；
(2)若已知BC=a，AC=b，AB=c，请借助本题提供的图形，用等积法证明勾股定理a2+b2=c2．
（提示：用两种不同的方法表示出△ABD的面积）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，进而求出∠BFD=90°，即可得出答案；
（2）根据S△ABD=12⋅AB⋅DF,S△ABE=12⋅AB⋅EF=12⋅cx,S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE，得出a2+b2=c2即可．
（1）
证明：∵AC⊥BD，
∴△ABC和△DCE都是直角三角形，
∵CA=CD，DE=AB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCE(HL)，
∴∠BAC=∠CDE，
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠CDE+∠ABC=90°，
∴∠BFD=90°，
∴DE⊥AB；
（2）
解：∵Rt△ABC≌Rt△DCE，
∴DE=AB=c，CE=BC=a，
设EF=x，则DF=c+x，
∵DE⊥AB，
∴S△ABD=12⋅AB⋅DF=12⋅c⋅(c+x)，S△ABE=12⋅AB⋅EF=12⋅cx，
∵S△ABD=S△ACD+S△BCE+S△ABE，
∴12⋅c⋅(c+x)=12⋅cx+12⋅a2+12⋅b2，
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用面积关系证明勾股定理是本题的关键．
【考点15 勾股定理与无理数】
【例15】（2022·山东·青岛超银中学八年级期中）为了比较17与10+1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通过计算可得17__10+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】＜
【分析】依据勾股定理即可得到AD＝CD2+AC2=10，AB＝AC2+BC2＝17，BD＝BC－CD＝1，BD+AD＝10+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到17＜10+1．
【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AC＝1，
∴AD＝CD2+AC2=10，AB＝AC2+BC2＝17，BD＝BC－CD＝1，
∴BD+AD＝10+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴17＜10+1，
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边.
【变式15-1】（2022·河南·郑州外国语中学八年级期中）如图，长方形 OABC 放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交数轴于 P 点，则 P 点表示的数为（ ）
A．2﹣5B．﹣5
C．5−2D．5−3
【答案】A
【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可．
【详解】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1，
∴由勾股定理得，AC=22+12=5，
∴AP=5，
∵点A表示的数是2，
∴点P表示的数是2-5．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，主要是无理数在数轴上的表示，熟记定理是解题的关键．
【变式15-2】（2022·安徽黄山·八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【详解】如图所示：
AB＝52+12=26，故是无理数;
BC=22+32=13,故是无理数;
AC=32+42=5,故不是无理数.
所以无理数的边长有2个.
故选C.
【变式15-3】（2022·江西·南昌市心远中学八年级期末）某课外学习小组在一次活动中．对如何画出在数轴上表示“±a(a≥0的整数”一类实数点的方法进行如下探讨：
A同学说：按照下图可画出表示(第1个数)2(第2个数)5，（第3个数）10，(第n个数)的7点；
B同学说：我找到了表示−5,−8,−13,−−n2+4点的画法，如图2
C同学说：以上两位同学的方法都不能在数轴上画出，表示3,7等无理数点来．我可以在A同学的基础上完美地画出表示“±a(a≥0的整数)”型实数的点
问题
1按A同学的画法，第4个数应是 ．第n个数是 ．
2请你在图2上补画出表示−8,−13,−20,⋅⋅⋅,−n2+4的点；
3C同学说的更完美的方法你能画出吗?若能使用直尺和圆规在同一数轴上画出表示：5,6,7的点来表达其画法，若不能请说明理由，
【答案】（1）17；n2+12；（2）见解析；（3）见解析；
【分析】（1）由题意可得，第4个数是以4，1为直角边构成的直角三角形斜边长，根据勾股定理即可求解；第n个数是以n，1为直角边构成的直角三角形斜边长，勾股定理求解即可；
（2）在-2处，作垂直于x轴且长度为2的线段，再画弧即可，同理可求得−13,−20,⋅⋅⋅,−n2+4；
（3）按照（1）中的方法，做出5的点，过该点作垂直于x轴且长度为1的线段，然后画弧与x轴正半轴交点即表示6，同理可求7．
【详解】解：（1）由题意可得，第4个数是以4，1为直角边构成的直角三角形斜边长，
由勾股定理得，斜边长为42+12=17，即第四个数应是17，
第n个数是以n，1为直角边构成的直角三角形斜边长，
由勾股定理得，斜边长为n2+12，第n个数是n2+1，
故答案为17；n2+1
（2）∵8=22=22+22
∴8为以2，2为直角边构成的直角三角形斜边长
同理可得：13为以3，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
20为以4，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
n2+4为以n，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
分别在-2、-3，-4，−n处，作垂直于x轴且长度为2的线段，原点为圆心，以对应的斜边长为半径，画弧，与负半轴的交点即表示−8,−13,−20,⋅⋅⋅,−n2+4，如下图：
（3）按照（1）中的方法做出表示5的点，过该点作垂直于x轴且长度为1的线段，
以5,1为直角边作直角三角形，此时斜边长为(5)2+12=6，以原点为圆心，以6长画弧，与x轴正半轴交点即表示6，
同理以过6的点作垂直于x轴且长度为1的线段，
以6,1为直角边作直角三角形，此时斜边长为(6)2+12=7，以原点为圆心，以7长画弧，与x轴正半轴交点即表示7，如下图：
【点睛】此题考查了勾股定理在数轴上的应用，理解题意找到无理数的平方对应的整数平方和，构造直角三角形是解题的关键．
【考点16 判断是否是直角三角形】
【例16】（2022·全国·八年级单元测试）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有__．（填序号）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】只需计算两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出答案．
【详解】解：（1）62+82＝102，可以构成直角三角形；
（2）52+122＝132，能构成直角三角形；
（3）82+152＝172，能构成直角三角形；
（4）52+42≠62．不能构成直角三角形；
故答案为：（1）（2）（3）．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，熟记勾股定理的逆定理，正确计算是解题的关键．
【变式16-1】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．
(1)求BD的长．
(2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由？
【答案】(1)5
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理求解即可．
（1）
如图，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°，
∴由勾股定理得BD2=AB2+AD2=32+42=25，
即BD=5
（2）
△BCD是直角三角形．理由如下：
在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，
∴BC2=169，BD2+CD2=52+122=169，
∴BC2=BD2+CD2，
∴△BCD是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
【变式16-2】（2022·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．
(1)求BC的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)判断△ABC的形状．
【答案】(1)15
(2)150
(3)△ABC是直角三角形
【分析】1 )根据勾股定理求出BC即可；
(2)根据勾股定理求出AD，根据AB＝AD+BD求出AB，再求出面积即可；
(3)根据勾股定理的逆定理判断即可．
（1）
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
由勾股定理得：BC＝CD2+BD2=122+92=15；
（2）
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝AC2−CD2=202−122=16，
∵BD＝9，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
∴△ABC的面积S＝12×AB×CD=12×25×12=150；
（3）
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
【变式16-3】（2022·重庆·八年级期中）有一旅游景点C在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头A，B.并且AB=AC，由于某种原因，由C到A的路已经不通，为方便游客决定在河边H点新建一个码头(点A，H，B在同一直线上)，并新修一条笔直的公路CH，测得BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米．
(1)判断△BCH的形状，并说明理由；
(2)求原路线AC的长．
【答案】(1)△BCH是直角三角形，理由见解析
(2)原来的路线AC的长为253千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=x−6千米，在Rt△ACH中根据勾股定理解答即可．
（1）
△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△BCH是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）
设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=x−6千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=(x−6)2+82．
解得x=253，
答：原来的路线AC的长为253千米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
【考点17 利用勾股定理构造图形解决实际问题】
【例17】（2022·山东德州·八年级期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
【答案】D
【分析】过点D作DE⊥AB于E，得到CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE，进而得到BE=AB−AE=1.6米，即可得出答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD=BE，DE=BC=1.2米，
在Rt△ADE中，
AD=1.5米，
由勾股定理得
AE=AD2−DE2=1.52−1.22=0.9（米），
∴BE=AB−AE=2.5−0.9=1.6（米），
∴CD=BE=1.6米．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式17-1】（2022·青海·大通回族土族自治县东峡民族中学八年级期中）如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5
【答案】C
【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．
【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：
故ℎ最大=18−12=6cm；
∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：
在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则
AB=BC2+AC2
=52+122
=13cm，
∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，
∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，
∴h的取值范围是5≤h≤6，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．
【变式17-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（ ）
A．40mB．45mC．30mD．35m
【答案】C
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【详解】解：∵OA是东北方向，OB是东南方向，
∴∠AOB=90°，
又∵OA=24m，OB=18m，
∴AB=OA2+OB2=242+182=30m．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【变式17-3】（2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级期中）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____．
【答案】x=877km
【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【详解】如图，
连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4，
由勾股定理得AN=MN2−AM2=7，
设NP=xkm，则PM=xkm，
∴PA=（7 -x）km，
在Rt△MAP中，由勾股定理得
32+(7−x)2=x2，
解得x=877．
故答案为：x=877km
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题．
【考点18 利用勾股定理确定在几何体中的最短距离】
【例16】（2022·贵州·兴仁市屯脚镇屯脚中学八年级阶段练习）
(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为3m，2m，1m，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
(2)如图2，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，AA1=14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】(1)101
(2)昆虫乙至少需要857秒钟才能捕捉到昆虫甲
【分析】（1）将长方体展开，连接AC，结合题意，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意得最短路径相等，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C1爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，根据勾股定理，列出方程求解即可．
（1）
解：如图，将长方体展开，连接AC，
∵长方体的长、宽、高分别为3m，2m，1m，
∴这根细线最短的长为：AC=12+(3+3+2+2)2=101m；
故答案为：101
（2）
解：设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，
如图，在Rt△ACF中，
∵长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，AA1=14cm，
∴AF=1⋅x=xcm，C1F=1⋅x=xcm，CF=14−xcm，AC=12cm，
∴x2=122+14−x2，
解得：x=857．
答：昆虫乙至少需要857秒钟才能捕捉到昆虫甲．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解本题的关键．
【变式18-1】（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 ________ 米．
【答案】533
【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答．
【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开， 展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为18+2×2=22米；宽为7米．
于是最短路径为：222+72=533（米）．
故答案为：533．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
【变式18-2】（2022·新疆师范大学附属中学八年级期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cmB．261cmC．23cmD．241cm
【答案】A
【分析】将容器的侧面展开，作A点关于EF的对称点A'，根据两点之间线段最短可知A'B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A'B即可．
【详解】解：如图，将容器的侧面展开，作A关于EF的对称点A'，连接A'B，则A'B即为最短距离，
由题意知A'D=5cm，A'E=AE=2cm，BD=12−2+A'E=12cm，
则由勾股定理得：A'B＝A'D2+BD2＝52+122＝13（cm）．
故选：A．
【点睛】本题考查了立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．
【变式18-3】（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校八年级阶段练习）图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．241B．265C．65D．82
【答案】A
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴BD=CD+BC=10+2=12，AD=6，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=122+62=65；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴BD=CD+BC=6+2=85，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=82+102=241；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴AC=CD+AD=6+10=16，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=22+162=265；
∵241<65<265，
∴蚂蚁爬行的最短距离是241，
故选：A．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
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