数学第三章 勾股定理3.1 勾股定理获奖ppt课件

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希腊为纪念一个重要数学定理而发行的邮票
相传在2500多年以前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形的某种数量关系．
观察一下，你能从中发现什么数量关系吗?
相传2500多年前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，看到朋友家用砖铺成的地面图案，发现了直角三角形三边的某种关系（如图）：
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？
等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
问题3　网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法1：补形法(把正方形C补成各边都在网格线上的正方形）：
方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面积的三角形和四边形）：
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
也就是说，由这三个正方形围成的直角三角形的三边也满足两直角边的平方和等于斜边的平方这种关系。
由上面的几个例子，我们不难得到这样的猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）
下面动图形象的说明命题1的正确性
我们的猜想该如何证明呢？
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
妙解归纳：两种方法计算一个图形的面积，得到一个等量关系，从而解决问题.
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
证法2 毕达哥拉斯证法
如图，图中的四个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
勾股定理: 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）.
现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以我们刚刚猜想的命题1在我国叫做勾股定理.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论。由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
为什么叫勾股定理这个名称呢？
国外又叫毕达哥拉斯定理
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系（即直角三角形三边关系），古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。
勾股定理也有很多别称，也叫毕达哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驴桥定理和埃及三角形等。
勾股定理被誉为“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。在我们今后的几何计算题和推理题中都有着广泛的应用。
迄今为止，勾股定理大约有500多种证明方法，是证明方法最多的定理之一。
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°.
x2+(2x)2=52，
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理得
(2x)2-x2=152，
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
【变式2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
1.下列说法中,正确的是 （ ）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB= ．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ，∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ．
解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝ AE·BE＝ AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2，∴S△ABE＝ AB2＝ ；同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为 AB2＝ .
4.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
能否用勾股定理解决这个问题？
(2)如果能，直角边的长分别为多少？
直角边的长分别为2、3
利用勾股定理在数轴上表示实数
在数轴上找到点A，使OA=3；
作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数.
利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法：
利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角三角形的斜边；以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
解：(1)数轴上找到点A，使OA4；(2)作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB1；(3)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.
【例2】如图，等边三角形的边长是6.求：(1)高AD的长；(2)这个三角形的面积.
解：(1)等边三角形ABC中AD⊥BC于D，则BDCD3.在Rt△ABD中，根据勾股定理AD2AB2BD2623227，得AD .
(2) S△ABC  BC·AD 6
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型”图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？
达·芬奇对勾股定理的证明
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得
1.求下列图中表示边长的未知数x、y、z的值.
(1) (2) (3)
解：(1) x10； (2) y5 ； (3) z7.
2.(1)直角△ABC的两条直角边a=24，b=32，斜边c=______．
(2)直角△ABC的一条直角边a=10，斜边c=26，则b=______．
3.已知：Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，则BC= .
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边.
4.如图，点C表示的数是(　　) A．1 B. C．1.5 D.
5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在 网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有(　 ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
6.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应3、3，作腰 长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半 径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 .
7.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是(　　)
A.c2=a2+b2　　　　B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)2
8.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形， 以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边， 画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个 等腰直角三角形的斜边长是_______．
S1+S2+S3+S4
　　通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干　个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一　棵美丽的勾股树．
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²b²c².
1.勾股定理的适用条件：在直角三角形中；2.熟悉常见的公式变形；3.当不能确定哪条边是斜边时，需分类讨论.