北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题2.4解一元二次方程-一因式分解法(能力提升)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题2.4解一元二次方程-一因式分解法(能力提升)(原卷版+解析)，共18页。
专题2.4 解一元二次方程-一因式分解法（能力提升）（原卷版）一、选择题。1．（2021•深圳模拟）方程x（x﹣6）＝0的解是（　　）A．x＝6 B．x1＝0，x2＝6 C．x＝﹣6 D．x1＝0，x2＝﹣62．（2022•呼兰区校级模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　）A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝23．（2021•红桥区模拟）方程x2+x﹣6＝0的两个根为（　　）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝34．（2021秋•奎屯市月考）若关于x的一元二次方程的根分别为﹣5，7，则该方程可以为（　　）A．（x+5）（x﹣7）＝0 B．（x﹣5）（x+7）＝0 C．（x+5）（x+7）＝0 D．（x﹣5）（x﹣7）＝05．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）A．6 B．10 C．12 D．246．（2022春•八步区期末）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）A．12 B．9 C．15 D．12或157．（2022•碧江区 一模）若一个三角形的两边长分别是4和7，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　）A．13 B．18 C．15 D．168．（2021秋•绥宁县期末）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（　　）A．13 B．18 C．22 D．269．（2021•潍坊）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）A． B．4 C．2 D．510．（2022春•南湖区校级期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）A．4或5 B．3 C． D．3或二、填空题。11．（2021秋•工业园区校级期中）方程x2﹣x＝56的根是 　 　．12．（2021秋•镇江期中）小明在解一元二次方程x2＝2x时，只得到一个根x＝2，则被他漏掉的一个根是x＝　 　．13．（2021春•禹城市月考）若实数x，y满足（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为　 　．14．（2021秋•深圳期中）在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为　 　．15．（2021秋•通川区校级期中）关于x的代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，当m＝　 　时，代数式为完全平方式．16．（2021秋•顺德区月考）y＝　 　时，y2+5y与6互为相反数．17．（2021秋•宽城区校级月考）一元二次方程2x2﹣4x＝0的根是　 　．18．（2022春•淄川区期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：x2+bx+c＝　 　．三、解答题。19．（2021秋•怀化期末）用适当的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣1＝0； （2）3x（x﹣1）＝1﹣x．20．（2021秋•玄武区期末）解下列一元二次方程：（1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．21．（2021春•平桂区 期中）解方程．（1）2（x+1）＝x（x+1）； （2）x2+3x+1＝0．22．（2021春•天心区期末）解一元二次方程：（1）（x﹣3）2＝18； （2）3x（2x+1）＝4x+2．23．（2021春•市中区期末）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0．（2）解方程：+＝1．24．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．25．（2022春•洛龙区期中）（1）a﹣b＝2，求（）的值；（2）解方程3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2．26．（2022春•广州期中）先化简再求值：．其中x是方程2x2+x﹣1＝0的根．27．（2021秋•陈仓区期中）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．28．（2021秋•苏州期中）已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常数）．（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．29．（2021秋•台州期中）按要求解方程：30．（2021春•上城区校级期末）阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．（1）小聪同学解方程的过程如下，请指出最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．2x（x﹣1）＝3（x﹣1）解：两边除以（x﹣1），得2x＝3①系数化为1，得x＝1.5②最早出现错误的步骤序号：　　你的解答过程：2x（x﹣1）＝3（x﹣1）（2）小明同学解方程的过程如下，请指出最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．（x﹣3）2＝9解：两边开平方，得x﹣3＝3①移项，合并同类项，得x＝6②最早出现错误的步骤序号：　　你的解答过程：（x﹣3）2＝9（3）解方程：x2﹣4x﹣5＝0专题2.4 解一元二次方程-一因式分解法（能力提升）（解析版）一、选择题。1．（2021•深圳模拟）方程x（x﹣6）＝0的解是（　　）A．x＝6 B．x1＝0，x2＝6 C．x＝﹣6 D．x1＝0，x2＝﹣6【答案】B。【解答】解：x（x﹣6）＝0x＝0或x﹣6＝0解得x1＝0，x2＝6．故选：B．2．（2022•呼兰区校级模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　）A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2【答案】D。【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．故选：D．3．（2021•红桥区模拟）方程x2+x﹣6＝0的两个根为（　　）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3【答案】B。【解答】解：∵x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，则x+3＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，故选：B．4．（2021秋•奎屯市月考）若关于x的一元二次方程的根分别为﹣5，7，则该方程可以为（　　）A．（x+5）（x﹣7）＝0 B．（x﹣5）（x+7）＝0 C．（x+5）（x+7）＝0 D．（x﹣5）（x﹣7）＝0【答案】A。【解答】解：∵（x+5）（x﹣7）＝0∴x+5＝0或x﹣7＝0∴x1＝﹣5，x2＝7故选：A．5．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）A．6 B．10 C．12 D．24【答案】C。【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为×4×6＝12；法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，∴ab＝24，则这个菱形的面积为ab＝12．故选：C．6．（2022春•八步区期末）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）A．12 B．9 C．15 D．12或15【答案】C。【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．7．（2022•碧江区 一模）若一个三角形的两边长分别是4和7，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　）A．13 B．18 C．15 D．16【答案】B。【解答】解：∵x2﹣10x+21＝0，∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，∴x＝3或x＝7，当x＝3时，∵4+3＝7，∴4、3、7不能组成三角形，当x＝7时，∵4+7＞7，∴4、7、7能够组成三角形，∴这个三角形的周长为4+7+7＝18，故选：B．8．（2021秋•绥宁县期末）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（　　）A．13 B．18 C．22 D．26【答案】C。【解答】解：∵x2﹣13x+36＝0，∴（x﹣4）（x﹣9）＝0，则x﹣4＝0或x﹣9＝0，解得x1＝4，x2＝9，则此三角形第三边的长度需满足5＜第三边长度＜13，所以此三角形的周长需满足18＜周长＜26，故选：C．9．（2021•潍坊）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）A． B．4 C．2 D．5【答案】A。【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2， 即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．10．（2022春•南湖区校级期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）A．4或5 B．3 C． D．3或【答案】D。【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，分为两种情况：①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为＝；②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为＝3，所以第三边长为3或，故选：D．二、填空题。11．（2021秋•工业园区校级期中）方程x2﹣x＝56的根是 　x1＝8，x2＝﹣7　．【答案】x1＝8，x2＝﹣7。【解答】解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝8，x2＝﹣7，故答案为：x1＝8，x2＝﹣7．12．（2021秋•镇江期中）小明在解一元二次方程x2＝2x时，只得到一个根x＝2，则被他漏掉的一个根是x＝　0　．【答案】0。【解答】解：方程x2＝2x，移项得：x2﹣2x＝0，分解因式得：x（x﹣2）＝0，可得x＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝0，x2＝2，则被他漏掉的一个根是x＝0．故答案为：0．13．（2021春•禹城市月考）若实数x，y满足（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为　﹣2或1　．【答案】﹣2或1。【解答】解：（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，可得：x+y+2＝0或x+y﹣1＝0，解得：x+y＝﹣2或1．故答案为：﹣2或114．（2021秋•深圳期中）在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为　x1＝3，x2＝8　．【答案】x1＝3，x2＝8。【解答】解：变形为：（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，x﹣3＝0，x﹣3﹣5＝0，解得：x1＝3，x2＝8．故答案为：x1＝3，x2＝8．15．（2021秋•通川区校级期中）关于x的代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，当m＝　4或8　时，代数式为完全平方式．【答案】4或8。【解答】解：∵m+2＝±2×1×，∴（m+2）2＝4（4m﹣7），∴m2﹣12m+32＝0，∴（m﹣4）（m﹣8）＝0，∴m1＝4，m2＝8∴当m＝4或8时，代数式为完全平方式．16．（2021秋•顺德区月考）y＝　﹣2或﹣3　时，y2+5y与6互为相反数．【答案】﹣2或3。【解答】解：∵y2+5y与6互为相反数，∴y2+5y+6＝0，∴（y+2）（y+3）＝0，∴y+2＝0或y+3＝0，∴y1＝﹣2，y2＝﹣3．故答案为﹣2或3．17．（2021秋•宽城区校级月考）一元二次方程2x2﹣4x＝0的根是　x1＝0，x2＝2　．【答案】x1＝0，x2＝2。【解答】解：2x2﹣4x＝0，2x（x﹣2）＝0，2x＝0，x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2，故答案为：x1＝0，x2＝2．18．（2022春•淄川区期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：x2+bx+c＝　（x﹣2）（x+3）　．【答案】（x﹣2）（x+3）。【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3），故答案为：（x﹣2）（x+3）．三、解答题。19．（2021秋•怀化期末）用适当的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣1＝0；（2）3x（x﹣1）＝1﹣x．【解答】解：（1）x2+2x＝1，x2+2x＝1＝2，（x+1）2＝2，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+1）＝0，x﹣1＝0或3x+1＝0，所以x1＝1，x2＝﹣．20．（2021秋•玄武区期末）解下列一元二次方程：（1）2x2﹣x﹣1＝0；（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0（2x+1）（x﹣1）＝0，故2x+1＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝1，；（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2，（2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0，则3x（x+2）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝0．21．（2021春•平桂区 期中）解方程．（1）2（x+1）＝x（x+1）；（2）x2+3x+1＝0．【解答】解：（1）2（x+1）＝x（x+1），x（x+1）﹣2（x+1）＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2；（2）x2+3x+1＝0，a＝1，b＝3，c＝1，则Δ＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．22．（2021春•天心区期末）解一元二次方程：（1）（x﹣3）2＝18；（2）3x（2x+1）＝4x+2．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝36，∴x﹣3＝±6，∴x1＝9，x2＝﹣3；（2）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）（3x﹣2）＝0，2x+1＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝﹣，x2＝．23．（2021春•市中区期末）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0．（2）解方程：+＝1．【解答】解：（1）方程x2﹣4x+3＝0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）＝0，可得x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝3；（2）去分母得：（x+1）2+4＝x2﹣1，解得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣3．24．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．方法二：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∴（4m）2﹣4×3m2＝4，∴m＝±1，又m＞0，∴m＝1．25．（2022春•洛龙区期中）（1）a﹣b＝2，求（）的值；（2）解方程3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2．【解答】解：（1）（）＝•＝•＝，当a﹣b＝2时，原式＝＝；（2）3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2，3（2x﹣5）﹣（2x﹣5）2＝0，（2x﹣5）（3﹣2x+5）＝0，（2x﹣5）（8﹣2x）＝0，2x﹣5＝0或8﹣2x＝0，x1＝2.5，x2＝4．26．（2022春•广州期中）先化简再求值：．其中x是方程2x2+x﹣1＝0的根．【解答】解：原式＝÷＝•＝，∵2x2+x﹣1＝0，∴（2x﹣1）（x+1）＝0，2x﹣1＝0或x+1＝0，∴x1＝，x2＝﹣1，∵x＝﹣1分式没有意义，∴x的值为，当x＝时，原式＝＝﹣1．27．（2021秋•陈仓区期中）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．【解答】解：小敏：错误；小霞：错误．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．28．（2021秋•苏州期中）已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常数）．（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．【解答】解：（1）把a＝2代入一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0得2x2﹣3x+1＝0，则（2x﹣1）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1；（2）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0两根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，∴x12+x22＝（）2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，∴（）2﹣2×＝5，解得a1＝﹣3（负值舍去），a2＝5．故a的值为5．29．（2021秋•台州期中）按要求解方程：【解答】解：（1）最早出现错误的步骤序号：①，正确过程如下：∵2x（x﹣1）＝3（x﹣1），∴2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝1.5；故答案为：①；（2）最早出现错误的步骤序号：①，正确解答过程：∵（x﹣3）2＝9，∴x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，解得x1＝6，x2＝0，故答案为：①．（3）∵x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，则x﹣5＝0或x+1＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1．30．（2021春•上城区校级期末）阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0，（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）．（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．（1）小聪同学解方程的过程如下，请指出最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．2x（x﹣1）＝3（x﹣1）解：两边除以（x﹣1），得2x＝3①系数化为1，得x＝1.5②最早出现错误的步骤序号：　①　你的解答过程：2x（x﹣1）＝3（x﹣1）（2）小明同学解方程的过程如下，请指出最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．（x﹣3）2＝9解：两边开平方，得x﹣3＝3①移项，合并同类项，得x＝6②最早出现错误的步骤序号：　①　你的解答过程：（x﹣3）2＝9（3）解方程：x2﹣4x﹣5＝0