北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题2.4 解一元二次方程-因式分解法（知识解读）

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专题2.4 解一元二次方程-因式分解法（知识解读）【直击考点】 【学习目标】理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；2.理解并掌握用换元法解一元二次方程，化繁为易。【知识点梳理】考点 1 解一元二次方程-因式分解 ：因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。考点2 换元法解一元二次方程：（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。【典例分析】【考点1 解一元二次方程-因式分解法】【例1】（2021秋•任丘市期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解为（　　）A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2【变式1-1】（2021秋•陵水县期末）方程x2＝2x的解是（　　）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0【变式1-2】（2021秋•河东区期末）方程x2＝x的解是（　　）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0【变式1-3】（2021秋•上蔡县期末）方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（　　）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．【例2】（2021秋•玄武区期末）用因分解法解下列一元二次方程：（1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．【变式2-1】（2022春•义乌市月考）解方程：（1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．【变式2-2】（2021秋•昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．【变式2-3】（2021秋•天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6．【考点2 换元法解元二次方程】【例3】（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（　　）A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2【变式3-1】（2022•芜湖一模）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3【变式3-2】（2022春•蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4【变式3-3】（2021秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．所以原方程的根为，，，．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．专题2.4 解一元二次方程-因式分解法（知识解读）【直击考点】 【学习目标】理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；2.理解并掌握用换元法解一元二次方程，化繁为易。【知识点梳理】考点 1 解一元二次方程-因式分解 ：因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。考点2 换元法解一元二次方程：（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。【典例分析】【考点1 解一元二次方程-因式分解法】【例1】（2021秋•任丘市期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解为（　　）A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2【答案】D【解答】解：∵x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，∴x1＝0，x2＝﹣2，故选：D．【变式1-1】（2021秋•陵水县期末）方程x2＝2x的解是（　　）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0【答案】C【解答】解：移项得，x2﹣2x＝0，提公因式得x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2，故选：C．【变式1-2】（2021秋•河东区期末）方程x2＝x的解是（　　）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0【答案】D【解答】解：x2＝x，移项得x2﹣x＝0，提公因式得x（x﹣1）＝0，解得x1＝1，x2＝0．故选：D．【变式1-3】（2021秋•上蔡县期末）方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（　　）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．【答案】D【解答】解：3x（x﹣2）＝x﹣2，3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣1）＝0，x﹣2＝0或3x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝．故选：D．【例2】（2021秋•玄武区期末）用因分解法解下列一元二次方程：（1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．【答案】（1）x1＝1， （2）x1＝﹣2，x2＝0【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0（2x+1）（x﹣1）＝0，故2x+1＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝1，；（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2，（2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0，则3x（x+2）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝0．【变式2-1】（2022春•义乌市月考）解方程：（1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣7 （2）x1＝5，x2＝13．【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，分解因式得：（x﹣1）（x+7）＝0，所以x﹣1＝0或x+7＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣7；（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5），移项得：（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）[（x﹣5）﹣8]＝0，所以x﹣5＝0或x﹣13＝0，解得：x1＝5，x2＝13．【变式2-2】（2021秋•昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1； （2）x1＝7，x2＝1【解答】解：（1）（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1；（2）（x﹣7）（1﹣x）0，x﹣7＝0或1﹣x＝0，所以x1＝7，x2＝1．【变式2-3】（2021秋•天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6．【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣3 （2）x1＝﹣3，x2＝﹣1．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，（x﹣5）（x+3）＝0，则x﹣5＝0或x+3＝0，∴x1＝5，x2＝﹣3；（2）（x+3）2＝2x+6，（x+3）2＝2（x+3），移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，则（x+3）（x+1）＝0，∴x+3＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．【考点2 换元法解元二次方程】【例3】（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（　　）A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2【答案】B【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得：y1＝﹣4，y2＝2，当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，∴x2+2x的值为2，故选：B．【变式3-1】（2022•芜湖一模）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3【答案】A【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解．当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7故选：A．【变式3-2】（2022春•蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4【答案】B【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，解得：y＝4或﹣2，当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x＝4．故选：B．【变式3-3】（2021秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．所以原方程的根为，，，．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1 （2）x1＝，x2＝﹣【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，当y＝3时，x2＝3，解得：x＝；当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣．