北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题2.5 一元二次方程的判别式、根与系数（专项训练）

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专题2.5 一元二次方程的根与系数（专项训练）1．设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是（　　）A．2 B．1 C．-2 D．-12．若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．63．已知 x1,x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两个根，x1+x2=3,x1⋅x2=1 ，则a，b的值分别是（　　）A．a=−3,b=1 B．a=3,b=1C．a=−32,b=−1 D．a=−32,b=14．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 m+nmm 的值为 　 　． 5．已知m，n为一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根，则 (m−2)(n−2) 的值为（　　） A．-7 B．7 C．-2 D．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣27．已知x1,x2是方程x2−x−1=0的根，则1x1+1x2的值是（　　）A．1 B．-1 C．±1 D．08．已知 x1,x2 是关于x的一元二次方程 x2−(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 1x1+1x2=1 ，则m的值为（　　） A．−3 或1 B．−1 或3 C．−1 D．39．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为　 　.10．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（　　）A．-2014 B．2014 C．2013 D．-201311．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x1 ， x2 . （1）求实数m的取值范围；（2）若 x1+x2=6−x1x2 ，求m的值. 12．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．13．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;（2）若方程的两实数根分别为 x1,x2 ,且满足 1x1+1x2=2 ,求 k 的值.专题2.5 一元二次方程的根与系数（专项训练）1．设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是（　　）A．2 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【解答】解：∵ α,β 是一元二次方程 ，∴αβ=−1 .故答案为：D.2．若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：设方程的另一根为t，根据题意得2＋t＝5，解得t＝3.故答案为：A.3．已知 x1,x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两个根，x1+x2=3,x1⋅x2=1 ，则a，b的值分别是（　　）A．a=−3,b=1 B．a=3,b=1C．a=−32,b=−1 D．a=−32,b=1【答案】D【解答】解： ∵ x2+2ax+b=0 ，∴x1+x2=−2a=3，x1⋅x2=b=1 ，解得a=-32，b=1.故答案为：D.4．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 m+nmm 的值为 　 　． 【答案】-2【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，所以原式= 4−2 =-2．故答案为：-25．已知m，n为一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根，则 (m−2)(n−2) 的值为（　　） A．-7 B．7 C．-2 D．2【答案】A【解答】解：∵m，n是一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根， ∴m＋n＝4，mn＝-3，∴(m−2)(n−2)=−3−2×4+4=−7 ，故答案为：A．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2【答案】B【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．故答案为：B．7．已知x1,x2是方程x2−x−1=0的根，则1x1+1x2的值是（　　）A．1 B．-1 C．±1 D．0【答案】B【解答】解：∵x1与x2是方程x2−x−1=0的根，∴x1+x2=1,x1⋅x2=−1 ，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−1.故答案为：B.8．已知 x1,x2 是关于x的一元二次方程 x2−(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 1x1+1x2=1 ，则m的值为（　　） A．−3 或1 B．−1 或3 C．−1 D．3【答案】D【解答】解：根据题意得： x1+x2=2m+3,x1⋅x2=m2 ，且 Δ>0 ， ∴(2m+3)2−4m2>0 ，解得： m>−34 ，∵1x1+1x2=1 ，∴x1+x2x1x2=1 ，即 2m+3m2=1 ，解得： m=3 或 m=−1 ，∴m的值为3.故答案为：D.9．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为　 　.【答案】2020【解答】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝−ba＝−1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝2020.故答案为：2020.10．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（　　）A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013【答案】D【解答】解：∵a是方程的根∴a2+a+2012=0∴a2=-a-2012∴a2+2a+β=-a-2012+2a+β=a+β-2012∵a和β是方程的两个实数根∴a+β=-1∴a+β-2012=-1-2012=-2013 故答案为：D. 11．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x1 ， x2 . （1）求实数m的取值范围；（2）若 x1+x2=6−x1x2 ，求m的值. 【答案】（1） m≤34 （2）m=−1【解答】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根， 所以 Δ=b2−4ac=(2m−3)2−4m2≥0∴4m2−12m+9−4m2≥0∴−12m≥−9∴m≤34即实数m的取值范围为 m≤34 ；（2）解： ∵x1+x2=−ba=3−2m,x1⋅x2=ca=m2 ， x1+x2=6−x1x2∴3−2m=6−m2∴m2−2m−3=0∴(m−3)(m+1)=0∴m=3 （舍去）或 m=−1∴m=−112．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．【答案】（1）k≤5 （2）4【解答】（1）解：△=(−4)2−4(k−1)=−4k+20由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则−4k+20≥0解得k≤5（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x1+x2=4,x1x2=k−1而x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 =42−2(k−1)=10解得k=4由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．13．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;（2）若方程的两实数根分别为 x1,x2 ,且满足 1x1+1x2=2 ,求 k 的值.【答案】（1）略 （2）k=-1.【解答】（1）证明： ∵Δ=(k−1)2+4k=k2−2k+1+4k=(k+1)2 , ∵(k+1)2⩾0,∴Δ≥0,∴无论 k 取何值, 该方程总有实数根（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，∵1x1+1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=1−k−k=2，∴整理，解得：k=-1.