北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题2.3解一元二次方程-公式法(能力提升)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题2.3解一元二次方程-公式法(能力提升)(原卷版+解析)，共18页。
专题2.3 解一元二次方程-公式法（能力提升）（原卷版）一、选择题。1．（2022•朝阳区校级一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为（　　）A．±4 B．4 C．±16 D．162．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定3．（2022•沂南县二模）方程x（x﹣1）＝2的两根为（　　）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝24．（2021秋•永年区期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝05．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠06．（2022•鼓楼区校级二模）一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝求解时，a，b，c的值是（　　）A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣17．（2021秋•迁安市期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝08．（2021•长春）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）A．8 B．9 C．10 D．119．（2021•滦南县二模）当b﹣c＝3时，关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的根的情况为（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定10．（2021•平山县校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（　　）A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根 C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根二、填空题。11．（2022春•拱墅区校级期中）如果关于x的一元二次方程2x（ax﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么a的最小整数值是　 　．12．（2021•乐山模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　．13．（2021•吉林模拟）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．14．（2022•普陀区模拟）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．15．（2021秋•宁远县期中）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0，k　 　时，方程有实数根．16．（2021春•福田区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 　 　．17．（2021春•黄埔区期末）根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 　 　．18．（2021春•五峰县期末）如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是　 　．三、解答题。19．（2021春•台江区校级期中）解方程：（1）x2﹣x﹣＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x．20．（2021秋•海淀区校级期末）解方程：x2﹣4x＝2x﹣9．21．（2021春•沙坪坝区校级期末）解方程：（1）2x2+5x+1＝0； （2）．22．（2021春•渝中区校级期末）解方程（1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）2x（x﹣3）＝x﹣4．23．（2021春•金安区校级期末）解一元二次方程（1）x2﹣x﹣4＝0； （2）（2x+3）（x﹣6）＝16．24．（2021秋•海淀区期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形：回答下列问题：（1）表格中t的值为 　 　；（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 　 　；（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），则的值为 　 　．25．（2021•西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．26．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．27．（2021春•蚌埠期末）已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．28．（2021秋•农安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．29．（2021春•合肥期末）定义新运算，对于任意实数m，n．都有m☆n＝m2n+n．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．若2☆a的值小于0．请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．30．（2021•海州区校级一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．变形mnp（x+1）（x﹣5）＝﹣2﹣15﹣2x（x﹣4）＝3043（x﹣1）（x﹣t）＝61t6（x﹣2）2＝7227专题2.3 解一元二次方程-公式法（能力提升）（解析版）一、选择题。1．（2022•朝阳区校级一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为（　　）A．±4 B．4 C．±16 D．16【答案】B。【解答】解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，解得：c＝4．故选：B．2．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定【答案】A。【解答】解：方程x2+mx﹣1＝0的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，故选：A．3．（2022•沂南县二模）方程x（x﹣1）＝2的两根为（　　）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2【答案】D。【解答】解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2△＝1+8＝9＞0∴x＝解得x1＝﹣1，x2＝2．故选：D．4．（2021秋•永年区期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0【答案】D。【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；故选：D．5．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0【答案】C。【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，解得a≥﹣2且a≠0．故选：C．6．（2022•鼓楼区校级二模）一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝求解时，a，b，c的值是（　　）A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1【答案】D。【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2＝0，∴﹣2x2+3x﹣1＝0，则a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，故选：D．7．（2021秋•迁安市期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0【答案】C。【解答】解：A．此方程的解为x＝，不符合题意；B．此方程的解为x＝，不符合题意；C．此方程的解为x＝，符合题意；D．此方程的解为x＝，不符合题意；故选：C．8．（2021•长春）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A。【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，解得m＜9．故选：A．9．（2021•滦南县二模）当b﹣c＝3时，关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的根的情况为（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【答案】A。【解答】解：∵b﹣c＝3，∴c＝b﹣3，∵2x2﹣bx+c＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×2×c＝b2﹣8c＝b2﹣8（b﹣3）＝b2﹣8b+24＝（b﹣4）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．10．（2021•平山县校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（　　）A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根 C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根【答案】C。【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，∴，∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：C．二、填空题。11．（2022春•拱墅区校级期中）如果关于x的一元二次方程2x（ax﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么a的最小整数值是　2　．【答案】2。【解答】解：（2a﹣1）x2﹣8x+6＝0，根据题意得2a﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4×（2a﹣1）×6＜0，解得a＞，所以a的最小整数值2故答案为2．12．（2021•乐山模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　k＞﹣1且k≠0　．【答案】k＞﹣1且k≠0。【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，故答案为：k＞﹣1且k≠0．13．（2021•吉林模拟）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是　k≤1　．【答案】k≤1。【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0，解得，k≤1．故答案是：k≤1．14．（2022•普陀区模拟）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤且m≠﹣2　．【答案】m≤且m≠﹣2。【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，解得m≤且m≠﹣2．故答案为：m≤且m≠﹣2．15．（2021秋•宁远县期中）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0，k　≤1　时，方程有实数根．【答案】≤1。【解答】解：当k＝0时，原方程为﹣6x+9＝0，方程的解为x＝；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵方程有实数根∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×9k≥0，解得k≤1，故答案为：≤1．16．（2021春•福田区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 　24或25　．【答案】24或25。【解答】解：当6为底边时，则x1＝x2，∴Δ＝100﹣4m＝0，∴m＝25，∴方程为x2﹣10x+25＝0，∴x1＝x2＝5，∵5+5＞6，∴5，5，6能构成等腰三角形；当6为腰时，则设x1＝6，∴36﹣60+m＝0，∴m＝24，∴方程为x2﹣10x+24＝0，∴x1＝6，x2＝4，∵6+4＞6，∴4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：m＝24或25，故答案为24或25．17．（2021春•黄埔区期末）根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 　﹣5+2　．【答案】﹣5+2。【解答】解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，∴＝＝＝﹣5+2，故答案为﹣5+2．18．（2021春•五峰县期末）如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是　m≤3　．【答案】m≤3。【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+l＝0有实数根，∴当m﹣2＝0时，m＝2时，﹣2x+l＝0有实数根；当m﹣2≠0时，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12≥0，解得m≤3．由以上可知m≤3．故答案为：m≤3．三、解答题。19．（2021春•台江区校级期中）解方程：（1）x2﹣x﹣＝0；（2）x（x﹣4）＝8﹣2x．【解答】解：（1）x2﹣x﹣＝0；a＝1，b＝﹣，c＝﹣，∴b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝4＞0，∴x＝＝＝，∴该方程的解为：，．（2）x（x﹣4）＝8﹣2x．方程右边提公因式得x（x﹣4）＝2（4﹣x），∴x（x﹣4）＝﹣2（x﹣4）移项得x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，x+2＝0或x﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4．20．（2021秋•海淀区校级期末）解方程：x2﹣4x＝2x﹣9．【解答】解：原方程化为：x2﹣6x+9＝0，∴a＝1，b＝﹣6，c＝9，∴△＝36﹣36＝0，∴x＝＝3，∴x1＝x2＝3．另解：原方程化为：x2﹣6x+9＝0，（x﹣3）2＝0，x﹣3＝0，x1＝x2＝3．21．（2021春•沙坪坝区校级期末）解方程：（1）2x2+5x+1＝0；（2）．【解答】解：（1）2x2+5x+1＝0，a＝2，b＝5，c＝1，b2﹣4ac＝52﹣4×2×1＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（2）去分母，得：1﹣x﹣（x﹣5）＝2，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣5≠0，∴x＝2是原分式方程的解．22．（2021春•渝中区校级期末）解方程（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）2x（x﹣3）＝x﹣4．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x＝＝＝1，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）整理，得：2x2﹣7x+4＝0，a＝2，b＝﹣7，c＝4，b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．23．（2021春•金安区校级期末）解一元二次方程（1）x2﹣x﹣4＝0；（2）（2x+3）（x﹣6）＝16．【解答】解：（1）整理，得：x2﹣4x﹣16＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣16，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣16）＝80＞0，则x＝＝＝2±2，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）整理为一般式，得：2x2﹣9x﹣34＝0，∵a＝2，b＝﹣9，c＝﹣34，∴Δ＝（﹣9）2﹣4×2×（﹣34）＝353＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．24．（2021秋•海淀区期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形：回答下列问题：（1）表格中t的值为 　3　；（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 　m+n＝4　；（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），则的值为 　﹣1　．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3+6＝6，x2﹣4x+3＝6，（x﹣1）（x﹣3）＝6，所以t＝3；故答案为3；（2）﹣1+5＝4，0+4＝4，1+3＝4，2+2＝4，所以m+n为一次项系数的相反数，即m+n＝4；故答案为m+n＝4；（3）由（2）的结论得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，所以m1+n1＝m2+n2，即n1﹣n2＝﹣（m1﹣m2），∴＝﹣1．故答案为﹣1．25．（2021•西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．26．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）∵k≤，∴k的最大整数值为2，此时方程为x2﹣3x+2＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝2．27．（2021春•蚌埠期末）已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．∵Δ＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．（2）由题意得，Δ＝（m﹣1）2＝2，解得m＝1±．28．（2021秋•农安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．【解答】解：（1）将x＝﹣1代入方程x2﹣mx﹣2＝0，得1+m﹣2＝0，解得m＝1，解方程x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2；（2）∵Δ＝m2+8＞0，∴对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根．29．（2021春•合肥期末）定义新运算，对于任意实数m，n．都有m☆n＝m2n+n．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．若2☆a的值小于0．请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．【解答】解：∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．30．（2021•海州区校级一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【解答】解：（1）由题意知，Δ＝（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得：m＜6，又m﹣2≠0，即m≠2，则m＜6且m≠2；（2）由（1）知m＝5，则方程为3x2+10x+8＝0，即（x+2）（3x+4）＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣变形mnp（x+1）（x﹣5）＝﹣2﹣15﹣2x（x﹣4）＝3043（x﹣1）（x﹣t）＝61t6（x﹣2）2＝7227