苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题08弧长、扇形的面积与圆锥的侧面积压轴题六种模型全攻略特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题08弧长、扇形的面积与圆锥的侧面积压轴题六种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了求弧长，求图形旋转后扫过的面积，求扇形的面积，求不规则图形的面积，求圆锥侧面的最短路径问题等内容，欢迎下载使用。

考点一 求弧长 考点二 求扇形的面积
考点三 求图形旋转后扫过的面积 考点四 求不规则图形的面积
考点五 求圆锥的侧面积、底面半径、展开图的圆心角 考点六 求圆锥侧面的最短路径问题
典型例题

考点一 求弧长
例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm．
考点二 求扇形的面积
例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
考点三 求图形旋转后扫过的面积
例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【变式训练】
1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则线段CD转过区域的面积为________．
考点四 求不规则图形的面积
例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．
考点五 求圆锥的侧面积、底面半径、展开图的圆心角
例题：（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【变式训练】
1．（2021·广东·广州市黄埔区华实初级中学二模）如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝___cm．
2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______．
考点六 求圆锥侧面的最短路径问题
例题：（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3B．C．D．4
【变式训练】
1．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是______________．
2．（2021·江苏省盐城中学新洋分校九年级阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．
课后训练
一、选择题
1．（2022·辽宁大连·九年级期末）在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3πB．4πC．6πD．12π
2．（2022·云南红河·九年级期末）用一个圆心角为，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2021·浙江金华·九年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△，则 的长为（ ）
A．B．C．7D．6
4．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2022·辽宁大连·九年级期末）圆锥的底面半径为40cm，母线长80cm，则它的侧面展开图的圆心角度数为 _____．
6．（2021·宁夏银川·一模）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线长等于_______．
7．（2022·云南红河·九年级期末）如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________．
8．（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
三、解答题
9．（2022·江苏宿迁·九年级期末）一块四边形余料如图所示，已知，米，米，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，用扇形围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径．
10．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，直线l经过⊙O上一点C，点A、B在直线l上，且OA＝OB，CA＝CB．
(1)直线l与⊙O相切吗？请说明理由；
(2)若OC＝AC，⊙l的半径为2，求图中阴影部分的面积．
11．（2022·江苏·九年级）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．
(1)求扇形AOB的弧长和扇形面积；
(2)若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．
12．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=12，求AD的长；
(3)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
13．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ；
(2)连接AD、CD，则⊙D的半径长为 （结果保留根号），∠ADC的度数为 ；
(3)若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 ．（结果保留根号）
14．（2021·广东湛江·九年级期末）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，DO⊥BE于点O，连接AD交BC于F，若AC=FC．
(1)求证：AC是⊙O的切线：
(2)若BF=8，DF=，求⊙O的半径；
(3)若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
专题08 弧长、扇形的面积与圆锥的侧面积压轴题六种模型全攻略
考点一 求弧长 考点二 求扇形的面积
考点三 求图形旋转后扫过的面积 考点四 求不规则图形的面积
考点五 求圆锥的侧面积、底面半径、展开图的圆心角 考点六 求圆锥侧面的最短路径问题
典型例题

考点一 求弧长
例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的长==2π，
故选：C．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：π．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm．
【答案】##
【分析】利用弧长公式，代入数值计算即可．
【详解】解：由题意得的长＝＝(cm)，
故答案为：
【点睛】此题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
考点二 求扇形的面积
例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．
（1）证明：连接OB∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°= 90°∴OB⊥CE∵OB是半径 ∴EC是⊙O的切线．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=2过O作OH⊥AM于H则四边形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等边三角形 ∴∠AOM＝60°∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【答案】(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．
（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
考点三 求图形旋转后扫过的面积
例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【答案】A
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
【变式训练】
1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
【答案】 ##
【分析】根据弧长公式可求得的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．
∴的长为:2π；
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积= ．
故答案为：2π；．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则线段CD转过区域的面积为________．
【答案】
【分析】先判断出OB＝OC＝5，根据勾股定理可得OA和AD的长，根据△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面积公式即可求出结果．
【详解】解：∵B（−5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，
∴图中阴影部分面积＝S扇形DAE−S扇形BAC


故答案为：16π
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形变化−旋转，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
考点四 求不规则图形的面积
例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，
∵BA=BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH=BM=，
∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
【答案】
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP，
则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点，
∴S弓形AO=S弓形PO，
在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOP=60°，
∴S阴影=S扇形BOP==π．
故答案为：π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质，可得，，再由勾股定理可得，再证得为等边三角形，可得，，进而得到，，再根据阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
在中，，，，
∴AB=2BC=4，，
∴， ，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积等于．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键．
考点五 求圆锥的侧面积、底面半径、展开图的圆心角
例题：（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【答案】D
【分析】根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解．
【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积=×6π×8=24πcm2．
故选D．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长．
【变式训练】
1．（2021·广东·广州市黄埔区华实初级中学二模）如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝___cm．
【答案】5
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
【详解】解：∵圆锥的母线长是10cm，侧面积是50πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l10π（cm），
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r5（cm），
故答案为：5．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______．
【答案】
【分析】先用圆锥的底面周长得到圆锥的侧面扇形的弧长，然后再利用弧长公式求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长是6cm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为6πcm，
，解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长公式成为解答本题的关键．
考点六 求圆锥侧面的最短路径问题
例题：（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】B
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
【详解】解：圆锥的底面周长是，则，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中，，度．
在圆锥侧面展开图中．
故小猫经过的最短距离是．故选：．

【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是______________．
【答案】cm
【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角 再利用勾股定理求解即可.
【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示：
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 圆锥底面圆周长为
则n=90，
∵

即这根绳子的最短长度是cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键.
2．（2021·江苏省盐城中学新洋分校九年级阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．
【答案】（1）90°；（2）4
【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解．
【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°；
（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．
∴是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷=2，
∴AC＝2AD＝4，
即这只蚂蚁爬过的最短距离4．
【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·辽宁大连·九年级期末）在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3πB．4πC．6πD．12π
【答案】B
【分析】根据弧长的公式l进行解答即可．
【详解】解：根据弧长的公式l，
得到：l4π．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题，属于容易题．
2．（2022·云南红河·九年级期末）用一个圆心角为，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．
【详解】解：扇形的弧长=，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
∴面积为：4π，
故选：D．
【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
3．（2021·浙江金华·九年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△，则 的长为（ ）
A．B．C．7D．6
【答案】A
【分析】利用格点可知∠BAB′＝45°，再利用弧长公式，可求出弧的长．
【详解】解：根据图示知，∠BAB′＝45°，
弧的长l＝．
故答案为：A．
【点睛】本题考查弧长的计算、旋转的性质，利用格点得出∠BAB′＝45°是解题的关键．
4．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】由旋转得：∠B1AB＝60°，
∵，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解决本题的的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积．
二、填空题
5．（2022·辽宁大连·九年级期末）圆锥的底面半径为40cm，母线长80cm，则它的侧面展开图的圆心角度数为 _____．
【答案】##180度
【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径是40cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：2πr=80π，
∵母线长80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：
解得：n=180．
故答案为：180°．
【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开图与圆锥的关系．
6．（2021·宁夏银川·一模）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线长等于_______．
【答案】15
【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得．
【详解】解：设圆锥的母线长为R，
由题意得，
解得：R=15．
故答案为：15．
【点睛】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
7．（2022·云南红河·九年级期末）如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________．
【答案】2π
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：连接OA，OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
∴的长=
故答案为：2π．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握弧长的计算方法及圆周角定理进行计算是解决本题的关键．
8．（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．
三、解答题
9．（2022·江苏宿迁·九年级期末）一块四边形余料如图所示，已知，米，米，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，用扇形围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径．
【答案】
【分析】连接AE，利用勾股定理得AE=BE，由此即可求出∠ABE的度数，再先求出扇形的圆心角∠DAB的度数，再由弧长公式求出弧长，此弧长就是所得圆锥的底面圆的周长，由圆的周长公式即可求得所得圆锥的底面半径．
【详解】如图，连接，

∵AD为半径的圆与BC相切于点E，
∴AE⊥BC，AE=AD=2．
在Rt△AEB中，∵AB=，AE=2，
∴AE=BE=2，
∴∠ABE=45°．
∴是等腰直角三角形，，
设圆锥底面半径为，
由题意得，
解得．
【点睛】本题考查了切线的性质、平行线的性质、圆锥的计算，解题的关键是掌握所涉及的知识要点，并能够灵活运用．
10．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，直线l经过⊙O上一点C，点A、B在直线l上，且OA＝OB，CA＝CB．
(1)直线l与⊙O相切吗？请说明理由；
(2)若OC＝AC，⊙l的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)相切，理由见解析
(2)4-π
【分析】（1）连接OC，证明△AOC≌△BOC，得到∠OCA=∠OCB=90°，根据切线的判定定理即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到AC=BC=2，求得AC=OC=BC=AB，再分别计算△AOB的面积和扇形的面积，相减可得结果．
(1)
解：相切，理由：如图，连接OC，
在△AOC≌△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
(2)
∵△AOC≌△BOC，OC=AC=2，
∴AC=BC=2，
∴AC=OC=BC=AB，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB的面积为×2×4=4，扇形面积为：=π，
∴阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形面积=4-π．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（2022·江苏·九年级）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．
(1)求扇形AOB的弧长和扇形面积；
(2)若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式求解即可；
（2）先求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求解即可．
(1)
解：由题意得扇形AOB的弧长，；
(2)
解：如图所示，AH为底面圆的半径，OA为母线长，
由题意可得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，求弧长，求圆锥的高，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握弧长公式和扇形面积公式．
12．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=12，求AD的长；
(3)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接OC，AC=CD，∠ACD=120°得∠A=∠D=30°，根据圆周角定理求得∠COD=2∠A=60°，则∠OCD=90°，可证得CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，由∠OCD=90°，∠D=30°得OD=2OC=2r，在Rt△DOC中根据勾股定理列方程求出r的值，即可求出AD的长；
（3）在Rt△DOC中根据勾股定理列方程求出CD的长，而∠COB=60°，由S阴影=S△COD-S扇形COB求出图中阴影部分的面积即可．
(1)
证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
(2)
解：如图，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，
∵∠OCD=90°，∠D=30°，
∴OD=2OC=2r，
∵，且CD=AC=12，
∴，解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
∴．
(3)
如图，∵⊙O的半径为3，
∴OC=3，
∵∠OCD=90°，∠D=30°，
∴OD=2OC=6，
∴，
∵∠COB=60°，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、含30°角的直角三角形、勾股定理、扇形面积的计算等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
13．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ；
(2)连接AD、CD，则⊙D的半径长为 （结果保留根号），∠ADC的度数为 ；
(3)若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 ．（结果保留根号）
【答案】(1)（2，0）；
(2)；90°；
(3)．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
(1)
解：分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
(2)
解：圆D的半径长=，
AC=，
∴AD2+CD2=20+20=40=AC2，
∴∠ADC=90°，
故答案为：；90°；
(3)
解：由题意可得，该圆锥的底面圆的周长为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握弧长公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
14．（2021·广东湛江·九年级期末）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，DO⊥BE于点O，连接AD交BC于F，若AC=FC．
(1)求证：AC是⊙O的切线：
(2)若BF=8，DF=，求⊙O的半径；
(3)若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)
【分析】（1）连接OA．由，可得．由，可得．由，可得，所以．结合，，，可得．
所以，即AC是的切线．
（2）设的半径为r，所以．由，可得．在中，由勾股定理得，结合，可得，解得或（不符合题意舍），故的半径为6．
（3）由于，，在，由勾股定理得，解得，所以的半径为．由，可得．可求出．由于，可得．所以在中，．由，可得．即可求出：，．故．
（1）证明：连接OA，，即AC是的切线．
（2）解：设的半径为r在中，由勾股定理得解得：或（不符合题意舍）故的半径为6．
（3）解：，，在，由勾股定理得解得即的半径为在中，．，．
【点睛】本题主要考查知识点为：切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式．证明切线的辅助线，一般为连接圆心和切点，在证明垂直．求阴影部分面积，思路是用我们已知得几何图形面积来表示阴影部分面积．熟练掌握切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式，是解决本题的关键．